第10讲(电气及其自动化专业)

1、第第1010讲讲 一阶与二阶系统的一阶与二阶系统的 时域响应时域响应 稳定性概念与充分必要条件 劳斯判据与赫尔维茨判据 稳定裕度稳 稳态误差的定义 稳态误差分析与计算 静态误差系数准 一阶系统的动态响应分析 二阶系统的动态响应分析 高阶系统的动态响应快知识点知识点1 1：一阶系统的时域响应：一阶系统的时域响应 数学模型数学模型 能够用能够用一阶微分方程一阶微分方程描述的系统为描述的系统为一阶系一阶系统统，其传递函数为，其传递函数为其中其中T T一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数 。11)()(TssRsC11)()()(TssRsCsG 一阶系统一阶系统单位阶跃响应单位阶跃响应 当当r r(

2、 (t t)=1()=1(t t) )时，一阶系统的输出时，一阶系统的输出c c( (t t) )称为称为单位阶跃响应单位阶跃响应，记作，记作h h( (t t) )。0 1)(11)()(11tesRTsLsCLthTt， 系统输入为单位阶跃函数，有)( 1)(ttrssR1)(则系统输出的拉氏变换为11111)(TsTssTssC对输出响应进行拉氏反变换，得TteTsTLsLsTsLth111111)(111讨论：讨论：1是稳态分量，由输入信号决定。是稳态分量，由输入信号决定。 是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律由传递函数的极点由传递函数的极点-1/T

3、或时间常数或时间常数T决定。决定。当时间当时间t趋于无穷大时趋于无穷大时，瞬态分量按指数衰减到，瞬态分量按指数衰减到零。零。Tte一阶系统单位阶跃响应的典型数值一阶系统单位阶跃响应的典型数值所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数上指数上升、渐近趋于稳态值的曲线。升、渐近趋于稳态值的曲线。性能指标性能指标 1.1.调整时间调整时间t ts s 经过时间经过时间3 3T T4 4T T，响应曲线已达，响应曲线已达稳态值的稳态值的95%95%98%98%，可以认为其调整过程，可以认为其调整过程已完成，故一般取已完成，故一般取t ts s=(3=(34)4)T T。2

4、. 稳态误差稳态误差ess 系统的实际输出系统的实际输出h h( (t t) )在时间在时间t t趋于无穷大时，接近于输入值，即趋于无穷大时，接近于输入值，即3. 超调量超调量Mp 一阶系统的单位阶跃响应为非一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，周期响应，故系统无振荡、无超调，M Mp p=0=0。 0)()(limtrtcetss一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 当输入信号当输入信号r r( (t t)=)=( (t t) )时，系统的输出称时，系统的输出称为为单位脉冲响应单位脉冲响应，记为，记为g g( (t t) )。当当r r( (t t)=)=( (t

5、 t) )， 即即R R( (s s)=1)=1时，时，有有 11)()()()(TssRsRsCsGTteTTsLsG111)(1t=0时的斜率？1TsK%)5(st 3TA K1 K3T B K11 K13T C 0 T3 D知识点知识点2 2 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 典型二阶系统的典型二阶系统的结构图如图结构图如图3-143-14所示，所示，其闭环传递函数为其闭环传递函数为或或 2222)()(nnnsssRsC 121)()(22 TssTsRsC 典型二阶系统结构图典型二阶系统结构图其中其中 系统的阻尼比系统的阻尼比 n n系统的无

6、阻尼自然振荡角频率系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期系统振荡周期系统的特征方程为系统的特征方程为特征根为特征根为nT 1 02)(22 nnsssD 122, 1 nns二阶系统的特征根（极点）分布二阶系统的特征根（极点）分布求解二阶系统特征方程，求解二阶系统特征方程，可得可得212,1 (1)nns s 21 ( 1)这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则222212( )(2)()()nnnnC ss sss ssss01212AAAsssss00( )1sAC s s111221( )()21(1)ssAC sss222221( )()21

7、(1)ssAC sss122, 1 nns拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：2(1)221( )121(1)ntc te2(1)221(0)21(1)ntet稳态分量稳态分量：1 1暂态分量暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。函数极点确定。讨论：讨论：u 过阻尼系统是两个惯性环节的串联。过阻尼系统是两个惯性环节的串联。u 有关分析表明，当有关分析表明，当 时，两极点时，两极点s s1 1和和s s2 2与虚轴的与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环距离相差很大，此时靠近

8、虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有环节来近似原来的二阶系统。即有21121( )( )1nnnnC sR sssss11过阻尼系统稳态值和最终误差过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）21(3 4)(1)snt()0e 1|1|1)()1(21ttttsnneeh2. 当当01时，系统有一对实部为负的共轭时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。复根，称为欠阻尼状态。在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对在欠阻尼状

9、态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即共轭复极点，即其中，其中， 称为称为阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率。 dnnnjjs2211,21 nd此时，系统具有一对共轭复数极点，则此时，系统具有一对共轭复数极点，则222( )(2)nnnC ss ss2222221()(1)()(1)nnnnnnssss22221()()nndnddndssss欠阻尼系统单位阶跃响应为欠阻尼系统单位阶跃响应为( )1cossinnnttndddc tetet21(cossin) (0)1ntddettt22( )1(1cossin)1ntddec ttt21sin() (0)1ntdett2arctan( 1

10、)21dn讨论讨论: :(1)(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 n n的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率有阻尼自振角频率d d， (2)(2)振荡周期为振荡周期为 (3)(3)越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。低）。21dn2221ddnT(4)(4)上升时间上升时间tr的计算：的计算：2()1(cossin) 11n rtr

11、drdrc tett21tantan()drt 222arctan( 1)11rdnnt2cossin01drdrtt(5)(5)峰值时间的计算：峰值时间的计算：出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0 0，即，即 则则故故到达第一个到达第一个峰值时应有峰值时应有21tan ()tandpt0,2,3dpt21pdnt sin()cos()0npnpttndpddpetet( ) /0dc tdt d pt(6)(6)最大超调量的计算：最大超调量的计算：越小，越小， 越大（只与越大（只与有关）有关）2(co ssin)1 0 0 %1npte 2(cossin

12、)100%1nptdpdpett 21100%pe()()100%()ppc tcc100%n ptepp(7)(7)调整时间调整时间ts的计算：的计算：欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线 以内，这对曲线称为响应曲线以内，这对曲线称为响应曲线的包络线。的包络线。2( )11ntey t可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。得结果一般略偏大。为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。21nste 00.8211(3ln)1snt3(5%)snt 0.7072111(lnln)1snt2

13、11(4ln)1snt4(2%)snt 若允许误差带是若允许误差带是（如（如2 2），可以认为调整），可以认为调整 222arctan(1)11rdnnt21pdnt21100%pe211(3ln)1snt 设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。出自然振荡角频率。22221dpdnTt2ssdpttNTt欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式n例：例：设一个设一个带速度反馈的伺服系统带速度反馈的伺服系统

14、，其结构，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为图如图所示。要求系统的性能指标为M Mp p=20%, =20%, t tp p=1=1s.s.试确定系统的试确定系统的K K和和K KA A值，并计算性能指值，并计算性能指标标t tr r、t ts s和和N.N. (1)Ks s ( )R s( )C s+-1AK s3. 当阻尼比当阻尼比=1时，系统的特征根为两相时，系统的特征根为两相等的负实根，称为等的负实根，称为临界阻尼状态临界阻尼状态。 此时系统在单位阶跃函数作用下，此时系统在单位阶跃函数作用下，系统的超调量系统的超调量Mp=0，调节时间调节时间 (对应误差带为对应误差带为5%)1(1

15、1)(teetethntttnnnn 图图3-18 3-18 临界阻尼系统阶跃响应临界阻尼系统阶跃响应n17 . 44. 当阻尼比当阻尼比=0时，系统特征根为一对纯时，系统特征根为一对纯虚根，称为虚根，称为无阻尼状态无阻尼状态。 系统特征根系统特征根 单位阶跃响应为单位阶跃响应为 njs 21,)0( cos1)( ttthn 不同不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.01）二阶系统的阻尼比二阶系

16、统的阻尼比决定了其振荡特性决定了其振荡特性：u 0 0 时，阶跃响应发散，时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）系统不稳定（负阻尼）u= 0= 0时，出现等幅振荡时，出现等幅振荡u0011时时当当011222( )( )2nnnC sR sss(t0)( )1R s 欠阻尼：欠阻尼：00 11无阻尼无阻尼： =0=0临界阻尼临界阻尼： =1=12( )sin1ntndc tet( )sinnnc tt2( )nntc tte22(1)(1)2( )()21nnttnc tee二阶系统单位脉冲响应曲线二阶系统单位脉冲响应曲线例例3-15 原控制系统如图原控制系统如图3-23(a)所示，引入所示，

17、引入速度反馈后的控制系统如图速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，所示，已知在图已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的中，系统单位阶跃响应的超调量超调量Mp%=16.4%，峰值时间，峰值时间tp=1.14s，试确定参数试确定参数K和和Kt，并计算系统在，并计算系统在(a) 和和(b)的单位阶跃响应的单位阶跃响应h(t)。图图3-23 3-23 例例3-153-15图图解解 对于系统对于系统(b)(b)，其闭环传递函数为，其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有与典型二阶系统相比较，有 （3-553-55）而已知而已知M Mp p=16.4% =16.4% t tp p=1.14=1

18、.14s s根据根据 求得求得 KsKKsKsGsRsCtB )1()()()(2Kn tnKK 12%4 .16%1001exp2 pM5 . 0 14. 112 npt求得求得 将将 代入代入(3-55)(3-55)得得 其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为 sradn16. 3 16. 35 . 0 n和和 216. 012102 KKKntn )6074. 2sin(154. 11)1sin(111)(58. 122 tetethtntn 对于系统对于系统(a)(a)，其闭环传递函数为，其闭环传递函数为与典型二阶系统比较有与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量系统的最大超调量 峰值时间峰值

19、时间其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为 1010)()()(22 ssKssKsRsCsGB158. 016. 310 sradn%60%10021 eMpstnp01. 112 )9 .8012. 3sin(016. 11)(5 . 0 tetht返回知识点三知识点三 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应 n阶系统的闭环传递函数为阶系统的闭环传递函数为 )()()()()()()(212111101110nmnnnnmmmmpspspszszszsKasasasabsbsbsbsRsCs 当输入为单位阶跃函数当输入为单位阶跃函数r r( (t t)=1()

20、=1(t t) )，即，即时，则时，则假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数 ssR1)( niiiniimjjpsAsAspszsKsC1011)(1)()()( nitpiieAAth10)(spszsKsCniimjj1)()()(11 当极点中还包含共轭复极点时当极点中还包含共轭复极点时 进行拉普拉斯反变换可得系统的单位阶跃进行拉普拉斯反变换可得系统的单位阶跃响应响应 rkkkkkkkkkkqiiirkkkkniimjjssCsBpsAsAsspsszsKsC1222101221121)()2()()()( 1sin 1cos)(121210

21、rkkktkrkkktkqitpiteCteBeAAthkkkki 高阶系统的降阶高阶系统的降阶 1. 主导极点主导极点 在整个响应过程中起着主要的决定性作用的在整个响应过程中起着主要的决定性作用的闭环极点，我们称它为闭环极点，我们称它为主导极点主导极点。 工程上往往只用主导极点估算系统的动态特工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性。即将系统近似地看成是一阶或二阶系性。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统。统。2. 偶极子偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子偶极子。工程上，当某极点和某零点之间。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级

22、，就可的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。认为这对零极点为偶极子。 闭环传递函数中，如果零、极点数值闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。称之为偶极子相消。零极点对阶跃响应的影响零极点对阶跃响应的影响 零点对阶跃响应的影响零点对阶跃响应的影响 假设系统中增加一个闭环实零点，即假设系统中增加一个闭环实零点，即系统中增加了一个串联环节系统中增加了一个串联环节 且闭环且闭环零点零点z z位于复平面的左半平面，位于复平面的左半平面， |)()(|)()(1zssCsCzzssCsC | zzs 上式拉普拉斯反变换上式拉普拉斯反变换 可见，增加一