三角形典型题(三边关系)

1、已知ABC ,(1) 如图 1，若 D 点是AABC 内任一点、求证：/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2) 若 D 点是ABC 外一点，位置如图 2 所示.猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD 有怎样 的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)(3 )若 D 点是ABC 外一点，位置如图 3 所示、猜想/ D、/ A、/ ABD、/ ACD 之间有 怎样的关系，并证明你的结论.考点：三角形的外角性质专题：计算题.分析：(1)由/ BDC= / 2+ / CED , / CED= / A+ / 1,可以得出/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2) 由/

2、 D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB，/ A+ / ABC+/ ACB=180，/ D+ / DBC+DCB=180 ，可以得出/ D+ / A+ / ABD+ / ACD=360(3) 根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知/ AED= / 1+ / A，/ AED= / D+ / 2，所以可知/ A+ / 1= / D+ / 2 即/D+ / ACD= / A+解答：解：(1)证明：延长 BD 交 AC 于点 E ./ BDC 是ACDE 的外角，/ BDC= / 2+ / C

3、ED ,/ CED 是ABE 的外角，/ CED= / A+ / 1 ./ BDC= / A+ / 1+ / 2 .即/ D= / A+ / ABD+ / ACD .(2 )/ D+ / A+ / ABD+ / ACD= / A+ / ABC+ / ACB+ / D+ / DBC+DCB ,/ A+ / ABC+ / ACB=180，/ D+ / DBC+DCB=180 , / D+ / A+ / ABD+ / ACD=360(3)证明：令 BD、AC 交于点 E,/ AED 是ABE的外角，/ AED= / 1+ / A ,/ AED 是 ACDE 的外角，/ AED= / D+ / 2 .

4、/ A+ / 1 = / D+ / 2 即/ D+ / ACD= / A+ / ABD .形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.(1)如图，AABC 中，P 为边 BC 上一点，试观察比较 BP+PC 与 AB+AC 的大小，并说明 理由.厶(2)将(1)中点 P 移至AABC 内，得图，试观察比较ABPC 的周长与AABC 的周长的(3)将(2)中点 P 变为两个点 P1、P2得下图，试观察比较四边形 BP1P2C 的周长与AABC 的周长的大小，并说明理由.(4)将(3)中的点 P2移至ABC 夕卜， 并使

5、点 Pj、 P2与点 A 在边 BC 的异侧， 且/ P1BCv/ABC ,/ P2CBv/ACB ,得图，试观察比较四边形 BP1P2C 的周长与AABC 的周 长的大小，并说明理由.（5）若将（3）中的四边形 BP1P2C 的顶点 B、C 移至ABC内，得四边形 B1P1P2C1,如 图，试观察比较四边形 B1P1P2C1的周长与AABC 的周长的大小，并说明理由.考点：三角形三边关系分析：（1 ）、（ 2）、（ 3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答；（4）通过将四边形 BP1P2C 沿直线 BC 翻折，使点 Pi、P2落在 MBC 内，转化为（3）情 形

6、，从而问题得解；（5） 延长 BiPi、C1P2分别与 AB 相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之 差进行解答.解答：解：（1） BP+PCvAB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短.（2）ABPC 的周长v AABC 的周长.理由:如图，延长 BP 交 AC 于 M，在AABM 中，BP+PMvAB+AM ,在 APMC 中，PCvPM+MC , 两式相加得 BP+PCvAB+AC，于是得： ABPC 的周长v AABC 的周长.（3）四边形 BP1P2C 的周长v AABC 的周长.理由:如图，分别延长 BP. CP2交于 M，由(2)知，BM+CMVA

7、B+AC，又卩汨2 P1M+P2M , 可得，BP1+P1P2+P2CVBM+CMVAB+AC，可得结论.或：作直线 P1P2分别交 AB、AC 于 M、N (如图)， ABMP1中，BP1VBM+MP1, AMN中，MP1+P1P2+P2MVAM+AN，AP2NC 中，P2CVP2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C(4) 四边形 BP1P2C 的周长VABC 的周长.理由如下：将四边形 折，使点 Pi、P2落在 MBC 内，转化为(3)情形，即可.(5) 比较四边形 B1P1P2C1的周长VAABC 的周长.理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交 ABC 的边于 M、N、K、H

8、 ,在NM 中，NBJ+BJPI+PJMVBM+BN，又显然有，BiCi+CiKvNBi+NC+CK，及 C1P2+P2HVCiK+AK+AH，及 P1P2VP2H+MH+PiM，将以上各式相加，得 B1P1+P1P2+P2C+BiCiVAB+BC+AC，于是得结论.点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答.如图，已知直线J12, 13、14和 12分别交于点 A、B、C、D，点 P 在直线 13或 14上且不 与点 A、B、C、D 重合.记/ AEP= / 1，/ PFB= / 2，/ EPF= / 3.(1) 若点 P 在图(1 )位置时，求证：/

9、3= / 1+ / 2 ;(2) 若点 P 在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/ 2、/ 3 之间的关系；(3) 若点 P 在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3 之间的关系并给予证明；(4)若点 P 在 C、D 两点外侧运动时，请直接写出/1、/ 2、/ 3 之间的关系.BP1P2C 沿直线 BC 翻VAB+AC，可得结论.考点：平行线的性质；三角形的外角性质专题：证明题；探究型.分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P 作直线 ll、I2的平行线，利用平行线的性质得到和/ 1、/ 2 相等的角，然后结合这些等角和/3 的位置关系，来得出/ 1、/ 2、/ 3的数量关系.解答：解：

10、（1 ）证明：过 P 作 PQ/h /I2,由两直线平行，内错角相等，可得：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF;/ 3= / QPE+ / QPF ,/ 3= / 1+ / 2.(2)/ 3= / 2- / 1 ;证明：过 P 作直线 PQ / l1/ 12,则：/ 1= / QPE、/ 2= / QPF ;/ 3= / 2- / 1.(3)/3=360 -Z1-/2.证明：过 P 作 PQ / li/ I2；同(1)可证得：/ 3= / CEP+ / DFP ;/ CEP+ / 仁 180，/ DFP+ / 2=180 ,/ CEP+ / DFP+ / 1+ / 2=360 , 即/ 3=360 - / 1-/ 2 .(4) 过 P 作 PQ / l1/ l2;当 P 在 C 点上方时，同(2 )可证：/ 3= / DFP- / CEP ;/ CEP+ / 仁 180，/