二向应力状态分析--解析法和图解法

1、TSINGHUA UNIVERSITY自学提纲自学提纲1：单向拉伸应力状态的应力圆：单向拉伸应力状态的应力圆2 ：纯剪切应力状态的应力圆：纯剪切应力状态的应力圆3：二向等拉应力状态的应力圆：二向等拉应力状态的应力圆并判断应力圆的圆心在那个轴上？并判断应力圆的圆心在那个轴上？1 定圆心定圆心 2 定半径定半径 3 画圆画圆1 求主应力求主应力 2 面内最大切应力面内最大切应力TSINGHUA UNIVERSITY主应力（计算）、主平面（位置确定！）思路思路 -分析任意斜截面上的应力分析任意斜截面上的应力一一 任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力要求：要求： 1 掌握解决问题的思想掌握解决问题的思

2、想要求：要求： 2 考研的同学理解记忆公式考研的同学理解记忆公式TSINGHUA UNIVERSITYxyx y yx xy各量的含义各量的含义 1) 左右面上的正应力左右面上的正应力 上下面上的正应力上下面上的正应力 2 ) ) 左左 右右 面面 上上 的的 切切 应力应力TSINGHUA UNIVERSITYxyyxyxyxn 外法线外法线注意：注意：TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY问题问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力已知原始单元体互相垂直面上的应力求任意斜截面上的应力求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？斜截面的位置？）解决问题的方法解决

3、问题的方法 平衡平衡 的思想的思想xyx y yx xyxyTSINGHUA UNIVERSITYxyx y yx xyxyxxyyxy2、单元体的局部平衡、单元体的局部平衡n+TSINGHUA UNIVERSITY xy y yxdA x 2、单元体的局部平衡、单元体的局部平衡- - cos )cos(dAx- - ydA(sin )sin 0dA sin dA(cos )xy dA(sin )cosyxnt+ 0?TSINGHUA UNIVERSITY平衡方程平衡方程 dA - - xdA(cos )sin- - xydA(cos )cos ydA(sin )cos yxdA(sin )s

4、in 0 xy y yxdA x ntTSINGHUA UNIVERSITYsin2cos222xyyxyx-cos2sin22xyyx-xyx y yx xyxyTSINGHUA UNIVERSITY10MPa, 30MPaxy -cos2sin222xyxyxy-3010301030cos6020sin6022-sin2cos22xyxy-301030sin6020cos60 2MPa10MPa30MPa20MPa20030例题例题1求斜面求斜面ab上的正应力和切应力上的正应力和切应力yx解：ab303003017.32MPa -27.32MPa 20MPa, 20MPa, xyyx-TS

5、INGHUA UNIVERSITY用用 斜截面截取，此截面上的应力为斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx-2cos2sin2xyyx-x yyx xy？思考009090TSINGHUA UNIVERSITYx yyx xy090-yx090TSINGHUA UNIVERSITY2 主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力 ?要求要求 掌握主应力计算！牢记公式，并进行掌握主应力计算！牢记公式，并进行排序！排序！TSINGHUA UNIVERSITYsin2cos222xyyxyx-cos2sin22xyyx-0cos2sin220 xy0yx0-O0090 该式确定

6、了两个相互垂直的主平面的位置该式确定了两个相互垂直的主平面的位置TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 2 求正应力的极值面求正应力的极值面0cos22sin2ddxyyx-)(sin2cos222xyyxyx-TSINGHUA UNIVERSITY0 minmax2xy2yxyx)2(2-0 xy0yxyxsin2cos222-主应力是一点应力状态的最终度量主应力是一点应力状态的最终度量就是所谓的应力状态的不变性就是所谓的应力状态的不变性TSINGHUA UNIVERSITYcos2sin22xyyx-0sin22cos2ddxyyx-)(xyyx22-

7、1tanTSINGHUA UNIVERSITYxyyx22-1tan1xy1yxcos2sin22-2xy2yx)2(-minmax 切记切记!TSINGHUA UNIVERSITY2xy2yx)2(-minmax0 minmax2xy2yxyx)2(2-O0090 主平面主平面 主应力主应力 面内最大面内最大( (小小) )切应力总结切应力总结 TSINGHUA UNIVERSITY1 主应力大小主应力大小2 （面内）最大切应力（面内）最大切应力3 主平面位置主平面位置4 绘出主（应力绘出主（应力) )单元体单元体例题例题2：一点处的应力状态如图。：一点处的应力状态如图。 x y xy MP

8、a，60 xMPa,30-xy,MPa40-y已知已知TSINGHUA UNIVERSITY1 主应力计算主应力计算2yxxyyx22)2(-maxMPa3 .682yxxyyx22)2(-minMPa3 .48-MPa3 .48, 0MPa,3 .68321-y x xy MPa，60 xMPa,30-xy,MPa40-y正应力的两个极值就是正应力的两个极值就是两个主应力两个主应力公式公式排序排序?TSINGHUA UNIVERSITY2 面内最大切应力面内最大切应力xyyx22)2(-max3400y x xy MPa，60 xMPa,30-xy,MPa40-yTSINGHUA UNIVE

9、RSITY3 主平面的位置主平面的位置yxxytg-2206 . 0406060-,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050MPa，60 xMPa,30-xy,MPa40-yTSINGHUA UNIVERSITY简单方法简单方法 主（应力）单元体主（应力）单元体 1 习惯直角坐标系按公式确定习惯直角坐标系按公式确定 绝对值小于绝对值小于45度角的度角的02 判断判断 给出原始单元体中代数值大的那个正应力给出原始单元体中代数值大的那个正应力3 判断判断 最大主应力最大

10、主应力( (的区间的区间) ) 面的法线方向面的法线方向( (的区间的区间) )( (两个切应力箭头指向决定两个切应力箭头指向决定) )4 大(求出的主应力求出的主应力) 之间夹角之间夹角 (小小) 大(原始单元体中代数值原始单元体中代数值) TSINGHUA UNIVERSITY4 主主( (应力应力) )单元体：单元体：y x xy 5 .1513,5 .1505 .105905 .150MPa，60 xMPa,30-xy,MPa40-y?MPa3 .48, 0MPa,3 .68321-起点起点代数值大代数值大转向逆时针转向逆时针?最大主应力最大主应力(代数值大代数值大)二向应力状态二向应

11、力状态, 0y若若二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITYx xy 二向应力状态二向应力状态, 0y横力弯曲横力弯曲 除了梁顶除了梁顶( (底底) )中性轴中性轴其它点其它点xy 中性轴中性轴圆轴扭转圆轴扭转二向应力状态二向应力状态特别说明特别说明TSINGHUA UNIVERSITYP例题例题3505070700yMPax70-MPaxy50解：解：1 1 主应力大小主应力大小2 主平面位置主平面位置3 绘出绘出( (主应力主应力) )单元体。单元体。TSINGHUA UNIVERSITY2max2min22xyxyxy-2696MPaMPa-027.5117.5或2a

12、0MP 1 求主应力求主应力1a26MP3a96MP -2 求主平面位置求主平面位置5050707027.513大大大大22)50()2070(2070-710070502220-yxxytg大大大大3 主单元体主单元体逆时针转逆时针转?二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITY主应力、主平面minmax2xy2yxyx)2(2-0 2xy2yx)2(-minmaxO0090 TSINGHUA UNIVERSITY练习求单元体练习求单元体4020401 主应力的大小主应力的大小 2 主单元体主单元体3 (面内面内)最大切应力（应力单位取最大切应力（应力单位取MPa)MPaM

13、PaMPaxyyx4020 40-02 .71 2 .11231-MPaMPaMPa2 .41max593700-顺时针顺时针!TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY例题例题4：讨论圆轴扭转时：讨论圆轴扭转时的的应力状态应力状态，并分析铸铁试件受扭并分析铸铁试件受扭时的破坏现象时的破坏现象 Me0 xyxy解解: : 1 ( (取单元体取单元体) ) 圆轴扭转时，在横截面的边缘圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为处切应力最大，其值为yx这也是横力弯曲中性轴上这也是横力弯曲中性轴上点的单元体点的单元体tWMeT)(TSINGHUA UNIVERSI

14、TY2max2min22xyxyxy- yx022tan200 xyxy - - -045135 -或2 求主应力求主应力3 求主平面位置求主平面位置132013 -454 主单元体主单元体二向应力状态二向应力状态TSINGHUA UNIVERSITY分析破坏原因分析破坏原因MeMeTSINGHUA UNIVERSITY如何绘制圆？如何绘制圆？TSINGHUA UNIVERSITY2sin2cos2)2(xyyxyx-2cos2sin2xyyx-2sin2cos22xyyxyx-xyyxyx2222)2()2(-TSINGHUA UNIVERSITYxyx y yx xyxyTSINGHUA

15、UNIVERSITY点面对应点面对应EeTSINGHUA UNIVERSITYDen E2 转向对应转向对应二倍角对应二倍角对应与二倍角对应与二倍角对应xdTSINGHUA UNIVERSITYOCD( x , xy)D( y , yx) xyA y yxBx具体作圆步骤具体作圆步骤x xyA y yxB圆心的特点圆心的特点D D两点一定是直径的两个端点两点一定是直径的两个端点?TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY xy x y yx oDA ABE点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力 和切应力和切应力C1 从

16、应力圆上确定任意斜截面上的应力从应力圆上确定任意斜截面上的应力nE2 DTSINGHUA UNIVERSITY yx x y xy oDDA AB应力圆和横轴交点的横坐标值应力圆和横轴交点的横坐标值Cbe2 从应力圆上确定主应力大小从应力圆上确定主应力大小maxminTSINGHUA UNIVERSITY x y yxA AB xyE0B oDDCbe 3 从应力圆上确定主平面位置从应力圆上确定主平面位置2 0起点代数值大起点代数值大的面对应的点的面对应的点大的正应力的大的正应力的面对应的点面对应的点转向转向 顺时针顺时针TSINGHUA UNIVERSITY 有几个主应力有几个主应力？ oadCbe 1203TSINGHUA UNIVERSITY oC 4 从应力圆上确定面内最大切应力从应力圆上确定面内最大切应力应力圆上的最高点的纵坐标应力圆上的最高点的纵坐标对应对应 “ 面内最大切应力面内最大切应力” 。maxTSINGHUA UNIVERSITY oABDDC1：单向拉伸应力状态的应力圆：单向拉伸应力状态的应力圆四四 几种特殊应力几种特