2018版高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(二)学案新人教A版必修5

1、2.3等差数列的前n项和(二)学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题 3 理解an与S的关系，能根据S求an.戸知识梳理_ 自丰学习知识点一等差数列前n项和及其最值1 .前n项和公式：n(n 1)d2dS=na+2d= ?n+ (a1 2)n.2 .等差数列前n项和的最值an 0, (1)在等差数列an中，当a O,dv0 时，S有最大值,使S取到最值的n可由不等式组an+1w0确定；anW0,当aiv0,d0 时，S有最小值,使 $取到最值的n可由不等式组七确定.an+1 A0因为s=|n2+一dn,若dM0,则

2、从二次函数的角度看：当d0 时，S 有最小值；当dv0 时，S 有最大值；且 n 取最接近对称轴的自然数时，S 取到最值.知识点二 数列中 an与 S 的关系对任意数列an, $与an的关系可以表示为庖(n= 1),an=|SS1(nA2).思考 若Sn=+n,贝Uan=_ .答案 2n2 2解析n时，an=SnSn-1=n+n (n 1) + (n 1) = 2n,2当n= 1 时，a1= S = 1 + 1 = 2 = 2x1,-an= 2n.知识点三裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和.常见的拆项方法：1 1 1 1n(n+ 1) =n n

3、+ 1，n(n+ 2)1 = 11 1；n(n+k)k n n+k；一n+ 1+：n=n+1n，1 12nn+ 2 ；211 11 _ _n+2+一n= 2(.n+ 2-n)n+k+：n4Mn)；,c、11,11、(2n- 1)( 2n+ 1) = 2(2n- 1 _ 2n+ 1L戸题型探究题型一一 已知Si求an例 1 已知数列an的前n项和为S,若Sn= 2n2+3n,试判断数列刘是不是等差数列.2解 /S=2n+ 3n,.当n2时，2 2an=SnSn-1= 2n+ 3n 2(n 1) 3(n 1) = 4n+1.当n= 1 时，a1= S= 5 = 4x1+ 1. n = 1 时，适合

4、 an= 4n+1.数列的通项公式是an= 4n+ 1.故数列an是等差数列.反思与感悟S, n = 1,(1)an与Sn的关系：an=|SnSn1,n2.当n= 1 适合于an时，贝Ua1可以统一到a(n2,n N)的形式中.若n= 1 不适合,则通项公式应写成分段函数形式.等差数列an中，若dz0,贝USn可写成关于n的二次函数形式，反之，若S= Ari2+Bn,那么数列an一定是等差数列.跟踪训练 1 本例中，若 S = 2n2+ 3n+ 1,试判断该数列是不是等差数列.2解 /Sn= 2n+ 3n+1.n2时，2 2an=Sn S-1= 2n+ 3n+ 1 2(n 1) 3(n 1)

5、1 = 4n+ 1.当n= 1 时，a=S= 6 工 4x1+ 1.6,n=1,an=故数列an不是等差数列.I4n+ 1n2,题型二等差数列前n项和的最值问题 例 2 在等差数列an中，若a1= 25,且S9=S17,求Sn的最大值.解 方法一$=S17,a1= 25,解得d= 2.2=(n13)+169.当n= 13 时，Sn有最大值 169.方法二同法一，求出公差d= 2.重点突破9(9 1)2d=17X25+17(171)2d,3n(n1)2Sn=25n+X(-2)=n2+26n4an=25+(n1)x(2)= -2n+27.ai=250,an= 2n+ 27 0,an+i= 2 (n

6、+ 1)+ 27W0,又 N,.当 n= 13 时，S 有最大值 169.方法三TS9=S17,aio+aii+ &仃=0.由等差数列的性质得ai3+ai4= 0./ai0,d0,ai40,d0,则Sn存在最大值，即所有非负项之和.若a0, 则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:5寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用an0,或an+1W0anW0,来寻找.an+10运用二次函数求最值的方法，注意解自然数.跟踪训练 2 已知等差数列an中，ai= 9,a4+a?= 0.(i)求数列an的通项公式;当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值?解

7、(i)由ai= 9,a4+a7= 0,得ai+ 3d+ai+ 6d= 0，解得d= 2,an=ai+ (n i) d= ii 2n.(2)方法一ai= 9,d= 2,Sn= 9n+n(n ( 2) =n2+ 10n= (n 5)2+ 25,当n= 5 时，S取得最大值.62n2竽+ 3 502 ,n35 且n N*.2 2反思与感悟等差数列的各项取绝对值后组成数列|an| .也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列方法二 由(1)知ai= 9,d= 20，贝y11 2no,解得nw.Tn N,.nw5 时，an0,n6 时，an0；当n35 时，anS7S5,有下列四个命题：d

8、0；$2S7,.a7$,a6+a70,.a60,.d0，正确.12S2= 2(a1+a12)= 6(a6+a7)0 ,S中最大项为S6,不正确.故正确的是.3._已知等差数列an中，|a5| =|a9|，公差d 0,则使得前n项和 S 取得最小值的正整数n的值是_ .答案 6 或 7解析 由 |a5| = |a9| 且d0 得as0，且as+a9= 0? 2a+ 12d= 0?a1+ 6d= 0, 即卩a?=0，故Ss=S7且最小.答案 99-Sn= ( =2 1) + (订 3 一 工：2) +(二n+ 1 . n)=,n+ 1 1= 9, n =99.5.已知数列an的前n项和Sn= 3

9、+ 2n,求an.解 (1)当n= 1 时，a1=S= 3 + 2 = 5.(2)当n2时，Sn-1= 3 + 2n一1,nnn1n1z又Sn= 3 + 2 , an=SnSn-1= 2 2= 2 (门2)._ 1一1又当n= 1 时，a= 2= 1 工 5,- an=5 (n= 1), 2n1(n2).厂课堂小结不正确.4.数列anan= n+_n+ 1,其前n项和Sn= 9,贝Un=解析1an= 一n+一121.因为an=SnSn-1在门2时才有意义，所以由Sn求通项公式Nn=f(n)时，要分n= 1 和门2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形13式表示.2 .求等差数列前n项和最值的方法:(1)二次函数法：用求二次函