2010年高三数学试题汇编 第十三章 导数 第二节 导数的应用

1、第十三章 导数二 导数的应用【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为 A BCD【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取

2、零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。（二）解答题（共35题）1.（安徽卷理17）设为实数，函数。 ()

3、求的单调区间与极值；()求证：当且时，。2.（安徽卷文20）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.3.（北京卷理18）已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，

4、(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于所以曲线处的切线方程为。即（II）当时，因此在区间上，；在区间上，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，得;因此，在区间和上，；在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，.的递增区间为当时，由，得；因此，在区间和上，在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。4.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。5.（福建卷理20）（）已知函数，其图象记为曲线。（）求函数的单调区间；（）证明：若对于任意非零实数，曲

5、线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；（）对于一般的三次函数，请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。（ii）曲线C与其在点处的切线方程为得，即，解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。（）记函数的图象为曲线，类似于（）（ii）的

6、正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。6.（福建卷文22）已知函数的图像在点P(0,f(0)处的切线方程为.（）求实数a，b的值；（）设是上的增函数. （）求实数m的最大值； （）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.7.（广东卷文21）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线在点处的

7、切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：8.（湖北卷理17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，

8、并求最小值。9.（湖北卷理21）已知函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范围；()证明：1+(n+1)+)(n1).10.（湖北卷文21）设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（）确定b、c的值（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。11.（湖南卷理21）数列中，a1=a，a n+1是函数的极小值点（）当a=0时，求通项； （）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在

9、，请说明理由。【解析】易知令 (1)故在（2）（3）12（湖南卷文21）已知函数其中a<0,且a-1.（）讨论函数的单调性；（）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在a,-a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。13.（江苏卷20）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，且，若|<|,求的取值范围解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索

10、、分析与解决问题的综合能力。满分16分。（1）(i)时，恒成立，函数具有性质；(ii)（方法一）设，与的符号相同。当时，故此时在区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；（方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增。(2)（方法一）由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二

11、）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|<|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。14.（江西卷理19）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 【解析】对函数求导得：，定义域为（0，2）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令当为增区间；当为减函数。区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的

12、比较得到，确定待定量a的值。当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。15.（江西卷文17）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.值范围。17.（辽宁卷文21）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，。解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当

13、1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2 , 即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.于是0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.18.（全国卷理20）已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题

14、,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】 （）， ,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点， 综上，的取值范围是.()有（）知，即.当时，；当时， 所以19.（全国卷文21）已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围解：（）当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.20.（全国新卷理21）设函数。若，求的单调区间；若当时，求的取值范围解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时

15、，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.21.（全国新卷文21）设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0. 综合得的取值范围为22.（全国卷理22）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考

16、生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.23.（全国卷文21）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。【分析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。（2）求

17、出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。【解析】式无解，式的解为， 因此的取值范围是.24.（山东卷理22）已知函数 （）当a时，讨论f(x)的单调性： （）设g(x)=x2-2bx+4.当a=时，若对任意x1（0，2），存在x2，使，求实数b的取值范围。【解析】()原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以当时，令得，所以此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；当时，所以此时函数在（0，+是减函数；当时，令=得，解得（舍去），此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；当时，令=得，解得，此时函数在（1，上是增函

18、数；在（0，1）和+上是减函数；当时，令=得，解得，此时函数在1）上是增函数；在（0，）和+上是减函数；当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在（0，1）上是增函数；在（1，+上是减函数。（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的

19、关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。（标准答案）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：（）因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增.综上所述：（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在

20、（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。25.（山东卷文21）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。【解析】解：（） 当 因此， 即 曲线 又 所以曲线（）因为 ， 所以 ， 令 当a=0时，g(x)=-x+1，x（0，+），所以 当x(0，1)时，g

21、(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减当a0时，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 当a=1/2时，x1= x2, g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在（0，+）上单调递减; 当0<a<1/2时，1/2-1>1>0x(0，1)时，g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减x(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时f(x)<o,函数f(x)单调递减x(1/a-1，+)时，g(x)>0，此时f(x)<o，函数f(x)单调递减 当a<0时，由于1/a

22、-1<0,x(0,1)时，g(x)>0,此时f,(x)<0函数f(x)单调递减；x（1 ，）时，g(x)<0此时函数f,(x)<0单调递增。综上所述：当a 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;函数f(x)在 (1, +) 上单调递增当a=1/2时,函数f(x)在(0, + )上单调递减当0<a<1/2时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增； 函数f(x)在（1/a,+ ）上单调递减。26.（陕西卷理21）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。若曲线y=f(x)与曲线y=

23、g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；对（2）中的（a）和任意的a>0，b>0，证明： 解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）

24、上递增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）当a     0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)（3）27.（陕西卷文21）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)- g(x

25、),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值

26、点。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）当a     0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a)则  1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2当 0<a<1/2时， 1（a ）>0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上递增当 a>1/2 时， 

27、0;1（a ）<0，所以（a ） 在 (1/2, +)上递减。所以（a ）在(0, +)处取得极大值（1/2 ）=1因为（a ）在(0, +)上有且只有一个极致点，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所当a属于 (0, +)时，总有（a）    130.（天津卷理21）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（）如果，且，证明【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化

28、时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内

29、事增函数，所以>,即>2.31.（天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a>0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.【解析】（）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值当等价于，解不等式组得-5<a<5.因此.若a>2