割圆术及极限方法

1、第三讲割圆术及极限方法实验目的1 介绍刘徽的割圆术.2 理解极限概念.3.学习matlab求函数极限命令。实验的基本理论及方法1 .割圆术中国古代数学家刘徽在九章算术注方田章圆田术中创造了割圆术计算圆 周率".刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次 加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积.割之弥细，所失弥少.割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想.刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，这 样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计 算到圆内接正

2、192边形的面积。2.斐波那奇数列和黄金分割Fr = O,Fi = 1如=Frz-1 十几-23 .学习matlab命令.matlab求极限命令可列表如下表2.1数学运算matlab命令Um f(工) 艺*limit(f)Liin f（x）at * e 、limit（f，x， a）或 limit（f， a）liin f（r）limit（f，x， a, ' left '）lim 疋T fl.十limit（f，x， a, ' right 'matlab代数方程求解命令solve调用格式.Solve(函数山)给出1!二的根.4 理解极限概念.数列计收敛或有极限是指当无

3、限增大时，A与某常数无限接近或A趋向 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线.例2.1.观察数列.当；一：八时的变化趋势.解:输入命令：>>n=1:100； xn=n./(n+1)n得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，5十1与1非常接近， 画出,，的图形.stem(n, xn)或for i=1:100;plot(n(i),xn(i),' r')hold onend其中forend语句是循环语句，循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第 i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论：lim rr

4、-»co对函数的极限概念，也可用上述方法理解.例2.2分析函数儿7丄，当/-uf时的变化趋势.解:画出函数产：在一：一上的图形.>>x=-1:0.01:1;y=x.*si n(1./x);plot(x,y).1从图上看，”1随着1；：1的减小，振幅越来越小趋近于0,频率越来越高作无限 次振荡作出、一一的图象.hold on； plot(x，x，x，-x)fM =劲例2.3分析函数二当.时的变化趋势.解:输入命令:>>x=-1:0.01:1;y=si n(1./x);plot(x,y).1从图上看，当 时，二在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，

5、发现图象的某些峰值不是1和-1,而我们知道正弦曲线的峰值是1和-1sin1，这是由于自变量的数据点选取未必使二取到1和-1的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果.例2.4.考察函数* 丄 当.：一一时的变化趋势.解:输入命令:>>x=li nspace(-2*pi,2*pi,100);y=si n(x)./x;plot(x,y)smx从图上看，打 在附近连续变化，其值与1无限接近，可见jsrnclim= 1例2.5.考察"'当工'时的变化趋势.解:输入命令:>>x=1:20:1000;y=(1+1./x)4x;plot(x,y)从图上看，当

6、二一二时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是二5 求函数极限例 2.6.求-H-解:输入命令:>>syms x;f=1/(x+1)-3/(xA3+1);limit(f,x,-1) 得结果ans=-1画出函数图形.>>ezplot(f);hold on;plot(-1,-1 ,'.')tanx jmx例2.7.求上二£0I J解:输入命令:>>limit(ta n(x)-si n(x)/xA3)得结果:an s=1/2例 2.8.求'；1 '温 T X 1 /解:输入命令:>>limit(x+1)/(x-1)Ax,i nf)得结果:an s=exp(2)lim例2.9.求一/ 解:输入命令:>>limit(xAx,x,0 , right'得结果:ans