圆锥曲线的综合问题-教案

1、第三讲圆锥曲线的综合问题1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程 若>0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若<0，则直线与椭圆相离(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bx c 0(或ay2 by c 0)若 a 0，当>0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当<0时，直线与双曲线相离若a 0 时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛

2、物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bx c 0(或ay2 by c 0)当a 0 时，用 判定，方法同上当a 0 时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点2 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， 则所得弦长|P1P2|1 k2|x2x1|或|P1P2|1k12|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2x1|x1x224x1x2，|y2y1|y1y2

3、4y1y2.当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算3 圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值22F1、 F2 为椭圆x2 y2 1(a> b> 0)的左、右焦点，P 为椭圆的任意一点，B 为短轴的一ab个端点，O 为坐标原点，则有 |OP| b， a |PF1 | a c， a c |PF1| |·PF2| b2， a2 F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值22F1、 F2为双曲线xa2 yb2 1(a> 0， b> 0)的左、右焦点，P 为双曲线上

4、的任一点，O 为坐标原点，则有 |OP| a. |PF1| c a.(3)抛物线中的最值点 P 为抛物线y2 2px(p> 0)上的任一点，F 为焦点，则有： |PF| 2p.于 A、 B 两点若AB 的中点坐标为22 xyA 1A.45 3622 xyC.27 18 * 1()2 a12 所以 2x22 a2yb12 12 运用点差法，yb22 1 A(m， n)为一定点，则|PA| |PF|有最小值2所以直线AB 的斜率为k b2，ab2设直线方程为y2(x 3)，a联立直线与椭圆的方程得(a2 b2)x2 6b2x 9b2 a4 0，所以x1 x2 a26 b2b2 2；又因为a2

5、 b2 9，解得b2 9， a2 18.2 (2013 ·江西 )过点 ( 2， 0)引直线l 与曲线y1 x2相交于A、 B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于()A. 333B3C ± 33D3答案解析1S AOB 2|OA|OB|sin AOB12sin AOB 2. AOBS AOB 面积最大此时 O 到 AB 的距离d 22.设AB 方程为 yk（x2）（k<0），即kxy2k0.| 2k|d2k 1（也可ktan OPH 23 （2013 ·大纲全国）椭圆C： x433.3）3 ）y 1 的左、右顶点分别为A

6、1、 A2，点P 在 C 上且直线PA23斜率的取值范围是 2，1 ，那么直线PA1 斜率的取值范围是（）13A 2， 41C 2，133B 8， 4D 34， 1答案 B解析 利用直线PA2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA1 斜率的边界值A1（ 2,0）， A2（2,0），PA2 的斜率为2 时，直线PA2 的方程式为代入椭圆方程，消去解得x 2 或x 2169.y2（x 2），y 化简得19x2 64x 52 0，P 在椭圆上得点2149 ，此时直线PA1 的斜率k 83.当直线PA2的斜率为1 时，直线PA2方程为y（x 2），代入椭圆方程，消去 y

7、化简得7x2 16x 4 0，解得x 2 或 x27.P 在椭圆上得点此时直线PA1 的斜率2， 127，7 ，34.数形结合可知，直线PA1 斜率的取值范围是224 (2012 四川· )椭圆x4y31 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是答案 3解析 直线x m 过右焦点(1,0)时， FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4ab题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例 1 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l： y kx2与双曲线C 的左支交于A， B 两点，求k 的

8、取值范围；(3)在 (2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l0与 y轴交于M(0， b)，求b 的取值范围审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围； (3)寻找 b和 k 的关系，利用(2)中k的范围求解解(1)设双曲线方程为x2 y2 1 (a>0， b>0)，ab由已知，得a3， c 2， b2 c2 a2 1，故双曲线方程为x y2 1.3 (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2代入x y21， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 2× 318，此时，|AB| 2× 3， S FAB× 2× 3

9、 3.a225 (2012 ·北京 )在直角坐标系xOy中，直线l 过抛物线y2 4x的焦点 F，且与该抛物线相交于 A， B 两点 其中点 A在 x轴上方， 若直线 l 的倾斜角为60°， 则 OAF 的面积为答案 3解析 y2 4x 的焦点F(1,0)，又直线 l 过焦点 F 且倾斜角为60°，故直线 l 的方程为y3(x 1)，将其代入y24x 得 3x26x34x0，即3x210x3 0. x或x3.3又点 A 在 x轴上方， xA 3. yA 2 3.1 S OAF 2 1 × 2 33.1 3k 0，2解得 3<k<1.3 36

10、1 k >0，6 2kxA xB2<0，1 3k9xAxB 1 3k2>0，所以当x1x1x1<k<1 时，直线l 与双曲线的左支有两个交点36 2k(3)由 (2)，得xA xB2，1 3k所以yA yB(kxA2)(kxB2) k(xA xB) 2 2 1 2 32k2，所以AB中点P 的坐标为13 23kk2， 1 23k2.设 l0的方程为y1x b，将P 点的坐标代入l0的方程，得byy12 (xx1)，即y2x2 y1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB 的方程为x2x 2y 2y2 0，又点P(x0， y0)在切线PA和 PB 上， 22，k1

11、3k3<k<1 ， 2<1 3k2<0， b< 2 2.3 b 的取值范围是( ，2 2)反思归纳求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法变式训练1 (2013 ·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0， c)(c>0)到直线l： x y32 2 0 的距离为2 .设P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线C 的两条切线PA， PB， 其A，

12、 B 为切点(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x0， y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线 l 上移动时，求|AF| ·|BF |的最小值解 (1)依题意知|c 2| 3 2， c>0，解得c 1.22所以抛物线C 的方程为x2 4y.(2)由 y14x2得 y 12x，11设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA， PB 的斜率分别为2x1，2x2，所以切线PA 的方程为所以x1x0 2y0 2y1 0， x2x0 2y0 2y2 0，所以(x1， y1)， (x2， y2)为方程x0x 2y0 2y 0 的两组解，所以直线AB

13、 的方程为x0x 2y 2y0 0.(3)由抛物线定义知|AF| y1 1， |BF| y2 1，所以 |AF|·|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程x0x 2y 2y0 0， 2x 4y，消去 x 整理得 y2(2y0x20)y y02 0， y1 y2 x0 2y0， y1y2 y0，|AF| ·|BF|y1y2(y1y2) 1 y02 x022y01 y20 (y0 2)2 2y0 1 2y02 2y0 5 2 y0 21 2 29， 当y021 时，|AF| ·|BF|取得最小值，且最小值为29.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例

14、2(2012·福建 )如图，等边三角形OAB 的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线E： x2 2py(p>0)上(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P， 与直线y1 相交于点Q，证明以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点审题破题(1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值； (2)假设在 y轴上存在定点 M，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M，转化为MP ·MQ 0，从而判断点M 是否存在(1)解依题意，|OB| 8 3， BOy 30°.设 B(x， y)，则x |OB|sin 30 ° 4 3， y |OB

15、|cos 30 ° 12.B(4 3， 12)在x2 2py上，所以 (4 3)2 2p× 12，解得p 2.故抛物线E 的方程为x2 4y.121(2)证明 方法一由 (1)知y 4x ， y 2x.设P(x0， y0)，则x0 0， y0 4x20，且l 的方程为1112y y0 2x0(x x0)，即y 2x0x 4x0 .1y 2x0x2y1124x0，2x x0 4，得x2x0y1.所以 Q 为x20 4， 2x0 ，1. 12设 M(0， y1)，令MP· MQ 0 对满足y0 4x20(x0 0)的x0， y0恒成立由于MP(x0，y0y1)，MQ0

16、2x，1y1，2 x0 42由MP · MQ0，得 2 y0 y0y1y1y10，即(y12y12)(1 y1)y0 0.(*)1由于 (*) 式对满足y0 4x0(x0 0)的y0恒成立，1 y1 0，所以 21解得 y1 1.y21 y1 2 0，1故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0,1)方法二由 (1)知 y 41x2， y 21x.12设P(x0， y0)，则x0 0， y0 4x0，1且 l 的方程为y y0 2x0(x x0)，即 y 2x0x 4x20.211 2x0 4yx0xx0，x，由 y 2x0x 4x0得x2x0y1y1.所以 Q 为x0 4，1

17、.2x0取x0 2，此时P(2,1)， Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x 1)2 y2 2，交 y 轴于点M 1(0,1)、 M2(0，1)；取x0 1 ，此时 P 1， 41 ， Q 23，1 ，以 PQ 为直径的圆为x 14 2y 38 2 16245，交 y 轴于点M 3(0,1)、 M4 0，47 .故若满足条件的点M 存在，只能是M(0,1) 以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为MP (x0， y0 1)， MQx0 4，2 ，2x0x2 4所以MP·MQ02 2y022y022y020.故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0,1)反思归纳定点、 定值问

18、题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量变式训练2 已知直线l： yx6，圆O：x2y25，椭圆E：ay2xb21(a>b>0)的离心率e3，直线l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等3(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值(1)解设椭

19、圆的半焦距为c，O 到直线 l 的距离3，b532.c3a3a2 b2 c2， a2 3， b2 2.b2椭圆 E 的方程为y2 x2 1.32(2)证明设点P(x0， y0)，过点P 的椭圆 E 的切线 l0的方程为y y0 k(x x0)，y k x x0 y0联立直线l0与椭圆 E 的方程得y2 x23 2 1消去 y得 (3 2k2)x2 4k(y0 kx0)x 2(kx0 y0) 2 6 0， 4 k( y 0 kx 0) 2 4(3 2k2)2( kx 0 y 0) 2 6 0，整理得，(2 x20)k2 2kx0y0 (y02 3) 0，设满足题意的椭圆y0 3则k1·

20、 k22，2 x0E 的两条切线的斜率分别为k1 ，k2，点 P 在圆 O 上， x20 y20 5，5 x20 3k1 · k22 1.2 x0两条切线的斜率之积为常数1.题型三圆锥曲线中的存在性问题例 3 如图，椭圆的中心为原点(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP OM 2ON， 其中 M、 N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之1积为12.问：是否存在两个定点F1， F2，使得|PF1| |PF 2|为定值？若存在，求F1， F2的坐标；若不存在，说明理由1审题破题(1)列方程组求出a、 c即可；(2)由 kOM·kON12先确定点M、 N 坐

21、标满足条件，再根据OP OM 2ON寻找点P 满足条件：点P 在 F1、 F2为焦点的椭圆上解(1)由 e c， a 2 2，a2 c解得a 2， c2， b2 a2 c2 2，22故椭圆的标准方程为x4 y2 1.(2)设P(x， y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由OP OM 2ON，得(x，y)(x1，y1) 2(x2， y2)(x12x2，y1 2y2)，即xx1 2x2，y y1 2y2.因为点 M、 N 在椭圆x2 2y2 4 上，所以x12 2y21 4， x22 2y22 4，故 x 2y (x1 4x2 4x1x2) 2(y1 4y2 4y1y2) (x21

22、 2y12) 4(x22 2y22) 4(x1x2 2y1y2) 20 4(x1x2 2y1y2)设 kOM， kON 分别为直线OM， ON 的斜率，由题设条件知kOM· kON y1y21，x1x22因此x1x22y1y20，所以 x22y220.所以P 点是椭圆x2 y2 1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、 F 2，则由椭2 510圆的定义|PF1| |PF2|为定值，又因c2 5 210 210，因此两焦点的坐标为F1(10， 0)， F2( 10， 0)反思归纳探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则

23、会由条件得出相互矛盾的结论变式训练3 已知点 P 是圆 O： x2 y2 9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x轴于 D， 动点 Q满足DQ 2DP.3(1)求动点Q 的轨迹方程；1(2)已知点E(1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、 N，使 OE 2(OM O N)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由解(1)设P(x0， y0)， Q(x， y)，依题意，点D 的坐标为D(x0， 0)，所以DQ (x x0， y)， DP (0， y0)，2x0 x，即3y0 2y，又 DQ 3DP，x x0 0，故2y 3y0，因为 P 在圆 O

24、 上，故有x20 y02 9，22所以x2 32y 2 9，即x9 y4 1，所以点 Q 的轨迹方程为x2 y2 1.9422(2)假设椭圆x9 y4 1 上存在不重合的两点M(x1， y1)，1N(x2， y2)满足OE 2(OM ON)，则 E(1,1)是线段 MN 的中点，x1 x2且有2y1 y2 21，1，x1 x22，y1 y22.又 M（x1， y1）， N（x2，x21 y12 1，9 4 1，所以 22x2 y29 4 1，y2）在椭圆x9 y4 1 上，94两式相减，得x1x2x1x2 y1y2y1y20，94y1 y24所以kMN，MN x1 x29故直线 MN 的方程为

25、4x 9y 13 0.所以椭圆上存在点M， N 满足OE 2典例 (12 分 )抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线 与抛物线相交于A， B 两点，且满足OA OB ( 4，12)(1)求直线 l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点 A运动到点B 时，求ABP 面积的最大值规范解答解(1)根据题意可设直线l 的方程为y kx 2，抛物线的方程为x22py(p>0)y kx 2，由 2得 x2 2pkx 4p 0.2 分 (OM ON)，此时直线MN 的方程为4x 9y 13 0.设点 A（x1， y1）， B（x2， y2），则x1x22pk

26、，y1y2k(x1x2)42pk1 由椭圆x2 y2 1 的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A， B 两点，设O 为坐标原点，则OA· OB等于（）A 0B 1C1D3 答案 C4.所以OA OB ( 4，12)，所以 2pk4， 2pk2 412，解得 p 1 ，k 2.故直线 l 的方程为y 2x 2，抛物线的方程为x22y.6 分 （2）设 P（x0， y0），依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时， ABP 的面积最大对 y12x2 求导，得y x，所以x0 2，即x02，y021x202，即P（ 2，2）此时点 P 到直线 l 的距离|2 ·

27、; 2 2 2|44 522 1 255.9 分 y 2x 2，22得 x2 4x 4 0，则 x1 x24， x1 x24，|AB|1 k2· x1 x2 2 4x1x21 2 · 4 4· 4 4 10.于是， ABP 面积的最大值为12× 4 10× 解析 直线 l 的方程为：y x 1，5设 A（x1， y1）， B（x2， y2）， 8 2.12 分 评分细则（1）由OAOB（4，12）得到关于p，k的方程组得2分；解出p、k的值给 1 分； （2）确定 ABP 面积最大的条件给1 分；（3）得到方程x2 4x 4 0 给 1 分阅卷

28、老师提醒最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值得3x2 4x 0.y x 1，x2x2 y2 141 x1 0 或 x2，则y1 1 ， y2.33OA·OB x1x2 y1y21.32 已知直线l 过抛物线C 的焦点， 且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于A， B 两点，|AB| 12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为()A 18B 24C 36D 48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y2 2px(p>0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线 l 的方程

29、为xp2.代入y22px 得，y±p，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以抛1物线的准线方程为x3，故S ABP 12× 6× 12 36.3 已知动圆圆心在抛物线y2 4x 上， 且动圆恒与直线x1 相切， 则此动圆必过定点()A (2,0)B (1,0)C (0,1)D (0，1)答案 B解析 因为动圆的圆心在抛物线y2 4x上， 且 x1 是抛物线y2 4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4设M(x0， y0)为抛物线C： x2 8y上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C

30、 的准线相交，则y0的取值范围是()A (0,2)B 0,2C (2，)D 2，)答案 C解析 x2 8y， 焦点 F 的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|FM| y0 2.由于以 F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y0 2， y0 >2.5 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上， 直线y x 与抛物线C 交于A， B 两点，若 P(2,2) 为 AB 的中点，则抛物线C 的方程为答案y2 4x解析 设抛物线方程为y2ax.将yx 代入y2ax，得x0 或xa，2a2.a4. 抛物线方程为y2 4x.226已

31、知F1( c,0)， F2(c,0)为椭圆x2 y2 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF1·PF2 c2，则ab此椭圆离心率的取值范围是1 已知抛物线2已知双曲线答案33，22解析 设P(x，y)，则PF 1·PF2(cx，y) ·(cx，y)x2c2y2c2， 2222将y2 b2 b2x2代入 式解得x23c 2a a ，ac又x20 ，所以离心率a2 ，所以2c2 a2 3c2，e ca33，22 .专题限时规范训练C： y2 2px(p> 0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A，与 C 的一个交点为B，若AM MB，则p等

32、于()A 1B 2C 3D 4答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知 60°，又AM MB， M 为 AB 的中点过点l 于点P，则 ABP 60°， BAP 30°.1 |BP| 21|AB| |BM|.M 为焦点，即p 1 ， p 2.22y 1 的左顶点为A1，右焦点为F2，3A281B 16C 1D 0B 作 BP 垂直准线P 为双曲线右支上一点，则PA1PF2答案 A解析 由已知得x， y) 4x2 xA1(1,0)， F2(2,0)设P(x， y) (x 1)，则PA1·PF2 ( 1 x，5.令f(x) 4x2 x 5， 则 f(x)在

33、 1 ， )上单调递增，所以当y) ·(2x 1 时，函数 f(x)取最小值，即PA1 · PF2取最小值，最小值为2.22xy3设大为AB 是过椭圆a2 b2(a>b>0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1( c,0)，则F1AB 的面积最()A bcB abC ac2D b2答案 A解析 如图， 由椭圆对称性知O 为 AB 的中点，则 F1OB 的面积为 F1AB 面积的一半又 OF1 c， F1OB 边 OF1上的高为yB， 而 yB的最大值为b.所以 F1OB 的面积最大值为21cb.所以 F 1AB 的面积最大值为bc.4 已知点A（ 1,0）， B（1,0

34、）及抛物线y2 2x，若抛物线上点P 满足 |PA| m|PB|，则m 的最大值为()C. 3D. 2答案解析据已知设则有m |PA|PB|x 1 2 2xx 1 2x1 x24 x 1P(x， y)，x1 2 y2据基本不等式有m3.故选 C.x 1 y4x 1 x2 1141，x x141x x1413，2 x× x即 m 的最大值为5 直线3x 4y 4 0 与抛物线D，则|AB|的值为|CD|x2 4y和圆x2 （y 1）2 1 从左到右的交点依次为A、 B、 C、()A 161B 16答案 B解析 由3x 4y 4 0，2x 4y得x2 3x 4 0，xA1 ，xD4，直线

35、3x4y40 恰过抛物线的焦点F(0,1)， |AF|yA154，|DF | yD 1 5， |AB| |AF| 1 1|CD| |DF | 1 16.故选B.226 过椭圆C： ax2 by2 1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一个点B，且点B 在 x轴上的射影恰好为右焦点F，若1<k<1，则椭圆离心率的取值范围是32A (4， 4)B(23， 1)1C (2，23)D(0，12)答案解析点 B 的横坐标是c，故 B 的坐标（c，11k (3， 2)，b2B(c，b ) 又A( a,0)，aa2 c21 e2a则斜率k22.c a ac a ac

36、 ae 1A， B， C， D（如图所示）， 则 |AB| ·|CD|（）7已知抛物线y2 4x，圆F： （x 1）2 y2 1，过点 F 作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点的值A等于1B 最小值是1C等于4D 最大值是4答案 A解析 设直线 l： x ty 1，代入抛物线方程， 得y2 4ty4 0.设 A（x1， y1）， D（x2， y2），根据抛物线定义|AF| x1 1， |DF | x2 1，故 |AB| x1， |CD | x2，所以 |AB| ·|CD | x1x2 y41· y42y11y62 ，x a2上存在P 使线段c而 y1y24，代

37、入上式，得|AB| ·|CD | 1.故选A.228设F1， F2分别是椭圆2 y2 1 （a>b>0）的左，右焦点，若在直线abPF1 的中垂线过点A. 0，22C. 22， 1F2，则此椭圆离心率的取值范围是B. 0，33D. 33， 1（）答案 D解析 设 P ac ， y ， F 1P 的中点 Q 的坐标为2bc，y2 ，kQF2存在时，则cy kF1P a2 c2，由 kF1P·kQF21，得y2 a2 c2 ·c22c2 b2， y2 0，但注意到b2 2c2 0，即2c2 b2>0，即 3c2 a2>0，即e2>1 ，故

38、3<e<1.33当 kQF2不存在时，b2 2c2 0， y 0，a23此时 F2为中点，即a c 2c，得e3，c3综上，得33 e<1 ，即所求的椭圆离心率的范围是33， 1 .二、填空题9已知椭圆的焦点是F1（ 22，0）和F2（22，0），长轴长是6，直线yx2 与此椭圆交于 A、 B 两点，则线段AB 的中点坐标是答案解析 9， 155x2 y2 1 ，直线与椭圆相交有 9x2 9y2 9，y x 2，191270，AB 中点(x0，y0)有x0(xAxB)，y0x02 ，所以，255则10x2 36xAB 中点坐标是 9， 1 5， 5 .10点P 在抛物线x2

39、4y 的图象上，F 为其焦点，点A( 1,3)，若使|PF| |PA|最小，则相应 P 的坐标为答案 1， 14解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点 1 ， 41 即为所求点P 的坐标，此时|PF| |PA|最小11 斜率为3的直线l 过抛物线y2 4x的焦点且与该抛物线交于A， B 两点， 则 |AB|答案1632B(x2， y2 )两点，则y21解析 如图，过A 作 AA1 l ， l 为抛物线的准线过B 作 BB1l ， 抛物线y2 4x的焦点为F(1,0)，过焦点F 作 FM A1A交A1A于 M 点，直线 l 的

40、倾斜角为60°，所以|AF| |AA1| |A1M|4 |AM| 2 |AF| ·cos 60°，所以|AF| 4，同理得|BF | 4，3故 |AB| |AF| |BF| 16.312已知抛物线y2 4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1， y1)， y2的最小值是答案 32解析(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x 4， 代入y2 4x， 得交点为(4,4)， (4， 4)， y12 y22 16 16 32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y k(x 4)，与y2 4x联立，消去x得 ky2 4y16k0，由题意知k0，则y1 y2，y1y216.y1y2(y1y2) 2y1y22 kk32>32.综合 (1)(2)知 (y21 y22)min 32.三、解答题2213 (2013 天津·)设椭圆xa2 yb2 1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为3 ，过点 F 且与 x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 3.(1)求椭圆的