理论力学--动量矩定理11)

1、谁最先到谁最先到 达顶点达顶点？ 直升飞机如果直升飞机如果没有尾翼将发生没有尾翼将发生什么现象什么现象？ 为什么二者为什么二者转动方向相反转动方向相反？ 航天器是航天器是怎样实现姿怎样实现姿态控制的态控制的？vrvMmmO)(11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 MO(mv) = mvh = 2OAB MO(mv)定位矢量定位矢量)()(vvMmMmzzOOA(x,y,z)BhyxzrmvMo(mv) 质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点 O 的动量矩的矢量和，称为质点的动量矩的矢量和，称为质点系对点系对点 O 的动量矩。的动量矩。zzOLLOriviyxzm1mim2(

2、)zziiLMm vii()OOiimm LMvrv11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩virimiyxzJz 刚体对刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。令：令：2i izmrJ22()zziiiiii ii iLMmmv rmrmr v11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩yxzOA(x,y,z)r 质点对某质点对某定点定点 的动量矩对时间的导数，的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。等于作用力对同一点的力矩

3、。11-2 动量矩定理动量矩定理Mo(mv)mvBFMo(F)dd()()dddd()ddOmmttmmttm MvrvrvrvvvrF()O MF0)(.FzM若若2 2恒恒矢矢量量)(vMmO量量 恒恒)(vmMz0)(.FMO若若1 1d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF11-2 动量矩定理动量矩定理rmvFMOh恒恒矢矢量量vrvMmmO)( 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。()0OMF11-2 动量矩定理动量矩定理 质点系对某质点系对某定点定点 的动量矩对时间的导数，等的动量矩对时间的导数，等于作用于

4、质点系的于作用于质点系的外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF其中：其中：(i)()0OiMF投影式投影式11-2 动量矩定理动量矩定理 如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于 0，则质点系对这一，则质点系对这一点的动量矩守恒。点的动量矩守恒。 如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于 0，则质点系对这一轴，则质点系对这一轴的动量矩守恒。的动量矩守恒

5、。(e)(e)(e)d/dd/dd/dOxOxOyOyOzOzLtMLtMLtM(e)(e)(e)000OxOyOzMMM123CCCOxOyOzLLL(e)ddOOtLM(e)0OM COL11-2 动量矩定理动量矩定理解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象均质圆轮半径为均质圆轮半径为 R、质量为、质量为 m，圆轮对转轴的转动惯量圆轮对转轴的转动惯量为为 JO。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴 O 转动，已知重物转动，已知重物重量为重量为 W 。求：求：重物下落的加速度重物下落的加速度vRv应用动量矩定理应用动量矩定理)(22RgWJWRaOPWOmgFOxFOyOOW

6、LJvRg()OOJWLR vRg(e)MWR()OJWdvRWRRgdt水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为别为 v1和和 v2 ，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为夹角分别为 1 和和 2 ，水的体积流量为，水的体积流量为 qV、密度为、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径分别水流入口和出口处叶轮的半径分别 为为 r1和和 r2 ，叶轮水平放置。，叶轮水平放置。求：求：水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。解：解：在在 dt 时间间隔内，时间间隔内，ABCD段的段的水流运动到水流运

7、动到 abcd 时，所受的力以及时，所受的力以及他们对他们对 O 轴之矩轴之矩包括以下几部分包括以下几部分：相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略不计；忽略不计；叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与水流对叶轮与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。的驱动力矩大小相等，方向相反。abcd 重力重力 由于水轮机水平放置，由于水轮机水平放置，重力重力对对 O 轴之矩等于轴之矩等于 0；应用动量矩定理应用动量矩定理abcd2 221 11dcosdcosCDcdVABabVLqt v rLqt v r2 221 11(coscos)zVMqv rv r2 221 11(coscos)zzVMnMqv r

8、v rdzabcdABCDCDcdABabLLLLL(e)ddzzLMt水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为别为 v1和和 v2 ，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为夹角分别为 1 和和 2 ，水的体积流量为，水的体积流量为 qV、密度为、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径分别水流入口和出口处叶轮的半径分别 为为 r1和和 r2 ，叶轮水平放置。，叶轮水平放置。求：求：水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。求：求：此时系统的角速度此时系统的角速度zaallABCDozABCD解：解：

9、取系统为研究对象取系统为研究对象022)sin(laamgmg(e)0zM210022zLmaama222 (sin)zLm alLz = 恒量恒量(e)()0ziMF解解: :0 0量量 恒恒zLBaAavv2BrArvvu2BrArBaAavvvv0AAaBBam vrm vr AaArBaBrvvuvvu解题步骤：解题步骤：1、根据题意确定、根据题意确定研究对象研究对象。对于多轴系统，必须拆开取。对于多轴系统，必须拆开取单轴为研究对象。单轴为研究对象。2、受力分析。只画、受力分析。只画外力外力，不分析内力。根据受力特点判，不分析内力。根据受力特点判断是否动量矩守恒。断是否动量矩守恒。3、

10、运动分析，建立必要的、运动分析，建立必要的运动学关系运动学关系，速度合成定理等。，速度合成定理等。4、建立、建立坐标系坐标系，规定外力矩和动量矩的正方向，并，规定外力矩和动量矩的正方向，并计计算动量矩算动量矩。速度和角速度都是绝对速度。速度和角速度都是绝对速度。5、根据动量矩定理（守恒定理）、根据动量矩定理（守恒定理）建立方程并求解建立方程并求解。11-2 动量矩定理动量矩定理作业：作业：(习题习题)p280-p28111-1, 11-4 iiizrmJ2 刚体刚体 z 轴的转动惯量轴的转动惯量virimiF1F2FnFiyxz 刚体对定轴的转动惯量与角加速度刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘

11、积，等于作用于刚体的主动力对该的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。轴的矩的代数和。11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程(e)()0ziMconstF1. 若若(e)()ziMconstconstF2. 若若()zzJMF 转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量.22dd()ddzzzzJJJMttFd()()dzziJMtF()()ziiii iiziiLmrmrrJvaCmgO解：解：取摆为研究对象取摆为研究对象求：求： 微小摆动的周期。微小摆动的周期。此方程的通解为此方程的通解为)sin(0tJmgaO周期为周期为22dsindOJ

12、mgat 22d0dOmgatJ摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：sin 0OFNF求：求： 制动所需的时间。制动所需的时间。已知：已知： JO ， 0，FN ，f 。解：解：取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象解得解得0NOJtf F RNddOJFRfF Rt00N0ddtOJfF R tM1M2求：求： 轴轴的角加速度。的角加速度。已知：已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。M2M112FFnFFn解：解：分别取轴分别取轴和和为研究对象为研究对象解得：解得：)()(2122112211iJJiMM121221RiR2222JF RM11

13、11JMF R 刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量。是刚体转动时惯性的度量。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。而且与质量的分布情况有关。 其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为 kgm211-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2zi iJmrCBAlxdxxz222201d12Czi ilJmrmx xmll22Ozi iJmrmR213AzJml11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量ROzRdO2zzmJ惯惯性性半半径径( (回回转转半半径径) )mJzz2222

14、012d2Czi iRJmrmmRR 11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行 JzC 必须是通过质心的必须是通过质心的刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与两轴的转动惯量，加上刚体质量与两轴之间距离的平方的乘积。轴之间距离的平方的乘积。222111()zCiiJmrm xy2222211222111()() ()2ziiiiiiJmrm xym xydm xydm ydm11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量CBAzCzlOCdm1

15、m2221( )23zCzlJJmml11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量例例 题题 8求：求：O 处动约束力。处动约束力。已知：已知： m ，R 。解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象解得：解得：Rg32由质心运动定理由质心运动定理013OxOyFFmgCOmgFOyFOx(e)(e)xOxCxyOyCyFFmaFmgFma解题步骤：解题步骤：1、根据题意确定、根据题意确定研究对象研究对象。对于多轴系统，必须拆开开。对于多轴系统，必须拆开开取单轴为研究对象。取单轴为研究对象。2、受力分析。只画、受力分析。只画外力外力，不分析内力。根据受力特点是，不分析内力。根据受力特点是否动量

16、矩守恒。否动量矩守恒。3、运动分析，建立必要的、运动分析，建立必要的运动学关系运动学关系，速度合成定理等。，速度合成定理等。4、建立、建立坐标系坐标系，规定外力矩和动量矩的正方向，并，规定外力矩和动量矩的正方向，并计计算动量矩算动量矩。速度和角速度都是绝对速度。速度和角速度都是绝对速度。5、根据动量矩定理（守恒定理）、根据动量矩定理（守恒定理）建立方程并求解建立方程并求解。11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量作业：作业：(习题习题)p280-p28211-2, 11-8miriOyxzriyxzviCrC11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理()OOiii

17、iimm LMvrv()OCiiiCiiiiimmm LrrvrvrviCirrriiCmmvv(e)(e)ddddddCCCCCCiiimmtttrLvrvrFrF11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理iCirrr(e)dd()()ddtOCCCOimtLrvLMF(e)iirF0CCvv(e)ddCCimmtvaF( )ddeCiitLrF)()e(iCFM 质点系相对于质心质点系相对于质心 ( 平移系平移系 ) 的动量矩对时间的导的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是，这就是质点系相对于质心质点

18、系相对于质心(平移系平移系)的动量矩定理的动量矩定理。 这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。 当外力对质心的主矩为当外力对质心的主矩为 0 时，时，11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理constCLCOyxxyD F1F2Fn 由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有：11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程CCJL (e)(e)d()dCiCCCimJJMt aFF2(e)22(e)2ddd()dCiCCimtJMtrFF刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方

19、程11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程e()CxCyCCimxFmyFJMF例例 题题 7已知：已知： m , R, 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmgaC解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象(e)(e)N(e)sincos00 xCxCyCyCCFmgmamaFmgFmaJM满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：CFNmgaCF例例 题题 7已知：已知： m , R, 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。由由 得：得： NfFF NcoscosFmgFmgf圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑CFNm

20、gaCF例例 题题 7已知：已知： m , R, 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。FC例例 题题 8已知：已知： m1 , m2 , R, f , F 。求：求： 板的加速度。板的加速度。FCF1FN1FN2F2FN2F2m1gm2gaaCar解：解：取圆轮和板为研究对象取圆轮和板为研究对象解得：解得：对板：对板：211FFFam对圆轮：对圆轮：22222/ 2Cm aFm RF R112()CaaRFf mm g 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题解除约束前：解除约束前： FOx= 0, FOy= mg/2突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时：

21、FOx=？, FOy=？W = mgOFOxFOyW = mgOFOxFOy 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题 突然解除约束瞬时，杆突然解除约束瞬时，杆OA将将绕绕 O 轴转动，不再是静力学问轴转动，不再是静力学问题。这时，题。这时， 0， 0。需要。需要先求出先求出 ，再确定约束力。再确定约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程应用质心运动定理应用质心运动定理W = mgOFOxFOy 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题lglmgml23,23122022OxOyllmFmmgF420mglmmgFFOyOx 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续， 加速度与角加速度将发生突变。加速度与角加速度将发生突变。 系统的自由度一般会增加；系统的自由度一般会增加；W=mgOABC例例 题题 10已知：已知：OA=OB=AB=l 。求：求：剪断剪断OB 绳瞬时，绳瞬时，OA绳的张力。绳的张力。 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题BW