《大学物理教学1》第3章

1、大学物理学 第第3 3章章 功和能功和能本章主要内容：本章主要内容：1、功的概念以及保守力的功的特点、功的概念以及保守力的功的特点2、势能的概念，了解势能与保守力的关系、势能的概念，了解势能与保守力的关系3、质点及质点系的动能定理、质点及质点系的动能定理 4、 机械能守恒及能量守恒定律机械能守恒及能量守恒定律3.1 功功 保守力保守力rFAdd一、功一、功由由 所作的功所作的功ba babasFrFAAdcosd.d 2、多个力作用时的功（对质点）、多个力作用时的功（对质点）rFFFrFAnd).(d 21rFrFrFnd.dd21nAAA 21合力对质点所作的功，等于合力对质点所作的功，等于

2、每个分力所作的功的代数和。每个分力所作的功的代数和。 cos|d|rF sFtd cosdsF ab MFrd Orrrd M 元功元功1）功是标量有正有负，正负由功是标量有正有负，正负由 决定。决定。 2）直角坐标系下：）直角坐标系下： bababazzzyyyxxxbazFyFxFrFAdddd 3）功是）功是力对空间力对空间的积累，是的积累，是过程量（过程量（功与路径有关）功与路径有关）。 4）SI单位：焦耳（单位：焦耳（J ） 1 J = 1 N m。 kzj yi xrkFjFiFFzyxdddd 例例 已知质点在力已知质点在力 的作用下从（的作用下从（0，0）逆时针）逆时针运动到（

3、运动到（R，R）。）。 求力所作的功。求力所作的功。)(0j yi xFF解：解：)d(d)(d0j yi xj yi xFrFA RRyyFxxF0000dd200200202121RFyFxFRR xyoR),(RR说明说明二、几种常见力的功二、几种常见力的功1、 弹簧弹力的功弹簧弹力的功弹簧作用在质点上的弹力为：弹簧作用在质点上的弹力为：ikxF 物体由物体由 x 1 移动到移动到 x 2 处时处时弹性力所作的功为：弹性力所作的功为：21xxxkxAd22212121kxkx弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。弹簧收缩时，弹力作正功。xkxixFAd

4、dd 弹簧的弹力做功只与始、末位置有关，弹簧的弹力做功只与始、末位置有关，与具体路径无关。与具体路径无关。 k)aOxOx)bkF1x2xvOx)ckF2xv1x2、 万有引力的功万有引力的功|d|cosd20lrMmGlFA d cos|d|l)11(dd020abrrrrrrMmGrrMmGAAbaba rerMmGF20 rrMmGAdd20 rd m 在在M 的引力场沿其椭圆轨道由的引力场沿其椭圆轨道由r a移到移到r b ，引力对，引力对m 作的功作的功. 万有引力所作的功只与质点的初、末位置有关，与路径无关。万有引力所作的功只与质点的初、末位置有关，与路径无关。 万有引力的元功万有

5、引力的元功brMmarabF rr ldrd)cos(|d| l3、重力的功、重力的功作用于质点上的重力作用于质点上的重力kmgF 重力的元功重力的元功zmgkzj yi xkmglFAd)ddd()(dd 重力在有限过程中作的功重力在有限过程中作的功 )(dd21 2121zzmgzmgAAzzPP 重力的功只与初、末位置重力的功只与初、末位置有关，与路径无关。有关，与路径无关。 4、摩擦力的功、摩擦力的功摩擦力的元功摩擦力的元功smgsFlFAddddmgsmgds )( 211PLPA摩擦力的功不仅与初、末位置有关，而且与路径有关。摩擦力的功不仅与初、末位置有关，而且与路径有关。 Oxz

6、y),(zyxM)0 ,(000yxMgmrd m三、保守力和非保守力三、保守力和非保守力保守力的环路等于零。保守力的环路等于零。 3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的功不为零。这种力为径的功不为零。这种力为非保守力非保守力。 1、保守力保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。关的力。例：重力、万有引力、弹力、静电力等。例：重力、万有引力、弹力、静电力等。2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。 BDAACBLrFrFrFddd ADBACBrF

7、rFdd0 ADCB BDAADBrFrFdd0d LrF平均功率：平均功率：tAP 瞬时功率：瞬时功率： tAtAPtddlim 0四、功率四、功率 表示表示做功快慢做功快慢的物理量的物理量tAPdd trFdd vF 定义：定义：功随时间的变化率功随时间的变化率。SI单位单位: : 焦耳焦耳/ /秒秒 ( (瓦特瓦特) )vFP 3.2 势势 能能一、一、 势能势能在保守力场中与相互作用的物体间的相对位置有关的能量。在保守力场中与相互作用的物体间的相对位置有关的能量。 0MMplFEd积分路径是任意的。积分路径是任意的。质点从质点从 M 点移到零势能点点移到零势能点 M0 的过程中，保守力

8、作的功。的过程中，保守力作的功。1、 势能的定义势能的定义只有保守力场才能引入势能的概念。只有保守力场才能引入势能的概念。势能是属于整个系统的。势能是属于整个系统的。 势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，势能只有相对的意义，在零势能点确定之后， 各点的势能才具有唯一的确定值。各点的势能才具有唯一的确定值。说明说明2、几个典型力场的势能、几个典型力场的势能1）引力势能引力势能 两个质量分别为两个质量分别为M 和和 m 的质点，当相距为的质点，当相距为 r 时，它们时，它们之间的万有引力为之间的万有引力为选选无限远为零势能点无限远为零势能点，则引力势能为：，则引力势能为：rermMGF20 r

9、rPrrmMGrFEdd20 引力场中的势能为引力场中的势能为负值负值，有限远处的势能表示皆小于无穷有限远处的势能表示皆小于无穷远处的势能远处的势能。rMmGEp0 pErO2）重力势能重力势能 0dMMplgmE 0dzzmgOxzy),(zyxM)0 ,(000yxMgmld m 设质点的质量为设质点的质量为m，处于，处于M（x，y，z）。）。 选选 M0 (x0，y0，0)为势能零点为势能零点，则重力势能为：则重力势能为：mgzEp pEzO 重力势能是由质点与零势能重力势能是由质点与零势能点的高度差所确定。点的高度差所确定。xOMFx 设弹簧自由伸长处设弹簧自由伸长处O 点为点为零零势

10、能点势能点。则弹簧形变量为。则弹簧形变量为 x 时的时的势能为，势能为， 0dxpxkxE3）弹（簧）力势能弹（簧）力势能pExO221xkEp 势能是相对的，与零势能点的选择有关。势能是相对的，与零势能点的选择有关。势能差是绝对的，与零势能点的选择无关。势能差是绝对的，与零势能点的选择无关。两点间势能差为：两点间势能差为：lFEEppd2121 说明说明 21dMMlFA保保 2001ddMMMMlFlF 0201ddMMMMlFlF)(1221ppppEEEE pE pppEEEA )(12保保守守3、势能与保守力的功、势能与保守力的功 A 保守保守 的关系的关系（势能定理）（势能定理）保

11、守力在某一过程所作的功，等于该过程中势能增量的负值。保守力在某一过程所作的功，等于该过程中势能增量的负值。pElFAddd 保守力元功与势能的关系保守力元功与势能的关系zFyFxFAzyxdddd zzEyyExxEEppppdddd )(kzEjyEixEFppp 则则：ppEEF gradkzjyix 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。势能梯度矢量的负值。 哈密顿算符哈密顿算符二、保守力与势能梯度二、保守力与势能梯度pEAdd 由由)(1va)(2vb Fld lFAdd dsdd tvmvmvd sFtd lFd

12、cos )21d(2mv 21222121mvmv 末态的状态量末态的状态量初态的状态量初态的状态量过程量过程量定义定义 质点的动能质点的动能221mvEK kakbEEA 质点的质点的动能定理动能定理合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 )21d(d221mvAAvvba 3.3 动能定理动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理 例题例题3-13-1 质量为质量为m、线长为、线长为l的单摆，可绕的单摆，可绕o点点在竖直平面在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平成然后自由放下，求摆

13、线与水平成 角，角，摆球的速率和线中的张力。摆球的速率和线中的张力。rddabl解：解：摆球受摆线拉力摆球受摆线拉力T T和重力和重力mg, ,合力作的功为合力作的功为 bababargmrTrgmTAddd)(0d barT sindcos dcosd0mglmglrmgrgmAbaba 由由动能定理动能定理2221021sinmvmvmglA sin2glv 牛顿第二定律的法向分量牛顿第二定律的法向分量式为式为: lvmmamgT2nsin sin3mgT 例题补充例题补充 在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为m的滑块以速度的滑块以速度v0

14、沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：作的功为：)1(21220 emvm0vfN证明：建立自然坐标系，由证明：建立自然坐标系，由牛顿第二定律牛顿第二定律tvmfdd RvmN2 Nf tvmRvmdd2 即：即：tssvvRdddd21 svvdd 分离变量分离变量vvsRdd 作定积分，得：作定积分，得： vvRvvsR00dd)( RRvv 0ln即：即： evv0故：故： evv0由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：2022121

15、mvmvA )(2120220vevm )1(21220 emv二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理1、质点系、质点系 内力与外力内力与外力具有相互作用的若干个质点称为质点系。具有相互作用的若干个质点称为质点系。外力：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。x1mzy Nmjmim Oijfjif1FNF根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律 质点系所有内力之和为零质点系所有内力之和为零 0内内f质点系所受的合外力质点系所受的合外力为为质点系内质点系内各质点受

16、的外力的矢量和，即各质点受的外力的矢量和，即 NiiFF11rd2rd11111111babarfrFdd12121112121KabEvmvm对对m1:2222222222222222121KabababEvmvmrfrFdd对对m2:2、质点系的动能定理、质点系的动能定理1）两质点系统）两质点系统对各质点应用动能定理：对各质点应用动能定理：两式相加两式相加，得：，得：112222112122112211baKKbababaEErfrfrFrFdddd2F1F1f2f1bv2bv1m2m1l2l1a2a2b1b1av2av即即KEAA内内外外2）n 个质点的系统个质点的系统推广：推广：KEA

17、A 内内外外 niiiniiivmvm120122121 所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。等于质点系总动能的增量。4、内力内力能能改变改变系统的系统的总动能总动能， 但但不改变不改变系统的系统的总动量总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有的做功本领。、动能是质点因运动而具有的做功本领。3、功与动能必须对应同一惯性系。、功与动能必须对应同一惯性系。12F21F1M2M1ds2ds说明说明gSmgSmABA sin外外0 内内AT

18、A作负功、作负功、T B作正功，其代数和为零。作正功，其代数和为零。由由动能定理动能定理得得221vmmgSmgSmBABA)(sin 解得：解得： BABAmmmmgSv )sin( 2系统系统初态动能初态动能为：为：2221vmmEBAk)( 例题例题3-2 物体物体mA和和mB通过一不能伸缩的细绳相连，通过一不能伸缩的细绳相连，m A 由由静止下滑，静止下滑，mB 上升，上升，mA滑过滑过 S 的距离时，的距离时， 两个物体两个物体的的速率速率。 (摩擦力及滑轮的质量不计摩擦力及滑轮的质量不计)。 解解 选取物体选取物体A、B 与细绳组成一系与细绳组成一系统，系统所统，系统所受外为重力受

19、外为重力GA、GB 支持力支持力N；内力为绳子的拉力。内力为绳子的拉力。vBvA AGNATBTBG未态动能未态动能为：为：01kE3.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律 一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：kEAA 内内外外非非保保内内保保内内内内令令AAA : 功能原理功能原理 系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它作的功。系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它作的功。pEA 保保内内非非保保内内内内AEAp 为为机机械械能能式式中中kpEEE 由势能定理知：由势能定理知： 动能定理中的功，包括动能定理中的功，包括外力

20、功和所有内力外力功和所有内力功。功。不要重复计算保守力的功。不要重复计算保守力的功。功能原理中的功，包括功能原理中的功，包括外力功和非保守内力外力功和非保守内力功。功。注意注意EEAApkE非非保保内内外外二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律时时，当当内内非非保保外外0 AA0 E也可写成：也可写成： EEEAApk 非非保保内内外外 如果系统内只有保守内力作功，而其它内力如果系统内只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作功或对系统作功之和始终为零，和外力都不作功或对系统作功之和始终为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换；则系统内各物体的动能和势能可以相互转换；但总机械能保持不变但总机械

21、能保持不变 。 条件：条件：0 内内非非保保外外AA或只有保守内力做功或只有保守内力做功两种情况两种情况机械能守恒与机械能守恒与转换定律：转换定律：CE 即即：三、能量守恒定律三、能量守恒定律各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。 pKEE 例题例题3-33-3 如图所示，有一质量略去不计的如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m m的小球，小球穿过圆的小

22、球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于开始时小球静止于A A点，弹簧处于自然状态，点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径其长度为圆环的半径R R。当小球运动到圆环。当小球运动到圆环的底端的底端B B点时，小球对圆环没有压力。求此点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。弹簧的劲度系数。 解解 取弹簧、小球和地球取弹簧、小球和地球为一个系统，系统的机械能守恒。取弹为一个系统，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取簧为自然状态时的弹性势能为零；取B B点处的重力势能为零，可点处的重力势能为零，可得得)30sin2(212122 mgRkRmvB点时由牛顿第二定律点时由牛顿第二定律得得RvmmgkR2 Rmgk2 由由此此得得 例题例题3-43-4要要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最小