2018版高考数学专题1集合与函数1.2.1对应、映射和函数学案湘教版必修1

1、1.2.1对应、映射和函数学习目标1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和 原象.2.会判断给出的对应是否是映射 3 能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值 域.4.能说出函数的三要素.尹预习导学/挑战自我丄点点落实_预习导引1.映射(1) 在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射.(2) 映射的定义：设A B是两个非空的集合如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一元素和它对应, 这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f:ATB.在映射f:ATB中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作y

2、=f(x),x叫作y的原象.2 函数(1) 函数就是数集到数集的映射.(2) 函数的定义：设 A,B是两个非空的数集如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的 函数，记作f:ATB,或者y=f(x)(xA,yB).在函数y=f(x)(xA yB)中，A叫作函数的定义域， 与xA对应的数y叫x的象,记 作y=f(x)，由所有xA的象组成的集合叫作函数的值 _函数的三要素：对应法则；定义域；值域_.戸课堂讲义 V重点难点*个个击破_要点一映射定义的理解例 1 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射哪些不是，为什么？(1

3、)A=x|x R+ ,B= y|y R,f:XTy=x；1,x 0;A= R,B= 0,1 ,f:XTy= *0,xv0;2A=0,1,2,9, B=0,1,4,9,64, f: aTb=(a1).2解(1)任一个X都有两个y与之对应，.不是映射.对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1 和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素 0 和它对应，.是映射.在f的作用下，A中的 0,1,2,9 分别对应到B中的 1,0,1,64 ,是映射.规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”.一个对应是映射必须是这

4、两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射.说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可.跟踪演练 1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A= R,B= R,f:xTy=占； 1、A=a|a= n, n N+, B=b|b= n， n N+ 1f: aTb=；a2A= 0，+m),B= R,f:xTy=x；A=x|x是平面M内的矩形 ,B=x|x是平面M内的圆 ,f:作矩形的外接圆.解(1)当x=- 1 时，y的值不存在，不是映射，更不是函数.(2) 是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，.不是映射，更

5、不是函数.(4)是映射，但不是函数，T A,B不是非空的数集.要点二映射的象与原象例 2 已知映射f:ATB其中 A=B= R,对应法则f:XTy=x2+ 2x.(1)求A中元素一 1 和 3 的象；求B中元素 0 和 3 的原象；(3)B中的哪一些元素没有原象？解 令x =-1 得y=(1)2+2X(1)=-1,令x =3 得y =3+2X3=15,所以一 1 的象是一 1,3 的象是 15.2令x+ 2x= 0,解得x= 0 或2,所以 0 的原象是 0 或一 2.令x+ 2x= 3.解得x= 1 或3,3所以 3 的原象是 1 或一 3.由于y=x2+ 2x= (x+ 1)2-1- 1，

6、所以只有当y- 1 时，它在A中才有原象，而当yv1 时，它在A中就没有原象，即集合B中小于一 1 的元素没有原象.规律方法1.解答此类问题的关键：(1) 分清原象和象；(2) 搞清楚由原象到象的对应法则.2.对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解.跟踪演练 2 (1)映射f:A-B,A= 3, 2, 1,1,2,3,4，对于任意aA,在集合B中 和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是()A. 7B. 6C. 5D. 4设A=x|x是锐角,B= (0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素 60相对

7、应 的B中的元素是 _，与B中元素芈相对应的A中的元素是 _.J3答案(1)D(2) 45解析(1)由映射定义知，B中至少有元素 1,2,3,4 ，即B中至少有 4 个元素，选 D.(2)60 角的正弦等于-2, 45角的正弦等于-2，所以 60的象是-2,-2的原象是 45.要点三映射的个数问题例 3 已知A= x,y,B=a,b,c，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？解分两类考虑：(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有 3 个.H A B A B集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个.ABABABABA&AB A 到 B 的映射共有 9 个.规律方法 1.

8、若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有m个，从B到A的映射有nm个.2.对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题， 其关键是将映射4具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等).跟踪演练 3(1)在例 3 中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？已知集合 A= a,b, B= 2,0 , 2,f是从A到B的映射，且f(a) +f(b) = 0,求这样 的映射f的个数.5解(1)可以建立以下 8 个不同的映射:符合要求的映射 f 有以下 3 个:要点四函数的概念例 4 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()2 2A. x+y= 1,xA,yBB

9、.A=1,2,3,4 ,B= 1,1,对应法则如图所示1C. A= R,B= R,f:xTy=-x 1D. A= Z,B=乙f:xTy=2x 1答案 B解析 选项 A 中由x2+y2= 1,得y= 1 x2，对于x任意值，y不唯一；选项 B 中，对于 任意xA,都有唯一yB;选项 C 中，x= 1 时，通过法则f,y值不存在；选项 D 中，取x=2A但是通过f,对应y值为.2X2 1 = 3?B,即y值不存在，由函数定义知，答案为B.规律方法 判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：(1) 将原式等价转化为用x表示的形式；(2) 看x的取值集合是否为？，若是？，则不是函数，若不是？，再看

10、x与y的对应法则；(3) 判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应.若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数.另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形 式，若有这种情况则构不成函数.& A B A BB6跟踪演练 4F列各图中,7答案 D解析 由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有 D 项正确.歹当堂检测 兰当堂训练.休验成功_1.给出下列四个对应法则，是映射的是（）解析 B 选项中y =J2x2, D 选项中y=.x,x的每一个值都有 2 个y值与之对应，不 是函数，C 项中由于x 20且

11、 1 x0,所以x的值不存在，也不能确定函数， 只有 A 项正 确.A.C.答案 CB.D.解析 中c没有与之对应的元素，不是映射；中 所以选 C.a有两个与之对应的元素，不是映射,2 .对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是（）A.A中的元素在B中一定有象B.B中的元素在A中可能没有原象C. 集合A中的元素与B中的元素一一对应2D. 设A=B= R,那么y=x是A到B的一个映射答案 C解析 在A到B的映射中，A中的元素与B中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.3 .点（x,y）在映射f下的对应元素为 一3：+y, 一2-y，则点（2,0）在f作用下的对应元素为（）A. (0,2)

12、B. (2,0)C. ( 3, - 1)D. ( ,3, 1)答案 C解析x= 2,y= 0 时，十3, 1,（2,0）在f作用下的对应元素为（，3, 1）.A B A B A B 85设集合A= a,b, B= 0,1，则从A到B的映射共有 _个.答案 4解析可以构成 4 个映射，它们是课堂小结-11.映射的定义从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B,建立一个对应法则f:B,且满足映射的对应关系.(2) 对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”.根据映射的定义 可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映

13、射，而“一对多”不可以.(3) 映射的定义涉及两个集合A、B,它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合.2 函数符号y=f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x,在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”.在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值.3.正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解 析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义.戸分层训练 兰幫症纠偏.训练检测_一、基础达标1.已知A= 1,1，映射f:A-A,则对xA,下列关

14、系中肯定错误的是()A.f(x) =xB.f(x) = 12C.f(x) =xD.f(x) =x+ 2答案 D解析 对于D,取x= 1 A,但是通过f，对应f(1) = 3?A 由映射定义知，D 错误.x+ 12 .已知函数f(x)= ，贝 Uf(1)等于()x4.下列各式中， 能确定A.x+ 3y= 1C. y=x 2+, 1x答案 Ay是x的函数的是()2 2B. x+y= 22D. y=x9A. 1B. 2C. 3D. 0答案 B107 .已知A= 1,2,3 ,m,B= 4,7 ,n4,n2+ 3n，其中nN+.若xA,yB,有对应法则f:xTy=px+q是从集合A到集合B的一个函数，

15、且f(1) = 4,f(2) = 7,试求p,q,mn的值.解 由f(1) = 4,f(2) = 7,列方程组：jP+q 4I2P+q= 7,p=3, ?c、q= 1.故对应法则为42=3x+1.由此判断出A中元素 3 的象是n或n+ 3n.若4n= 10,因为n N+,不可能成立，所以n2+ 3n= 10,解得n= 2(舍去不满足要求的负值).又当集合A中的元素m的象是n4时，即3n+ 1= 16,解得 5.当集合A中的元素m的象是n2+ 3n时，即 3n+1 = 10,解得n= 3.由1 + 1解析f(1) =丁 = 2.F 列各组函数中，表示同一函数的是()2m切XB.y=x和y= _x

16、答案 D答案(5)5._已知函数f(x) =x2+ |x 2|，贝 Uf(1) =_ 答案 22解析f(1) = 1 + |1 2| = 2.6.已知集合A到集合B=2,3,4,5的映射f:xy= |x| 1,且集合B中至少有一个元素在集合A中没有原象，则集合A中最多有 _ 个元素.答案 6解析 若 |x| 1= 2,则x= 3;若 |x| 1 = 3,则x= 4;1 = 5,则x= 6.又因为集合B中至少有一个元素在集合多有 6 个元素.A.2工x- 1y=x 1 和y=-C.22y=x和y= (x+ 1)D.y=$ 和y一:一2解析 A, B 中两函数的定义域不同,C 中的两个函数对应法则

17、不同，故选D.4.下图中建立了集合f.其中为映射的对应是若|x| 1 = 4,则x= 5;若 |x|A中没有原象，所以集合A中最P中元素与集合M中元素的对应( (411元素互异性知，舍去mi= 3.故p= 3,q= 1,m=5,n= 2.、能力提升8 .设f(x)A. 1答案耳=5X(3)=1.f210._已知集合A= a,b,B= c,d，则从A到B的不同映射有 _ 个.答案 4解析c,bc；d,d；c,d；d,c,共 4 个.解析 f(2)35,9. gi(x)=4 3x,f(x)=2xg 0)3315A. .B-C D. 9222答案C1211Q)解析f（4）=-12-15,（4）153

18、 11115g（4）=4一4= 2,二f(4)Xg(4)=亍1 1f（4）X g（4）等，则1 x21211.若f(x) =ax2 2,a为一个正的常数，且ff(2) = 2,求a的值.解 因为f(2) = 2a 2.所以ff( 2) =f(2a2) =a (2a 2)2 2 =2,三、探究与创新12.已知集合A= 1,2,3,k,B=4,7 ,a4,a2+ 3a,aN+,kN+,xA,yB,f:xy=3x+1 是从定义域A到值域B的一个函数，求a,k,A, B.解根据对应法则f,有:所以a- (2a ,2)2= 0(a0)，故 2a 2 = 0,所以a=134;2f 7;10; kfk+ 1.若a4= 10,则a?N+,不符合题意，舍去;2右a+ 3a= 10,则a=2(a=- 5 不符合题意，舍去).故 3k+ 1 =a4= 16,得k= 5.综上：a= 2,k= 5,集合A= 1,2,3,5B= 4,7,10,162x13.已知函数f(x) =2.1 +x1 1(1)求f(2)与f(2),f(3)与f(3)；+ 1 1 1(3)求f(1)