一元二次方程的应用

1、 蒋华镇初级中学1.1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的一般步骤： 是指读懂题目，审清题意。是指读懂题目，审清题意。 是指设未知数。是指设未知数。（1 1）审审（2 2）设设（4 4）解解（5 5）验验（6 6）答答（3 3）列列是指列方程。是指列方程。 是是指指解方程，求出求出未知数的值。解方程，求出求出未知数的值。 是是指指写出应用题的答案。写出应用题的答案。是指检验解是否是方程的解，是否符是指检验解是否是方程的解，是否符合题意。合题意。 这是最重要的一步，一般先找出这是最重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等能够表达应用题全部含义的一个相等关系，

2、然后列代数式表示相等关系中关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就能得到含有未知数的等的各个量，就能得到含有未知数的等式式-方程方程. .2 2列方程解应用题应该注意：列方程解应用题应该注意：（1 1）在一道应用题中，往往含有几个未知数，应）在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当的选择其中的一个，用字母恰当的选择其中的一个，用字母 表示表示, ,然后根据然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知数用含各量之间的数量关系，将其他几个未知数用含 的代数式表示。的代数式表示。 (2)“(2)“审审”的过程要在草稿纸上进行，书面格式的过程要在草稿纸上进行，书面格式中主要写中主要写“设设”“”“

3、列列”“”“解解”“”“答答”四个步骤的四个步骤的解题过程，解题过程，“验验”不要求写详细过程，但必须进不要求写详细过程，但必须进行，有不符合题意的解时，应及时舍去。行，有不符合题意的解时，应及时舍去。xx (3)(3)列方程时，要注意方程两边为同列方程时，要注意方程两边为同一类量，并且单位要统一。一类量，并且单位要统一。（4 4）“设设”和和“答答”必须写清单位名必须写清单位名称。称。例例1某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。甲公

4、司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？如何解此题呢？1.一般情况下，应设要求的未知量为未知数3.这个问题的等量关系是什么?：分析： 首先知道总费用是28000元即有等量关系“人均费用人数=28000元” 2.从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系这种称直接设未知数,反之叫间接设未知数4.人数可设未知数x人,人均费用人均费用呢?(1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游

5、费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”则总费用不超过30800=2400028000;而现用28000元,所以人数应超过30人 a.设的x人,比30人多了多少人？ （x30）人b.降了多少元?10(x-30)元c.实际人均费用是多少?80010(x30)元5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元. 解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得:80010(x30)x = 28000整理,得: x2-110 x+ 2800=0 解这个方程,得:x1=70 x2=40当x1=70时,800-10(x-30)=400500 x=40答:问这次旅游可以安排40人参加.课堂练习：课堂练

6、习： P95P95练习练习解：设该公司第二批参加旅游的有x人 ，根据题意的：800-10(x-30) x=29250X1=45 x2=65 x=45当x1=45时,800-10(x-30) 500 当x2=65时, 800-10(x-30)500不合题意,舍去.答:该公司第二批参加旅游的有45人.)(6215)4(21)3(2122表示圆的半径表示圆的半径）（高高下底）下底）（上底（上底）（高高底底高高底底边长边长）宽（宽（长长）（图形的面积公式。图形的面积公式。好几种常见规则好几种常见规则有关面积问题，要掌握有关面积问题，要掌握圆圆梯形梯形平行四边形平行四边形三角形三角形正方形正方形长方形长

7、方形rrssssss一、面积问题一、面积问题如图，一块长方形铁皮的长是宽的如图，一块长方形铁皮的长是宽的2 2倍，倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm5cm，容积是，容积是500cm500cm3 3的的长方体容器，求这块长方体容器，求这块铁皮的长和宽铁皮的长和宽. .问题问题1 1分析：分析： 如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_长是_1.这个问题的等量关系是：“长宽高=容积” , “长=宽2”。3.如何设未知数？xx2x2x55555555长宽高2.你知道图中长方体容器长、宽、高分别指哪些？(2x-10)cm.(x-1

8、0)cm,解: 设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是(x-10)cm,长是(2x-10)cm.根据题意得:5(x-10)(2x-10)=500整理,得: x2-15x=0 解这个方程,得:x1=15 x2=0 (不合题意,舍去) x=152x=30答:这块铁皮的宽是15cm，长是30cm.1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.分析：分析： 画草图画草图 5 5 如果设原菜地宽为如果设原菜地宽为xm x x x x x(x+5)=150 可得方程可得方程 如图，某小区规划在一个长为如图，某小区规划在一个长为4040米，

9、宽为米，宽为2626米的矩形场地米的矩形场地ABCDABCD上修建如下图所示的同样上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为864864平方米，求小路的宽度？平方米，求小路的宽度？）米。）米。（）米，）米，坪长和宽分别为（坪长和宽分别为（米，那么草米，那么草边）。设小路的宽度为边）。设小路的宽度为（最好靠一（最好靠一向修建的小路移到一起向修建的小路移到一起西和南北方西和南北方题方便，可分别把沿东题方便，可分别把沿东为了研究问为了研究问有关，而与位置无关。有关，而与位置无关。条数、宽度条数、宽度所占的面积只与小路的所占的面积只与小路的是修建

10、小路是修建小路分析：这类问题的特点分析：这类问题的特点xxx26240米米。答答：小小路路的的宽宽度度为为舍舍去去解解得得）（由由题题意意得得米米，解解：设设小小路路的的宽宽度度为为2)(44, 286426(24021xxxxx想一想，想一想，为什么？为什么？）米宽为）米长为xx226(240(）米米宽宽为为）米米长长为为xx26(40(点评：解答这类问题，并没有用到什么点评：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带这种做法给综合分析问

11、题、解决问题带来很大方便。来很大方便。一块长一块长36m36m，宽，宽24m24m的矩形草地，现要在的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形草地面积的池的面积是矩形草地面积的 ，求周，求周围走道的宽度。围走道的宽度。275275,积是矩形草地面积的面其等量关系是喷水池的分析：设走道的宽度为 xm米米。答答：周周围围走走道道的的宽宽度度为为舍舍去去解解得得）（由由题题意意得得，为为解解：设设周周围围走走道道的的宽宽度度88),(222436275224(23621xxx

12、xxm点评：点评：（1 1）对方程的根要认真检验是否符合实对方程的根要认真检验是否符合实际意义，如有不符合的，要舍去。际意义，如有不符合的，要舍去。 (2)(2)设未知数和答题时不能漏写单位。列设未知数和答题时不能漏写单位。列方程中不要写单位，但等号两边量的单位要统一。方程中不要写单位，但等号两边量的单位要统一。 如图，有一块面积是如图，有一块面积是125125平方米的矩平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长3030米），另三边用长为米），另三边用长为3535米的竹篱笆围米的竹篱笆围成，求鸡场的长与宽。成，求鸡场的长与宽。列出方程。积为根据面不难得到另一边长，再由矩

13、形的性质壁的一边长为于墙长度之和。设矩形垂直、是边分析：这里的2125,35mxmCDBCABmA AB BC CD D。和或和鸡场的长和宽分别为答时当时当解得）由题意得）则另一边长为（，的一边长为解：设矩形垂直于墙壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521。和或和鸡场的长和宽分别为答时当时当解得由题意得则另一边长为，的一边长为解：设矩形平行于墙壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:5235,255 .10235,10251012523523521比比看，哪比比看，哪种解法更简种解

14、法更简洁呢？洁呢？点评点评: : 本例未写出检验的结本例未写出检验的结果，并不是没有检验，而果，并不是没有检验，而是因为这两个结果都符合是因为这两个结果都符合题意，如果把墙长改为题意，如果把墙长改为2020米，结果又会怎样呢？米，结果又会怎样呢？。和或和鸡场的长和宽分别为答时当时当解得）由题意得）则另一边长为（，的一边长为解：设矩形垂直于墙壁cmcmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）20203030 A AB BC CD D例例5 5 如图，有一块面积是如图，有

15、一块面积是125125平方米平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），另三边用长为米），另三边用长为3535米的竹篱笆围米的竹篱笆围成，求鸡场的长与宽。成，求鸡场的长与宽。A AB BC CD D例例5 5 如图，有长为如图，有长为3535米的竹篱笆，一米的竹篱笆，一面利用墙（墙长面利用墙（墙长3030米），围成米），围成中间隔中间隔有一道篱笆的有一道篱笆的矩形鸡场，鸡场的面积矩形鸡场，鸡场的面积是是125125平方米，鸡场的一边靠墙另三边平方米，鸡场的一边靠墙另三边用，求鸡场的长与宽。用，求鸡场的长与宽。xxx125335(335）由题意得）一边长为（，则另

16、壁的一边长为分析：设矩形垂直于墙xxmxxm还有其它还有其它解法吗？解法吗？点评：点评： 解面积问题的应用题时，解面积问题的应用题时，要根据几何图形的性质以及它要根据几何图形的性质以及它们之间的量的关系来列方程，们之间的量的关系来列方程，因此因此画出符合题意的图形画出符合题意的图形，有，有助于解题。助于解题。 把把100100厘米长的铅丝折成一个长方形模型厘米长的铅丝折成一个长方形模型. .（1 1）要使这个长方形的面积是）要使这个长方形的面积是525525平方厘米，平方厘米，它的长和宽应该各是多少厘米？它的长和宽应该各是多少厘米？（2 2）面积是）面积是625625平方厘米呢？平方厘米呢？（3 3）面积是）面积是700700平方厘米呢？