2025年中考数学复习《二次函数综合压轴题》常考练习题汇编（含答案）

2025年中考数学复习《二次函数综合压轴题》常考热点练习题汇编

1.如图，已知抛物线y=-/+.+©与一直线相交于力(-1,0),C(2,3)两点，与y轴

交于点N.其顶点为D

(1)求抛物线及直线4C的函数表达式；

(2)设点M(3,m),求使MN+MO的值最小时加的值；

⑶若点尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PQ，无轴交4C于点Q,求PQ的

最大值.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点8的坐标为(一1,0),且。A=0C=50B,抛物线y=

(1)求C两点的坐标；

⑵求抛物线的解析式；

⑶若点尸是直线2C下方的抛物线上的一个动点，作PO，AC于点。，当PO的值最大时，求

此时点尸的坐标及P。的最大值.

3.如图抛物线y=a/+6x+c经过点力(―1,0),点C(0,3),且。B=0C.

(2)点£＞、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1,点。在点E的上方，求四边形2CDE的周

长的最小值.

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⑶点P为抛物线上一点，连接CP,直线。。把四边形。8。4的面积分为3:5两部分，求点P的坐

标.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6%+c与无轴交于点4(一1,0),8(3,0),与y轴

交于点C,作直线BC,点尸是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB,

PC,以PB,PC为边作E1CPBD,点P的横坐标为根.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)当回CPBD有两个顶点在久轴上时，贝IJ点P的坐标为；

⑶当回CPBD是菱形时，求m的值.

⑷当小为何值时，回CPBD的面积有最大值？

5.二次函数丫=a/+bx+4(a70)的图象经过点2(-4,0),B(l,0),与y轴交于点C,点尸

为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点。，过点尸作PDlx轴于点£>.

(1)求二次函数的表达式；

⑵在对称轴上是否存在一个点使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点朋■的坐标.不

存在的话请说明理由.

⑶连接BC,当乙DPB=2NBCO时，求直线BP的表达式.

6.如图，抛物线y=；/-:久交x轴正半轴于点2,M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x

轴的平行线交抛物线于点B,C(8在C左边)，交y轴于点D,连结OM,已知。M=5.

(1)求OD的长.

(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结24,AC,OC,PO.设点P的横坐标为小，四边

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形0C4P的面积为S.

①求S关于小的函数表达式.②当NPOC=NDOC时，求S的值.

7.如图，已知抛物线y=r2+bx+c经过B(-3,0),C(0,3)两点，与无轴的另一个交点为4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴上找一点£,使得2E+CE的值最小，求点E的坐标；

⑶设点P为x轴上的一个动点，写出所有使aBPC为等腰三角形的点尸的坐标，并把求其中

一个点P的坐标的过程写出来.

8.如图，在平面直角坐标系久Oy中，将抛物线y=巳久2平移，使平移后的抛物线仍经过原点

0,新抛物线的顶点为M3、M在第四象限)，对称轴与抛物线y=交于点N,且MN=4.

⑴求平移后抛物线的表达式；

⑵如果点N平移后的对应点是点P,判断以点M、N、P为顶点的四边形的形状，并说

明理由；

⑶抛物线y=之，上的点/平移后的对应点是点&BC1MN,垂足为点C,如果△ABC是

等腰三角形，求点N的坐标.

9.综合与探究

如图，抛物线y=-|x-2与x轴交于48两点，与y轴交于点C.过点4的直线与抛物

线在第一象限交于点。(5,3).

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(1)求4B,C三点的坐标，并直接写出直线2。的函数表达式.

(2)点P是线段4B上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交直线4。于点F.试

探究是否存在一点P,使线段EF最大.若存在，请求出EF的最大值；若不存在，请说明理

由.

⑶若点M在抛物线上，点N是直线4。上一点，是否存在以点B,D,M,N为顶点的四边形

是以BD为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

10.如图，已知直线y=|x+3与x轴交于点£),与y轴交于点C,经过点C的抛物线丫=

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)连接。E,求tan4CDE的值；

⑶设尸为抛物线上一动点，。为直线CD上一动点，是否存在点P与点0,使得以。、£、P、

0为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点0的坐标；如果不存在，请说明理

由.

11.如图，已知抛物钱经过点4(一1,0),5(3,0),C(0,3)三点.

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⑵点M是线段BC上的点(不与8,C重合)，过M作MN||y轴交抛物线于点N.若点M的横

坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长；

⑶在(2)的条件下，连接NB、NC,当加为何值时，ABNC的面积最大，最大面积是多少？

12.如图，已知抛物线y=-/+6%+c与x轴交于4,8两点，与y轴交于C点，顶点为

D,其中4(1,0),C(0,3).直线y=小久+n经过3,C两点.

(1)求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴上找一点〃，使M4+MC最小，直接写出点M的坐标；

(3)连接B。，CD,求△BCD的面积.

13.抛物线y=ax2+bx-4(a*0)与x轴交于点4(-2,0)和2(4,0),与y轴交于点C,连接

BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点重合)，过点P作y轴的平行线交

8C于M,交x轴于N,设点P的横坐标为t.

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（1）求该抛物线的解析式;

⑵用关于t的代数式表示线段PM,求PM的最大值及此时点M的坐标;

⑶过点C作CH1PN于点、H,SABMN=9SACHM，

①求点P的坐标;

②连接CP,在y轴上是否存在点Q,使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若

不存在，请说明理由.

14.如图，抛物线y=ax?+bx+c（a〉0）交久轴于/、3两点（点/在点3左侧），交y轴于

点C.

图1备用图图2

⑴若2(—1,0),8(3,0)((0,—3),

①求抛物线的解析式;

②若点。为》轴上一点，点Q为抛物线上一点，ACPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求

出点P的坐标;

（2）若直线y=bx+t[t>c）与抛物线交于点M、N（点M在对称轴左侧），直线2M交y轴于点E,

直线2N交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.

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15.如图，二次函数y=-/+c的图象交x轴于点/、点8,其中点8的坐标为(2,0),点C

的坐标为(。，2),过点/、C的直线交二次函数的图象于点。.

(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；

⑵连接D8,贝UAZMB的面积为；

⑶在V轴上确定点。，使得403=135。，点0的坐标为；

⑷点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N,使得以点/、点。、

点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若

不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+6x+c与x轴交于/,B两点,与y轴交

于点C,顶点为0(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点及

(1)求抛物线y=-x2+6x+c的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为〃①>0),在平移过程中，该抛物线

与直线8C始终有交点，求h的最大值；

⑶M是(1)中抛物线上一点，N是直线3C上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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参考答案

1.（1）解：由抛物线y=-/+5%+c过点4（一1,0）,C（2,3）得

C—1—6+c=0

1一4+2b+c=3'

解得｛:ZI,

回抛物线为y=-/+2x+3；

设直线为丫=/«:+71过点4（一1,0）,C（2,3）,得

（—k+n=0

12k+ri=3'

解得『=J,

5=1

回直线4C为y=X+1；

（2）解：取=—X2+2%+3=—（%-1）2+4,

回。（1,4）,

令y=0,贝!]0=-x2+2久+3,

解得尤=-1或x=3,即抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）,

作直线久=3,作点D关于直线久=3的对称点0',

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得。坐标为(5,4),如图,

连接N)交直线x=3于点M,

此时N、M、»三点共线时，NM+MD最小，即NM+MD最小,

设直线N»的关系式为：y=ax+b,

把点N(0,3)和)(5,4)代入得［口；］乙4,

得a=6=3,

团直线■的函数关系式为：y=|%+3,

当x=3时，y=£,

0m=―；

团设Q(%,%+1),则P(%,—%2+2%+3),

团PQ=(―x2+2x+3)—(x+1)

=—x2+%+2

+%

0-1<0,

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&PQ有最大值，最大值为,

2.(1)解:回点2的坐标为(—1,0),

BOB=1,

回。4=OC=SOB,

回。4=OC=5,

团点2(5,0),C(0,—5)；

(2)解：设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(%—5),

把点C(0,-5)代入得:-5a=-5,

解得：a=1,

故抛物线的表达式为：y=(%+1)(%-5)=%2-4%-5；

(3)解：团直线CA过点C(0,—5),

团可设其函数表达式为：y=kx—5,

将点4(5,0)代入得:5fc-5=0

解得：k=1,

故直线CZ的表达式为：y=x—5,

过点P作歹轴的平行线交C/于点”，

团。A=OC=5,

・•.Z.OAC=Z.OCA=45°,

团P”||y轴，

・•・乙PHD=^OCA=45°,

回尸。=PH,

团PD1AC,

SPD=—PH,

2

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设点尸(%,%2-4%-5),则点”(%,%-5),

回产。=—(%—5—%2+4%+5)=——%2+—%=——fx—

2、7222V2/8

[?]--<0,

2

SPD有最大值，当x时，其最大值为苧，

28

-

此时点P(|，—Y)

3.(1)解：；OB=0C,点C(0,3),

•・•点8(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+l)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2—2ax—3a,

将点C(0,3)代入得,

故—3a=3,解得：a--1,

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3,

回y=­X2+2x+3=—(%—I)2+4,

函数的对称轴为：X=1;

(2)四边形2CDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=<AO2+CO2=Vl2+32=V10,

DE=1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于直线x=1对称点](2,3),则CD=CD,

如图所示，取点4(—1,1),则点C'与C关于久=1对称，则C'(2,3),

图1

0X,C,=V32+22=V13,

SCD+AE=A'D+DC,则当4、D、L三点共线时，CD+4E=4。+DL最小，周长也

最小，

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四边形4CDE的周长的最小值=4C+DE+CD+AE

=V1O+1+A'D+DC

=VTo+I+A'C

VTo+1+V13；

(3)如图，设直线CP交x轴于点£,

图2

直线CP把四边形CBP4的面积分为3：5两部分，

11

又13sApcB；SAPS=~EBX(yc-yP)；-AEX(yc-yP)=BE；AE,

JOE:4E=3：5或5：3,

则4E=|或£

即：点E的坐标为(|,0)或G，0),

回C(0,3),设直线CP的表达式：y=kx+3,

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=k%+3,

解得：k=—6或—2,

故直线CP的表达式为：y=—2%+3或y=—6x+3,

叱=—%2+2久+3(y=-x2+2久+3

乂(y=—2x+3(y=—6x+3'

解得：x=4或x=8(x=0舍去)，

故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).

4.(1)解：回抛物线丫=/+版+。与％轴交于点4(—l,0),B(3,0),

国抛物线的解析式为y=Q+l)(x-3),

即旷=Y2—2x—3,

(2)解：回抛物线的解析式为y=/-2%-3,令x=0,贝3=一3,

EC(0,-3),

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酬CPBO有两个顶点在无轴上时，

团点。在x轴上，

团四边形CPBO是平行四边形，

团CPIIBD,

团点尸和点。为抛物线上的对称点，

团抛物线y=/-2x-3的对称轴为第=一言=1,C(0,—3),

团P(2,-3),

故答案为：(2,-3)；

(3)解：设点尸的坐标为Qn,y),

站(3,0),。(0,-3),

团8尸2=(3—m)2+y2,

CP2=m2+(m+3尸，

团团CPBO是菱形，

团BP=CP,

回BP?=CP2,

0(3—m)2+y2=m2+(y+3)2,

9—2m+m2+y2=m2+y2+6y+9,

m+y=0,

=m2—2m—3，

回租+m2—2m—3=0,

m2—m—3=0,

-(-l)±V(-l)2-4xlx(-3)1±V13

m=----------------------------=--------，

2X12

日ni+尺1-V13

即7nl=---,m2=---，

团点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点SC重合),

团0Vm<3,

同1+V13

0m=-------；

2

(4)解：如图所示，过点P作PE||y轴交直线BC于点£,

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y

设直线BC的解析式为y=k%+b(kWO),将B(3,0),C(0,—3)代入得,

3k+b=0

b=-3

解得,『二3

团直线BC的解析式为y=%-3,

设P(?n,ni2-2m—3),则E(?n,7n—3),

团PE=-m2+3m,

Ir

回S^PBC=5x3(-m2+3m),

团S团cpBo=2S^PBC

=2x-x3(—m2+3m)

=—3m2+9m

=-3(m-|)2+^,

团当皿=决寸，平行四边形CPBD的面积有最大值.

5.⑴解:回抛物线y=/+bx+c与x轴交于点2(-l,0),B(3,0),

回抛物线的解析式为y=(x+l)(x-3),

gPy=X2—2x—3,

(2)解：回抛物线的解析式为y=/一2刀一3,令X=0,贝l]y=—3,

EC(0,-3),

IMCPBD有两个顶点在x轴上时，

回点。在x轴上，

回四边形CPBD是平行四边形，

0CPIIBO,

国点尸和点。为抛物线上的对称点，

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团抛物线y=/-2x-3的对称轴为久=一言=1,C(0,—3),

*(2,-3),

故答案为：(2,—3)；

(3)解：设点夕的坐标为Qn,y),

团8(3,0),C(0,-3),

国BP?=(3—m)2+y2,

CP2=m2+(m+3)2,

团团CPBO是菱形，

团BP=CP,

回吐=cp2,

0(3—m)2+y2=m2+(y+3)2,

9—2m+m2+y2=m2+y2+6y+9,

TH+y=0,

^\y=m2—2m—3,

0m+m2-2m—3=0,

m2—m—3=0,

、_-(-l)±V(-l)2-4xlx(-3)_1±V13

ITT——，

2X12

0n1+V131-V13

即mi=,m2=工一，

团点P是抛物线在第四象限上一个动点(点尸不与点8(重合),

[30<m<3,

同1+V13

0m=-----；

2

(4)解：如图所示，过点P作PE||y轴交直线BC于点E,

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设直线的解析式为y=/c%+b(kWO),将8(3,0),C(0,—3)代入得,

3fc+b=0

b=-3

解得,{j]

团直线的解析式为y=%-3,

设P(7n,zn2—2m—3),则E(?n,TH—3),

团PE=-m2+3m,

1r

团S“BC=5x3(—m2+3m),

团S团CPBO=2S〉PBC

1

=2x-x3(—m29+3m)

=—3m2+9m

=-3(m-|)2+^

回当m=决寸，平行四边形CPBD的面积有最大值.

5.(1)解：把/(—4,0),8(1,0)代入y=a/+板+4(aW0)得：

(16a—4b+4=0

Ia+b+4=0'

解得F,

3=—3

回二次函数的表达式为y=-x2-3%+4；

(2)在对称轴上存在一个点使MB+MC的和最小，理由如下:

连接4C交对称轴于则MB+MC的和最小，如图：

0MB+MC=MA+MC,

而C,M,/共线，

团此时MB+MC最小，

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在y=—x2—3%+4中，令％=0得y=4,

团C(0,4),

设直线/C的表达式为y=rx+s,由4(一4,0),C(0,4)可得

C—4r+s=0

ts=4

解得『=:

Is=4

团直线AC解析式为y=%+4,

由y=—x2—3%+4=—(%+|)+§知抛物线对称轴为直线％=—|,

在y=X+4中，令第=—|得y=|,

叫-|,|);

团乙DPB=乙OKB,

⑦乙DPB=2乙BCO,

⑦乙OKB=2乙BCO,

^\Z-CBK=Z-BCOf

团BK=CK,

设OK=血，贝IJCK=BK=4—血，

WB2+OK2=BK2,

El2+m2=(4—m)2,

解得租=印

o

醍(唬)

设直线BP的表达式为y=px+q,由B(l,0),K(0,空)得到

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p+q=0

15

15

8

15

8

团直线B尸的表达式为y=—学％+二.

88

6.解：（1）抛物线对称轴为x=-3=3,

2a

回DM=3,0A=6；

团0M=5,

^\0D=yj0M2-DM2=V52-32=4.

(2)过点P作PN回OA于N,

①由y=0得，0=工久2—2%

解得：x=0(舍去)，x=6

I2OA=6,

团s四边形OCAF=S/iOAc+SzkOAP

=--0A-OD+--0A-PN

22

iirz17

=-x6x4+-x6-l-m2-

乙乙L\T,

/13

=12+3--m92+-m

\42

39

=--mz7+-m+12

42

所以，S关于m的表达式为：S=+12

42

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@MC=CD-DM=5=0M,

团团MOC=E1MCO.

0BC0X轴，

团团AOC=©MCO=[EMOC.

团团POC=R1DOC,

R01P0C—团AOC=R1DOC—R]MOC,

团团POE=B1DOM,

3

回tan团POA=tan回DOM=-,

4

户二

Xp4

团yp=1%,代入抛物线解析式得

31_3

__y——yN_——y

40—4P2p

解得xp=0(舍去)或xp=3,

「33c9

团"「=一遇=_大=_工

团s四边形OCAF=S4OAC+S^OAP

^--OA-OD+--0A-PN=18.75

22

7.(1)解：将点8(—3,0),C(0,3)代入抛物线解析式得「9一=。

解得『二~2,

Ic=3

回抛物线的解析式为y=-X2-2X+3；

(2)解：回抛物线解析式为y=-2久+3=-(久+1尸+4,

回抛物线的对称轴为直线x=-1,

回点4、B关于对称轴对称，

回BE=AE,

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团4E+CE=BE+CE,

团当8、C、E三点共线时，BE+CE最小，即此时AE+CE最小,

团BC与对称轴的交点即为点E,如下图，

设直线BC解析式为y=mx+n,

3m+n=0

tn=3

解得产=J,

回直线BC的解析式为y=x+3；

当久=—1时，y=x+3=2,

回以-1,2）；

（3）解：0B（-3,O）,C（O,3）,

回。B=0C=3,

SBC=V32+32=3V2,

当B为顶点时，贝i]PB=BC=3&,

回点P的坐标为（3鱼-3,0）或（-3/-3,0）；

当C为顶点时，贝UPC=BC,

回点P与点B关于y轴对称，

回点P的坐标为（3,0）；

当BC为底边时，贝lJPC=PB,

设点尸的坐标为（小，0）,

0（—3—m）2—m2+32,

解得m=0

回点P的坐标为（0,0）；

综上，点P的坐标为（0,0）或（3,0）或（3/一3,0）或（―3/一3,0）.

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8.(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=1x2+bx,

则点M的坐标为：(一心一)2),

当久=—6时，y=|x2=^b2,即点N(—

则MN=颖2+,2=4,

解得：b=2(舍去)或b=-2,

2

则平移后的抛物线表达式为：y=|%-2%;

(2)解：四边形OMPN是正方形，

根据题意可得0(0,0),M(2,-2),N(2,2),P(4,0),

记MN与。P交于点G,贝UG(2,0),

回。G=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=2&,

回四边形。MPN是平行四边形，

回MN=OP=4,

回四边形0MPN是矩形，

回N。=NP=2VL

回四边形。MPN是正方形；

(3)解：设力(a,5a2),B(a+2,——2),C^2,—a2—2),

可得AB=2V2,AC=V(a-2)2+22,BC=Va^,

①4B=AC,2V2=J(a—2尸+2?,即a?—4a=0,

解得a1=4,at=0(舍去0),

•••4(4,8)；

@AB=BC,2V2=后，

解得的=2V2,%=-2V2,

•••4(2夜,4)或4(-2短4)；

(3)AC=BC,((a—2尸+22=叱，

解得a=2,

•••2(2,2)；

综上，点/的坐标是(4,8)、(2短4)、(-272,4),(2,2).

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9.(1)解：令y=0,贝灯2一|%一2=0,

解得x=4或%=-1,

•••71(-1,0),5(4,0),

令x=0,贝Uy=-2,

•••C(0,-2),

设直线4。的函数表达式为y=kx+b,

将4(—1,0),2X5,3)的坐标代入得,忆”K

(k=-

解得：\b

b=2

i,i

■-y=2x+2;

(2)解：存在，理由如下：

设P(a,0),则E(a,—a?——a—2),F(a,—a+—>

•••P线段4B上的一个动点，

•••E在》轴下方，

EF=-a+-—(-a2--a—2^=--a2+2a+-=--Qa—2~)2+-,

22122)222'，2

.•.当a=2时，EF有最大值，最大值为会

(3)解：存在，点M的坐标为(0,-2),(2+旧,4+4)或(2-7344-手)；

设M(m,号机2一|机_2),yv|n+0,

•••B(4,0),D(5,3),

①当平行四边形对角线为BN和DM时，

(4+n_5+m

22

贝“0+-n+-3+-m2--m-2'

22-22

I2-2

解得：｛:二;或｛:二:(当爪=4时,”(4,0)与B点重合,不符合题意,舍去)

二点M的坐标为(0,—2)；

②当平行四边形对角线为BM和。N时，

第22页共34页

4+m_5+n

22

0+|m2-|m-2_3+|n+|'

{2―2

解得：产=2+在或产=2-丝，

（-n=1+V14vn=1-V14

.•.点M的坐标为（2+E,4+¥）或（2-旧,4一学），

综上所述，点M的坐标为（0,-2）,（2+旧,4+学）或（2—VH,4—手）

10.（1）解:对于y=|x+3,由无=0,得y=3,

EIC（0,3）,

回抛物线过点力（一6,0）、C（0,3）,

卜拉（-6）2-66+C=0,解得：?=下,

Ic=3（。=3

国该抛物线为y=_乂+3；

4

（2）解：由y=—}%2一%+3=一，（％+2尸+4得顶点£（一2,4）,

过点E分别作EF_L无轴于R作EGly轴于G,连接EC,

则EF=4,DF=2,EG=2,CG=1,

「DF1CG

团--=一=--，

EF2EG

由匕DFE=乙CGE=90°,

[?]△DFE~△CGE

回乙DEF=ACEG，-=—=

DEDF2

回乙CEG+乙CEF=90°,乙DEF+(CEF=90°,

^DEC=90°,

FC1

回tanzTDE=—=-；

DE2

(3)设Q(m,|m+3)

①若DE为平行四边形的一边，且点尸在点0的上方,

第23页共34页

团。(一4,0),E(—2,4),Q(m,|m+3),

团P(m+2,：Tn+7),代入抛物线得：+7=-i(m+2)2—(m+2)+3,

解得7nl=-7,m2=-4(舍去)

回Q(—7，_?；

②若DE为平行四边形的一边，且点尸在点。的下方，

0£)(-4,0),E(-2,4),Q(m,|m+3),

团P(m—2,—1),

-3+V8915+3V^)或Q^-3-V8915-3V89

③若DE为平行四边形的对角线

回团0(—4,0),E(-2,4),Q(m,|m+3),

0P(—771—6,—+1)代入抛物线得：—：?7l+1=-](-771—6)2—(—71T—6)+3,

解得如=-1,m2=-4(舍去)

回Q(T，?,

综上所述，点。的坐标为(—7,—3Q(三迤，竺得竺)或Q(三场，竺得竺)或(―1.

11.(1)解：根据题意，抛物钱与工轴交于点4(一1,0),5(3,0)

设抛物线解析式为y=a(久+1)(尤一3)

将C(0,3)代入可得：-3a=3,解得a=-l

即y=—(x+l)(x—3)=-x2+2x+3；

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b

将8(3,0)、C(0,3)代入可得:

产解得『二1

lb=3lb=3

第24页共34页

即y=—%+3,

则M(zn,—zn+3),N(m,—m2+2m+3),

MN=­m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m；

(3)由题意可得：S^BNC=SABNM+SAMNC=axMNxOB=-(—m2+3zn)=--TYI2+-?TI

回m=---得=:时，S"NC面积最大，

-2X-2

o

团最大面积为SABNC=_|X(I)+|x|=^.

2

12.解：(1)将点4(1,0),C(0,3)KAy=-X+bx+c,

得j—1+b+c=0,

(c—3,

解这个方程组，得

.•・抛物线的解析式为y=-%2-2x+3.

当y=0时，0=—x2—2%+3=—(%+3)(%—1),

解得第1=-3,x2=1,

回点5的坐标为(一3,0),

回直线y=mx+几经过B,C两点，

3m+n=0

tn=3

解得｛:二;，

回直线解析式为y=%+3；

(2)回点/和点8关于对称轴对称，

团当点”是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值,

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团抛物线y=-x2—2x+3=—(%+l)2+4,

回点D的坐标为(一1,4),对称轴为直线X=1,

将1=1代入直线y=%+3,得：y=-1+3=2,

回点/的坐标为(一1,2)；

(3)团点。(-1,4),点M(—l,2),

团0M=4-2=2,

团点B(—3,0),

团8。=3,

11

团S"co=S^DMB+S^DMC~5DM,BO=-x2x3=3.

13.(1)解：把/(一2,0)、8(4,0)代入y=a/+5%-4得

回f4ci—2b—4=0即/2。—b=2

116a+4b-4=0'14a+b=1'

Ja=i

ib=-1

团抛物线的解析式为：y=|x2-x-4；

(2)解：令％=。得y=-4,

团C(0,-4)

设直线BC的解析式为y=kx+b,

团直线5c的解析式为：y=x—4

斯的横坐标为KPM||y轴，

0P-t-4),

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0PM=t-4-Qt2-t-4)=-|t2+2t=-|(t-2)2+2,

1

团一一<0,

2

团当t=2时，PM有最大值2,此时M(2,-2)；

(3)解：①回8(4,0)、。(0,-4),

团。8=。。=4,

^OBC=乙OCB=45°,

团PN||y轴

回乙NMB=LOCB=45°,乙MNB=乙COB=90°,

团匕NBM=乙NMB,

团BN=MN,

1

团S"MN=]BNo,

又乙CMH=乙NMB=45°,乙CHM=90°,

0A是等腰直角三角形

团=]C”2

回S^BMN=9s△CUM

成BN2=9X-CH2

22

团BN=3CH,

国BN+CH=。8=4,

团C”=1

"(1,-

第27页共34页

②设贝!爪)2

Q(O,m),jCQ2=(4+2,cp2=1+(_4+0=PQ2=1+(m+^,

(0)当NCQP=90°时，|=(4+m)2+l+(m+|)2,

解得：m=-4(舍去)或m=

回Q(o,-J

(团)当NCPQ=90。时，^+l+(m+|)2=(4+m)2,

解得：m=—葭，

回Q(o，W)

(0)当NPCQ=90°时3+(4+m)2=1+(m+|)2

解得：m=-4(舍去)

综上所述，存在点Q(0,—葭)或Q(0,—?使得△CPQ为直角三角形.

14.解：(1)①把4(一1,0),8(3,0),。(0,-3)分别代入丫=a/+6%+的得

'a—b+c=0

.9。+3b+c=0,

c=-3

'a=1

解得b=-2,

、c=—3

回抛物线的解析式为y=x2-2久-3.

②设P(zn,0),过Q作QH1无轴于H,贝UNPHQ=90°,

0ACPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，

回PC=PQ,乙CPQ=90°,

第28页共34页

团NOPC+(HPQ=90°,乙HQP+(HPQ=90°,

团NOPC=(HQP,

在△POC和△Q”P中

(NOPC=乙HQP

乙COP=乙PHQ,

CP=QP

0APOC=△QHP(AAS),

团QH=OP=m,PH=OC=3.

当点H在点P的右侧时，。”=租+3,

团Q(zn+3,—m),

把Q(m+3,—m)代入y=/-2%—3,得

—m=(m+3)2—2(m+3)—3,

解得771=0或一5,

此时，P(0,0)或尸(一5,0).

当点”在点P的左侧时，H(m-3,0),

团Q(zn—3,m),代入y=/—2%—3,得

m=(m—3)2—2(m—3)—3,

整理，得租2—9m+12=0,

解得爪=手，

此时P(?等,。)或(2等,0)

第29页共34页

综上，点尸的坐标为P(0,0)或P(-5,0)或P(匕/,0)或(2等,0

(2)设直线4"为)7=々％+直线4'为丫=七%+血1，

联立广族+t

(y=ax+bx+c

得a%2+。一£=o,

以M+%N=0.

y=kx+m

联立•

y=ax2+b%+c

得a/+(5—fc)x+c—m=0,

c-m

回肛％M=a,

同理，得%='四.

^\XAXM+XAXN=XA{xM+%N)=0，

白+*=0,

aa

^\c-m=m1—c.

团0(0,祖力，F(0,m),C(0,c),

团CD=mr—c,CE=c—m,

团CE=CD,

回点C为线段DE的中点.

15.解：⑴团二次函数y=-V+c的图象过点2(2,0),

0O=-22+c,解得c=4

13二次函数解析式为y=-/+4

EL4点坐标为(-2,0)

设直线AC的解析式为y=kx+b

[0=-2k+b\k=\

叱/，解得：Ao

\2=b[b=2

回直线/C的解析式为y=X+2

(2)回直线NC：y=x+2与二次函数交于点/、D

=-x+4

团联立

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