《大学文科数学》

1、整理课件第四十五讲第四十五讲 主讲：主讲：杨荣杨荣副教授副教授吉林大学远程教育吉林大学远程教育整理课件 2.5 求定积分的换元积分法和分部积分法 在例21中，用换元积分法求原函数时，要将新变量还原为原来的积分变量，才能求出定积分之值，这样做比较麻烦，现介绍省略还原为原积分变量的步骤计算定积分的方法。 1. 定积分的换元积分法 例例15 求 .1140dxx 解解 令 x = t2( t0) ,即 ，当x = 0时 t = 0 ，当 x = 4时 t = 2 ，于是 xt )3ln2(2)1ln(21211202040ttdtttdxx整理课件严格说来，关于定积分的换元积分法有下面的定理。 定理

2、7 设 则 该公式称为定积分的换元积分公式换元积分公式（证明从略）。 dtttfdxxfba)()()( 这样做省略了将新变量 t 还原为原积分变量 x 的麻烦，但需注意两点：第一，引入的新函数 一般是单调的，为的是使 t 在区间,内变化时，x在区间a , b内变化，且 ， ；第二，改变积分变量时必须改变积分上下限，简称为换元必换限换元必换限。 )(tx)(a)(b （1）设 f (x)在a,b上的连续； （2）函数 在,上单调，且有连续导数； )(tx （3） x ,时， x a,b， ,)(a)(b 1. 用 把原积分变量 x 换成新积分变量 t 时，积分限也要换成新积分变量的积分限。)(

3、tx整理课件 定理7的公式也可以倒过来使用，写成duufdtxxfba)()()( 2.求出 的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再换回积分变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上下限代入原函数中然后相减就行了。)()(ttf这里.)(,)(ba 例例16 求.11210dxxx 解解 令 ，则 ，当 x = 0时 t = 0 ；当 x = 1时 t = ，于是tx12tdtdxtx),1(2123dttttdtttdxxx312231210121)1(211126)13(2arctan21112313122ttdttt整理课件 例例18 求.sinsin053dxxx 例例17 求.24

4、22dxxaxaa 解解 令 x = asect ，则 dx = asect tant dt .当 x = a时， t = 0 ；当 x = 2a时 t = ，于是33022304222422cossin1tansecsec1sec1tdttatdttttadxxaxaa 计算上式最后一个积分可不引入新的变量，则定积分上、下限也不改变。现在用这种方法计算如下：2303230223022833sin1sinsin1cossin1atattdatdtta 解解 由于 ，在 上， 在 上， 于是xxxxxxcossin)sin1 (sinsinsin2323532,0,2xxcoscosxxcosc

5、os整理课件 证证 由于 例例19 设函数 f (x) 在对称区间-a, a上连续，试证：.)(2)(0dxxfdxxfaaa (1) 若 f (x) 为偶函数，则 (2) 若 f (x) 为奇函数，则.0)(dxxfaa 对上式右端第一个积分作变换，令 x = - t，得)1()()()(00dxxfdxxfdxxfaaaa)2()()()(000dttfdttfdxxfaaadxxxdxxxdxxx2232023053)cos(sincossinsinsin)(sinsin)(sinsin2232023xdxxdx54)52(52sin52sin522252025xx整理课件.)()()(

6、)(0000dxxfdttfdttfdxxfaaaa (1) 若 f (x) 为偶函数， f (x) = f (x)，则(2)式成为把上式代入(1)式，得dxxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)(2)()()(.)()()()(0000dxxfdttfdttfdxxfaaaa (2) 若 f (x) 为奇函数， f (x) = f (x)，则(2)式成为把上式代入(1)式，得0)()()(00dxxfdxxfdxxfaaaa 本例题给出奇函数和偶函数在对称区间上积分的性质，用这个性质计算对称区间上定积分时，注意到被积函数的奇偶性，可以简化计算。例如计算 ，由于被积函数为奇函数，积分区

7、间为对称区间，立即知该积分为零。dxxx44cos整理课件dxxfdxxfTaTaa)()( 例例20 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，试证对任何常数 a，有 证证 因为对任何常数 a ，都有对上式右端第三个积分作变换，令 x = tT，并利用 f (x)的周期性，得把上式代入(3)式，得)3()()()()(00dxxfdxxfdxxfdxxfTaTTaTaadxxfdttfdtTtfdxxfaaaTaT000)()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfTaTaTaa0000)()()()()(整理课件 解解 设 x1= t ，则 dx = dt .当 x = 0时， t =1 ；当 x = 2时 t = 1.于是dttfdttfdttfdxxf10011120)()()()1( 例例22 求. )0(022adxxaa10011tdtdtet1001)1ln(tet2ln11e 例例21 设 求,)0(,)0(,11)(xexxxfx.)1(20dxxf整理课件dttatadxx