向量及坐标表示及其运算

1、第八讲向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1 .平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向用字母a,b,或用AB,BC,表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0;零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量2向量坐标的有关概念（1）基本单位

2、向量（2）位置向量（3）向量的正交分解3 .向量的坐标运算：设a（x1,y1），b（X2,y2）,ab3X2,yy2）,a（x1，y1）4 .向量的摸：|aJX1一p（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=Xa,即b/ab=入a（aw0）.2设a=（X1,y1），b=（X2,y2）贝Ub“ax1y2x2y1（三）定比分点公式：1线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1,P2的直线P1P2上的点；（2）实数入是P分有向线段P1P2所成的比，即P1-P,P-P2的顺序，不能搞错；（3）定

3、比X分点的坐标公式X1X21 （入W1）.yy212中点坐标公式3三角形重心坐标公式二、典型例题例1若向量.a,b满足.abab,则a与b所成角的大小为多少？例2下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度（2）年龄（3）风力（4）面积（5）位移（6）人造卫星速度（7）向心力（8）电量（9）盈利（10）动量例3.ABC 中，A (1, 1), B (-3, 5),C (8,-3), G是ABC重心，求GA的坐标例4.已知A1,2,B2,1,C3,2,D2,31求与AB反向的单位向量2若BE2,5,求点E的坐标3若aacBD,求a4求证：A,B,C三点不共线5以AB,AC来表示ADBDCD6若Px,3

4、且A,B,P三点共线，求点P坐标2一7如图所示，若点M分BA的比为3:1,点N在线段BC上，且Samnc-Sabc，求点N点3的坐标例5若ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a,AD=b，则BE等于A.b+aB.ba2 2C.a+-bD.a-b22例6©、e2是不共线的向量，a=e+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于A.0B.-1C.-2D.±1例7.若a="向东走8km”,b="向北走8km”,贝U|a+b|=,a+b的方向是.例8已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|ab|=2,则|a+b|等于A.1B.2C5D

5、.6例9如图，G是ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.例10设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=入OA+OB且入+科=1,入、WCR.例11若a、b是两个不共线的非零向量(tCR).(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、-(a+b)三向量的终点在一直线上3(2)若|a|二|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时，|atb|的值最小？例12.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则有A.a/b且a、b方向相同C.a= bB.a=bD.以上都不对例13.设四边形ABCD中，有DC= 1而且|AD |=|BC |,则这个四边形是2A.平行四边形C.等腰

6、梯形例14.1i、l2是不共线向量，且 a=1i+312例15.设两向量e1、e2满足|e“=2, |e2|=1,B.矩形D.菱形b=4l1+2l2, c= -31i+1212,若 b、c 为一组基底，求向量 a.e1、e2的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.例16已知向量a=2e1一 3e2, b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线，向量 c=2e一 9改.问是否存在这样的实数入、,使向量d=入a+b与c共线？例17.如图所示，D、E是ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a,BD=b,试用

7、a、b分别表示DE、CE和MN.例 18 在4ABC 中，AM : AB=1 : 3AN : AC=1 ： 4, BN 与 CM 交于点 E, AB =a,AC =b,用 a、b表不'AE.例对19任意非零向量a、b,求证:、高考点击试题|a|-|b|< 忸士 b|w |a|+|b|.1 .若平面向量b与向量a= (1, 2)的夹角是180° ,且|b|=3«,则b等于A. ( 3, 6)C. (6, 3)2 .已知向量a= (34)A. 343已知平面向量A.3B. 一(31)B.1(sin a ,34b= (x,B. (3, 6)D. (6, 3)cos

8、a ), 且 a“b,贝U tan a 等于C.433)且a±b,则x等于C.-14D.3D.- 3四、练习题1.如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB / CD, E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB 与CD的中点，则EF等于A. AD BCB. AB DC MC.AGDHD.BGGH2.下列说法正确的是（）A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为0C.长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量3.在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则MAMBMC等于（）A. OB. 4MDC.4 .已知向量a与b反向，下列等式中成

9、立的是A.|a|b|ab|B.C. |a|b|ab|D.5 .在二 ABCD 中，设 AB a, AD b, AC -tffA.abcB.b1-IC.badD.4MFD. 4ME( )|a b| |a b|a| |b| |a b|c, BD d ,则下列等式中不正确的是()»risa b dbB-cab6 .下列各量中是向量的是A.质量B.距离C.速度7 .在矩形ABCD中，。是对角线的交点，若 BC 5e1, DCD.电流强度3届则OC =.1 、A. (5e) 3e2)-1一、B . - (5e1 3e2)八 1，丁 二、C. - (3e2 5e1)一 1一-二D. - (5e2

10、 3e1)8.若 a,b共线，a b o,(R),则A. a o,b oB. a o, o C.o,b o D. o, o( )KD. a b9.化简(2a8b)(4a2b)的结果是32I-I-fFA.2abB.2baC.ba10 .下列三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底零向量不可作为基底中的向量.其中正确的是（）A.B.C.D.11 .若0Pla,OP2b,P1PPF2,则OP等于（）A. a bC. a (1 )b1.D. a12 .对于菱形ABCD,给出下列各式: AB BC|AB|BC|ABCD|ADBC|AC|2|BD|24|AB|2其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13 .3,02不共线，当k=时，akeie2,bekq共线.14,非零向量a,涮足|a|b|ab|,则a,b的夹角为.15 .在四边形ABCD中，若ABa,ADb,且|ab|ab|,则四边形abcd的形状是16 .已知a,b,c的模分别为1、2、3,则|abc|的最大值为三、解答题（本大题共74分，17-21题每题12分，22题14分）17 .设色是两个不共线的向量，AB2eke2,CB013e2,CD2e2,若A、B、D三点共线，求k