高考天津文科数学试题及答案精校版

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件，互斥，那么圆锥的体积公式.其中表示圆锥的底面面积，圆柱

2、的体积公式.表示圆锥的高.其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是虚数单位，复数（）A. B. C. D. 2. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命题（）A. ，使得B. ，使得C.，总有D.，总有4. 设则（）A. B.C. D.5. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A. 2 B.2 C. D .6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）A. B. C

3、. D.7. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分；.则所有正确结论的序号是（）A.B. C. D. 8.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_名学生.10.一个几何体

4、的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为_.12.函数的单调递减区间是_.13.已知菱形的边长为，点，分别在边、上，.若，则的值为_.14. 已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）(1) 用表中字母列举出所有可能的结果(2) 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男

5、同学和1名女同学”，求事件发生的概率.16.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为，已知，(1) 求的值；(2) 求的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，AD=2，, E，F分别是棱AD，PC的中点.(1) 证明: 平面PAB；(2) 若二面角P-AD-B为，证明：平面PBC平面ABCD求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数

6、(1) 求的单调区间和极值；(2) 若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围20（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，(1) 当时，用列举法表示集合A；(2) 设其中证明：若则.2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案 一、选择题A B B C D A D C1. 解：，选A.2. 解：作出可行域，如图，结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.3. 解：依题意知为：，使得，选B.4. 解：因为，所以，选C.5. 解：依题意得，所以，解得，选D.6. 解：依题意得，所以，选A.7. 解：由弦切角定理得，又，所以，所以，即，故正确，排除A、C.又，故正确

7、，排除B，选D.8. 解：因为，所以得，所以或，.因为相邻交点距离的最小值为，所以，选C.二、填空题9. 60 10. 11.4 12. 13. 2 14. 9. 解: 应从一年级抽取名.10.解: 该几何体的体积为.11. 解：时，；时，所以输出的的值为-4.12. 解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.13. 解：因为，菱形的边长为2，所以.因为，所以，解得.解2建立如图所示的坐标系，则A(1，0)，B(0，)，C(1，0)，D(0，)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由3，得(1，)3(x1，y1)，可得E；由，得(1，)(x2，y2)，可得F.AE·AF·

8、1，2.14.解: 在同一坐标系内分别作出yf(x)与ya|x|的图像，如图所示，当ya|x|与yf(x)的图像相切时，联立整理得x2(5a)x40，则(5a)24140，解得a1或a9(舍去)，当ya|x|与yf(x)的图像有四个交点时，有1<a<2.三、解答题15解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此

9、，事件M发生的概率P(M).16解：(1)在ABC中，由，及sinBsinC，可得bc.又由acb，有a2c.所以cosA.(2)在ABC中，由cosA，可得sinA.于是cos2A2cos2A1，sin2A2sinA·cosA.所以coscos2A·cossin2A·sin.17解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，BCAD，又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)证明

10、：连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，所以PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P­AD­B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形E

11、BF中，sinEFB.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.18解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，所以1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有|TF2|

12、2|MF2|2r2.又|MF2|2，故有8c2，解得c23，所以所求椭圆的方程为1.19解：(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a>0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)递减0递增递减所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知，当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.设集合Af(x)|x(2，)，集合B，则“对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)·f(x2)1”等价于AB，显然0B.下面分三种情况讨论：(i)当>2，即0<a<时，由f0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集(ii)当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，)上单调递减，故A(，f(2)，因而A(，0)由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B，所以AB.(iii)当<1，即a>时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，)上单调递减，故B，A(，f(2)，所以A不是B的子集综上，a的取值范围是.20解：(1