2019高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题练习

1、第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、 三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题真题感悟-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在B.y=-xC.y= 2xD.y=x/解析 因为函数f(x) =x+ (a 1)x+ax为奇函数，所以f( x) =f(x)，可得a= 1,所 以f(x) =x3+x，所以f(x) = 3x2+ 1,所以f (0) = 1，所以曲线y=f(x)在点(0 , 0)处的 切线方程为y=x.答案 DJ._ 2v 一 12.(2017 全国n卷)若

2、x= 2 是函数f(x) = (x+ax 1)e的极值点，则f(x)的极小值 为()/A. 1B. 2eC.5e一3D.1解析f(x) = x2+ (a+ 2)x+a 1ex1,*则f(2)=42(a+2)+a1e一3=ia=1,A则f(x)=(x2x1)ex1,f(x)=(x2+x2)ex-1,VKA令f(x) = 0，得x= 2 或x= 1,当x1 时，f(x)0 ;当一 2x1 时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，+m),1 ax2ax+1f(X)=X21 1+x=(i)若aw2,则f(x)w0,当且仅当a= 2,x= 1 时f(x) = 0,所以f(x)在(0，+m)上单调

3、递减.已十孑-4上单调递增.证明 由(1) 知,f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点X1,X2满足xax+1 = 0,所以X1X2= 1.又TX2X10,所以X21.又t=f(X1) f(X2) (a 2)(X1X2)1 1=x亦一(X1X2) +a(lnX1 InX2) (a 2)(x1X2)/ X11=世xX1+X2=-也 +2ln2ln X2X2丿 设o(x)=1x+2lnx,x1.X由第 问知，0(X)在(1 ,+)单调递减，且0(1) = 0,从而当x (1,+8)时，0(x)0.1所以+ 2lnX2X20.X2考点整合设xi,X2是f(x)的两个极值点，

4、且X2X1,设t=f(X1) f(X2) (a 2)(X1x2)，试证明(ii )若a2,令f(x) = 0 得，沪或x=ax=-当x当xa0， 2 2a、a24a+2f(x)0.2 2Ja寸a242十ya24-km2 J，十单调递减, -寸a2- 42，31.导数的几何意义函数f(x)在X0处的导数是曲线f(x)在点Rxo,f(Xo)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(xo)，相应的切线方程为yf(xo) =f(xo)(xxo).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点2. 四个易误导数公式(1) (sinx

5、)，= cosx；(2) (cosx)，= sinx；(3) (ax) =axlna(a0,且 1)；,1口(logax) =(a0,且a* 1,x0).xlna3. 利用导数研究函数的单调性(1) 导数与函数单调性的关系.1f(x)0 是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)=x3在(8,+)上单调递增，但f(x) 0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x) = 0时，则f(x)为常数函数.(2) 利用导数研究函数单调性的方法.1若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f (x)0 或f (x)0或f (X)W0在

6、单调区间上恒成立问题 来求解.4. 利用导数研究函数的极值、最值(1)若在X0附近左侧f ( x)0 ,右侧f ( x)0 ,则f(X0)为函数f(x)的极大值；若在X0附近左侧f(x)0，则f(X0)为函数f(x)的极小值.设函数y=f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条4答案(1)2x+y+ 1= 0探究提高1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标2.利用定积分求平面图形的面积的

7、两个关键点(1) 正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值烈点聚焦好类突破研热点析考法热点一导数与定积分的几何意义【例【例 1】(1)(2016 全国川卷)已知f(x)为偶函数,当xv0 时，f(x) = ln(x) + 3x,则曲线y=f(X)在点(1 , 3)处的切线方程是6(2018 邯郸调研)x2+ 2x展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S解析 (1)令x0，则一x0)，贝 Uf f (1) = 2,在点(1 , 3)处的切线方程为即

8、 2x+y+1 = 0.6因为x2+3a= 20,解得a所以曲线y=x2和圆x2+y2= 2 在第一象限的交点为(1 , 1)，所以阴影部分的面积为-4 f1(x-0 x2)dx=才稳121 132x 3x1 1= n1 0=4 4 6.6.5(2) 根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=0(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.62,因此所求概率为 =3竽2答案(1)1324n 24热点二利用导数研究函数的单调性考法 1 确定函数的单调性（区间）（1）讨论f（x）的单调性;若f（x） 0,求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(8,+

9、)，且aw0.2xx 2xxf(x) = 2e ae a= (2e +a)(e a).1若a=0,则f(x)=e2x，在(8,+8)上单调递增2 cosx【训练 1】（1）（2018 武汉调研）设曲线y=sin x在点-2, 2 处的切线与直线x+ay+1 = 0 垂直，则a=（2）（2018 成都质检）在平面直角坐标系内任取一个点x 2 2,则点P落在曲线y= 与直线x= 2,y= 2 围成的阴影区域（如图0yw2,x所示）内的概率为”,( 2 cosx) sinx( 2 cosx)( sinx)解析(1)(1)y=话4 _夕夕QCCYO_ QCQ Yi-FxFx,则曲线y=厂 T T 在点

10、兀,2 2处的切线的斜率为k1=1 1. .因为直线x+ay+1 11=0 的斜率k2= -,a又该切x+ay+ 1 = 0 垂直,所以kik2= 1,解得a= 1.Y= 2,11y=x，1x=2,解得 Sy=2,所以阴影部分的面积为2xdx= (2x Inx)1=(2X2In2)2X * In-1 1=32ln【例 2 1】（2017 全国I卷改编）已知函数f(x) = ex(exa) a2x，其中参数a 0.P（x，y）满足72若a0,则由f(x) = 0，得x= In|j82 时，f，(x)o ；当xn2,+8 |l故f(x)在在区间 hn2，,+8上单调递增.综上所述，当a= 0 时，

11、f(x)在 R 上单调递增;【例 2 2】(2018 广州质检)已知x= 1 是f(x)=(1)求函数f(x)的单调递减区间.3+a设函数g(x) =f(x) 一x，若函数g(x)在区间1，2内单调递增，求a的取值范围.Q bx解(1)f(x) = 2x+ -+ Inx，定义域(0，+8).x2b12x+xbf (x) = 2 + =x xb因为x= 1 是f(x) = 2x+ - + Inx的一个极值点,x所以f=0，即 2-b+ 1 = 0.解得b= 3,经检验，适合题意，所以b= 3.当x8,In当aa一 2e4时，f(x) 0.2 时，f(x)取得最小值，最小值为f综上，a的取值范围是

12、2e4，0.考法 2 根据函数的单调性求参数的取值范围若a0,则由得，当x= In923 32 2x+X 3所以f(x) = 2 2+ =2,x x x令f(x)0，得 0 x0),/1 ag (x) = 2+x+x2(x0).z. z.因为函数g(x)在1 , 2上单调递增，所以g(x)0在1 , 2上恒成立，1a即 2+-+-20在1 , 2上恒成立，x x所以a 2x2x在1 , 2上恒成立，所以a(2xx)max,x 1 , 2.因为在1 , 2上，(2xx)max= 3,所以a一 3.所以a的取值范围是3,+).探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)

13、0 或f(x)0(或f(x) 0，即(x2+ 2)ex 0,因为e 0,所以一x2+ 2 0,解得一 20,所以一x2+ (a 2)x+a0,111 1令g(x) =(x+ 1)申，则g(x) = 1 +(x+1)20.1g(x) = (x+ 1) 冲在(1, 1)上单调递增.g(x)vg(1)=(1+1)17=f热点三 利用导数研究函数的极值和最值 考法 1 求函数的极值、最值【例 3 1】(2018 北京卷)设函数f(x) = ax2 (4a+ 1)x+ 4a+ 3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1 ,f(1)处的切线与x轴平行,(2)若f(x)在x= 2 处取得极小值，求a的取值范围

14、.解 (1)因为f(x) = ax2 (4a+ 1)x+ 4a+ 3ex,所以f(x) = ax2 (2a+ 1)x+2ex.f (1) = (1 a)e.由题设知f (1) = 0,即(1 a)e = 0,解得a= 1.此时f(1) = 3e 0.所以a的值为 1.(2)f(x) = ax2 (2a+ 1)x+ 2ex= (ax 1)(x 2)ex.I1-,2 时，f(x)0.所以f(x)在x= 2 处取得极小值.若aw2，则当x (0 , 2)时，x 20,ax K *x 10.所以 2 不是f(x)的极小值点.,1、综上可知，a的取值范围是 2,+ .探究提高 1.本题利用导数的几何意义

15、曲线在点(1 ,f(1)处的切线与x轴平行，求a值,切记，需检验切线是否与x轴重合.2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时 也要注意是则a2小x+ 2xx+ 12(x+1) 1-_x + 1(x+1)1苛对苛对X(- 1 1,1)1)都成立.所以所以所以a的取值范围是|,+J.1若a2,则当xa求a;12极大值点还是极小值点.13求函数f(x)在闭区间a,b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练 3】 已知函数f(x) = excosxx.(1)求曲线y=f(x)在点(0

16、 ,f(0)处的切线方程；求函数f(x)在区间|0, -2 上的最大值和最小值.解(1) f(x) = ex cos x x, f(0) = 1,f(x) = ex(cosx sinx) 1, f (0) = 0,y=f(x)在(0 ,f(0)处的切线方程为y 1 = 0 (x 0)，即y= 1.(2)f(x) = ex(cosx sinx) 1,令g(x) =f(x),则g(x) = 2sin0在|0,专 上恒成立，且仅在x= 0 处等号成立,_ 一g(x)在 0,牙 上单调递减，g(x) 0,不等式f(x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围21x+ax+ 1解(1)f(x) =x+x+a=

17、x(x0).z.z.22当2 2a 4W0时，即一 2Waw2时，x+ax+10恒成立.(x) 0,贝U f(x)在(0，+m)上递增，函数无极值点当得X1a2 40 时，由x2+ax+ 1 = 0,a. a2 4a+ .a2 4=2,X2=2(X12，则X1X20,f(x)在(0,+R)上单调递增f(x)在(0，+m)上无极值点15大值1ax 1 解(1)f(x)的定义域为(0,+8),f(x) =ax=x当a0时，f(x)W0在(0,+8)上恒成立，函数f(x)在(0,+8)上单调递减f(x)在(0,+8)上没有极值点若a0 ,当x (xi,X2)时，f(x)0 ,故Xi是f(x)的极大值

18、点，X2是f(x)的极小值点综上：当a 2 时，f(x)无极值点12f(x)wg(x)等价于 Inx+ x+axwexrx2”，e Inx+x则 e Inx+xax,因此aw+3 3x2,2x2设h(x) = n“xx(xo) e 1 + 2x x ex+ Inh(x) =x2xex(x 1)+ Inx+x2 1当x (0 , 1)时，ex(x 1) + In2x+x 10,即h(x)0,即h(x) )0 0，h( (x) )单调递增因此x= 1 为h(x)的极小值点，即h(x) h(1) = e+ 1,故awe+ 1.探究提高1 求函数f(x)的极值，则先求方程f(x) = 0 的根，再检查

19、左右附近函数值的符号f(x)在方程根的2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x) = 0 根的大小或存在情况来求解【训练 4】 已知函数f(x) =ax 1 Inx(a R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;若函数f(x)在x= 1 处取得极值，x (0 , +m),f(x) bx 2 恒成立，求实数b的最161当a0 0时，由f(x)0 0,得 x0 0,得f(x)在 0,a上单调递减，在)扌，+8上单调递增,综上，当aw0时，f(x)在(0,+)上没有极值点； 当a0 时，f(x)在(0,+s)上有一个极值点./函数f(x)在x= 1 处取得极值,f (1) =

20、a 1= 0,贝 Va= 1,从而f(x) =x 1 in1 inx因此f( (x) )bx-21+厂b，人1inx戸，令g(x) = 1 +，贝 Vg(x)=z.z.令g(x) = 0，得x= e2,则g(x)在(0 , e2)上单调递减，在(e2,21 1g(x)min=g(e ) = 1 2,即卩bw1 -2ee1故实数b的最大值是 1 e曲躺总结思维升华1. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“U”连接， 而只能用逗号或“和”字隔开2. 可导函数在闭区间a,b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最 小值3. 可导函数极值的理解(1)函数在定义

21、域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；对于可导函数f(X)，“f(x)在x=Xo处的导数f(Xo)= 0”是“f(x)在x=Xo处取得极 值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点4. 求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论5. 求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性， 转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维一一直接求函数的极值或最值；也有逆向思维一一已知函

22、数的极值或最inx 21xa，1故f(x)在x=-处有极小值.ax.探规律防失误173.函数f(x) = 3x+ Inx 2x的极值点的个数是(A.0B.1C.2解析函数定义域为(0，+m), 口 ，16x2 2x+1且f (x) = 6x+x 2 =x由于x0,g(x) = 6x2 2x+ 1 的= 200 恒成立，故f(x)0 恒成立, 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点 答案 A 4.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想专题训练对接高考求落宾迎宴若、选择题1.曲线y= ex+A.y=

23、x+ 1B.y=x 1C.y= 3x+ 1D.y=x+ 1解析 求导函数y= ex+ 2,当x= 0 时，y= e0+ 2= 3，所以曲线y= ex+ 2x在点(0 , 1)处的切线方程为y= 3x+ 1.答案 C2.(2018 安徽江淮十校联考12)设函数f(x) =x 9lnx在区间a 1,a+1上单调递减,2则实数a的取值范围是(A.(1 , 2C.(a,2B.4，+a)NyD.(0,3解析易知f(x)的定义域为(，+)，且f(X)=9x-x因为函数f(x)在区间a 1,a+ 1上单调递减，所以f(x)W0在a 1,a+ 1上恒成立,即 00,a+ K 3,答案 AD.无数解得 1 0

24、的解集对应y=f(x)的增区间，f(x)v0 的解集对应y=f(x)的减区间，验证只有D 选项符合.答案 D5. (2018 郑州质检)若函数y=f(x)存在n1(n N)个极值点，则称y=f(x)为n折函数，例如f(x) =x为 2 折函数.已知函数f(x) = (X+ 1)e X(x+ 2)，则f(x)为()A.2 折函数B.3 折函数C.4 折函数D.5 折函数解析f(x) = (x+ 2)ex (x+ 2)(3x+ 2) = (x+ 2)(ex 3x 2)，令f(x) = 0，得x= 2x或 e = 3x+ 2.易知x= 2 是f(x)的一个极值点，又 ex= 3x+ 2,结合函数图象

25、，y= ex与y= 3x+ 2 有两个交点.又 e2工 3( 2) + 2= 4.函数y=f(x)有 3 个极值点，则f(x)为 4 折函数.答案 C二、填空题6. (2018 全国 n 卷)曲线y= 2ln(x+ 1)在点Q0 , 0)处的切线方程为 _ .2解析由题意得y=.1.在点O处切线斜率k=y| x=0= 2.曲线y= 2ln(x+ 1)在点(0 ,0)处的切线方程为y 0 = 2(x 0)，即y= 2x.答案y= 2xr- xei 1 (x0),7. (2018 郴州三模)已知奇函数f(x) = ix贝 U 函数h(x)的最大值为h (x)(x0 时，f(x) = 1,f(x)

26、= - 2-,xx19当x (0 , 1)时，f(x)1 时，f(x)0，函数f(x)单调递增. x= 1 时，f(x)取到极小值 e 1，即f(x)的最小值 e 1.又f(x)为奇函数，且x0 时，f(x) =h(x),- h(x)的最大值为一 (e 1) = 1 e.答案 1 e8.对于函数y=f(x)，若其定义域内存在两个不同实数X1,X2，使得xif(xi) = 1(i= 1, 2)成x立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)=乞乞具有性质P,则实数a的取值范围为 _.axxe解析 依题意，xf(x) = 1，即一=1 在 R 上有两个不相等实根,aa=xex在 R 上有两个不同的实根，令0(x) =xex,则0 (x)=ex(x+1),当x 1 时，$(x)1 时，0(x)O, 0(x)在(一 1,)上是增函数.1 一 因此0(x)极小值为0( 1)= -.在同一坐标系中作y=e e与y=a的图象,1厶、由图象知，当一a0 时，两图象有两个交点.e1故实数a的取值范围为 一e,9.