高考数学一轮复习教学案双曲线含解析

1、双_曲_线知识能否忆起1双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它

2、的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为a、b、c的关系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)小题能否全取1(教材习题改编)若双曲线方程为x22y21，则它的左焦点的坐标为()A.B.C.D.解析：选C双曲线方程可化为x21，a21，b2.c2a2b2，c.左焦点坐标为.2(教材习题改编)若双曲线y21的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()A.B.C.D2解析：选C依题意得a214，a23，故e.3设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积

3、等于()A4B8C24 D48解析：选C由P是双曲线上的一点和3|PF1|4|PF2|可知，|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|2c10，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积S×6×824.4双曲线y21(a0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_解析：由题意知 2，解得a，故该双曲线的渐近线方程是x±y0，即y±x.答案：y±x5已知F1(0，5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|MF2|8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e_.解析：根据

4、双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，c5，a4，b3，e，|k|.|k|·e×.答案：1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.双曲线的离心率e1；椭圆的离心率e(0,1)2渐近线与离心率：1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小注意当a>b>0时，双曲线的离心率满足1<e<；当ab>0时，e(亦称为等轴双曲线)；当b>a>0时，e>.3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双

5、曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点双曲线的定义及标准方程典题导入例1(1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_自主解答(1)1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为y±x，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b.(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为

6、PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案(1)A(2)2由题悟法1应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支2双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2ny21(mn

7、<0)(2)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)(3)若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)以题试法1(2012·大连模拟)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17C1或17 D以上答案均不对解析：选B由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17.双曲线的几何性质典题导入例2(2012·浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1

8、B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是()A.B.C. D.自主解答设双曲线的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)B(0，b)，F1B所在的直线为1.双曲线渐近线为y±x，由得Q.由得P，PQ的中点坐标为.由a2b2c2得，PQ的中点坐标可化为.直线F1B的斜率为k，PQ的垂直平分线为y.令y0，得xc，M，|F2M|.由|MF2|F1F2|得2c，即3a22c2，e2，e.答案B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为，且”，求双曲线的离心率的取值范围解：根据题意知1，即1 .所以e2.即离心率

9、的取值范围为( ，2)由题悟法1已知渐近线方程ymx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m(m0)或m，故离心率有两种可能2解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用以题试法2(1)(2012·福建高考)已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.解析：选C由题意知c3，故a259，解得a2，故该双曲线的离心率e.(2)(2012·大同模拟)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为()Ay±xBy±xCy±xDy

10、77;x解析：选B设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y28x上，且|PF|5得由此解得m3，n224.于是有由此解得a21，b23，该双曲线的渐近线方程为y±x±x.直线与双曲线的位置关系典题导入例3(2012·南昌模拟)已知双曲线1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·0.求的值自主解答(1)e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为1，即3x2y23a2.点M(，)在双曲线上，1533a2.a24.所求双曲线的方程为1.(2

11、)设直线OP的方程为ykx(k0)，联立1，得|OP|2x2y2.则OQ的方程为yx，同理有|OQ|2，.由题悟法1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系以题试法3(2012·长春模拟)F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|,|3|,|，则此双曲线的渐近线方程为_解析：由双曲线的性质可得|,|b，则|,|3b

12、.在MF1O中，|,|a，|,|c，cos F1OM，由余弦定理可知，又c2a2b2，所以a22b2，即，故此双曲线的渐近线方程为y±x.答案：y±x1(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y±x，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知条件可得即解得故双曲线方程为1.2若双曲线过点(m，n)(mn0)，且渐近线方程为y±x，则双曲线的焦点()A在x轴上 B在y轴上C在x轴或y轴上 D无法判断是否在坐标轴上解析：选Amn0，点(m，n)在第一象限且

13、在直线yx的下方，故焦点在x轴上3(2012·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率为()A.或 B.C.D.或 解析：选Dm216，m±4，故该曲线为椭圆或双曲线当m4时，e.当m4时，e.4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2C.D.解析：选B设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2.5(2013·哈尔滨模拟)已知P是双曲线

14、1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,·,0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5 B6C7 D8解析：选C由,·,0得,，设|,|m，|,|n，不妨设mn，则m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7.6(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB中点，则|OP|的最小值为()A3 B2C.D1解析：选C依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于.7(2012&

15、#183;西城模拟)若双曲线x2ky21的一个焦点是(3,0)，则实数k_.解析：双曲线x2ky21的一个焦点是(3,0)，1329，可得k.答案：8(2012·天津高考)已知双曲线C1：1(a>0，b>0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.解析：双曲线1的渐近线为y±2x，则2，即b2a，又因为c，a2b2c2，所以a1，b2.答案：129(2012·济南模拟)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_解析：设双曲线的右焦点

16、为F.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF的中点，所以EOPF，又EOPF，所以PFPF，且|PF|2×a，故|PF|3a，根据勾股定理得|FF|a.所以双曲线的离心率为.答案：10(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：·0.解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.点(3，m)

17、在双曲线上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.11(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|32，求F1PF2的大小解：(1)由16x29y2144得1，所以a3，b4，c5，所以焦点坐标F1(5,0)，F2(5,0)，离心率e，渐近线方程为y±x.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|6，cos F1PF20，则F1PF290°.12如图，P是以F1、F

18、2为焦点的双曲线C：1上的一点，已知1·20，且|1|2|2|.(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若1·2，2120.求双曲线C的方程解：(1)由1·20，得12，即F1PF2为直角三角形设|2|r，|1|2r，所以(2r)2r24c2，2rr2a，即5×(2a)24c2.所以e.(2)2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，则1·2x1x24x1x2，所以x1x2.由2120，得即x，y.又因为点P在双曲线1上，所以1.又b24a2，代入上式整理得x1x2a2.由

19、得a22，b28.故所求双曲线方程为1.1(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|,|,|，则的值为()A.B2C.D1解析：选A依题意，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，不妨设mn.则由|,|,|得|,|,|,|，即|,|2|,|2，所以,·,0，所以m2n24c2.又e1，e2，所以2，所以.2已知双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，则双曲线的离心率e的取值范围为_解析：由题意知直线

20、l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1，同理得，点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.所以52e2，即4e425e2250，解得e25.由于e1，所以e的取值范围为.答案：3设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 .(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,t,，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，故一条渐近线为yx，即bx2y0，则，得b23，故双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y2