南京信息工程大学概率论

1、一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的的分分布布律律称称此此为为离离散散型型随随机机变变量量为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概概率率所所有有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示

2、为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21.),(,.21,的分布律求相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过的概率允许汽每组信号灯以组信号灯的道路上需经过四设一汽车在开往目的地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1代代入入得得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分

3、布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定 , 0, 1X取得不

4、合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明两点分布随机数两点分布随机数演示演示将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率

5、都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1) 重复独立试验重复独立试验2.二项分布二项分布(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此此时时设设为为伯伯努努利利试试验验则则称称及及只只有有两两个个可可能能结结果果设设试试验验伯努利资料伯努利资料. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正

6、面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次试试验验中中发发生生在在得得knA,种种 kn且两

7、两互不相容且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 0

8、15 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二项分布随机数二项分布随机数演示演示.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( bX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0

9、 ),0001. 0 , 1000( bX例例2 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?99910009999.00001.0110009999.01 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解 1 0 1 2 X PX PX P例例3故所求概率为故所求概率为)( nnp 二项分布二项

10、分布 泊松分布泊松分布).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk记记为为布布的的泊泊松松分分服服从从参参数数为为则则称称是是常常数数其其中中值值的的概概率率为为而而取取各各个个的的值值为为设设随随机机变变量量所所有有可可能能取取 3. 泊松分布泊松分布 泊松资料泊松资料泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时

11、间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数 1 0 1 2 X PX PX P交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /

12、暂停暂停ESCESC键退出键退出, 1 . 00001. 01000 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk记记为为布布的的泊泊松松分分服服从从参参数数为为则则称称是是常常数数其其中中值值的的概概率率为为而而取取各各个个的的值值为为设设随随机机变变量量所所有有可可能能取取 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算99910009999.00001.0110009999.01 所求概率为所求概率为.0047.0!1e1.0!0e11.01.0 2 XP解解 1 01 2

13、XPXPXP),0001.0,1000(bX 1 0 1 2 X PX PX P例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布10 10 . p, n 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1 n两点分布两点分布).,(,)10(), 2 ,

14、 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参参数数为为服服从从二二项项分分布布那那末末分分布布并并且且相相互互独独立立它它们们都都服服从从次次试试验验失失败败若若第第次次试试验验成成功功若若第第设设每每次次试试验验成成功功的的概概率率为为立立重重复复伯伯努努里里试试验验次次独独对对于于分分布布的的推推广广二二项项分分布布是是 三、小结三、小结.) 1 0 (. 2关关系系分分布布、泊泊松松分分布布之之间间的的二二项项分分布布与与 ).,2,1,0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为为参参数数的的泊泊松松分分布布于于以以时时趋趋当当为为参参数数的的二二项项分分布布以以