实变函数证明题大全[期末复习]

1、R'上的一列连续函数1、设E R', f (x)是E上ae有限的可测函数，证明：存在定义在 gn，使得 nim gn(x) f (x)ae于 E。证明：因为f (x)在E上可测，由鲁津定理是，对任何正整数 n ,存在E的可测子集En,1_i使得m(E En)-,同时存在定义在 R1上的连续函数gn(x),使得当x En时，有 ngn(x) f(x)所以对任意的 0,成立E|f gn| E En由此可得1 rmE| f gn | n m(E En),因此 lim mE| f gn | n 0即 gn(x)f(x),n n由黎斯定理存在gn的子列gnk,使得lim gn(x) f

2、(x) , a.e.于e kk2、设£院)是(，)上的连续函数，g(x)为a,b上的可测函数，则f (g(x)是可测函数。证明：记E1 (,),E2 a,b,由于f(x)在日上连续，故对任意实数c,E1f c是直线上的开集，设 Efc U( n, n),其中(n，n)是其构成区间(可能是有限n 1个， n 可 能 为n 可 有 为)因此E2f(g) c UE2 n g n UIgnIEzgn)因为 g 在 E2上可n 1n 1测，因此E2gn, E2gn都可测。故E f(g) c可测。3、设£(刈是(，)上的实值连续函数，则对于任意常数a, E x|f(x) a是一开集，而

3、E x| f (x) a总是一闭集。证明：若 E,则f(xo) a,因为f(x)是连续的，所以存在 0,使任意x (,),|x xo| 就有f(x) a,即任意x U(xo,，就有x E,所以U(xo, ) E,E是开集若 xn E,且 xn xo(n )，则 f(xn) a,由于 f(x)连续，f (xo) lim f(xn) a, n即xo E ,因此E是闭集。1、4、设A2n1 (o,-),A2n(o,n),n 1,2,L ,求出集列An的上限集和下限集 n证明：lim An (o,)设* (o,)，则存在N,使x N ,因此n N时，o x n,即 nx A2n,所以x属于下标比N大的

4、一切偶指标集，从而 x属于无限多An ,得x lim An,又显然lim AnnxA2n1,即0An，因此若2n 1 N 时,1人x 一，令nn0 ,此不可能，所以lim An n(0,工所以lim An(0, ) lim An若有x lim An,则存在N，使-可编辑修改-(2)可数点集的外测度为零证明：证明：设E x |i 1,2,L 对任意0,存在开区间Ii,使为h,且|l | 2所以UIi E,且 | Ii | ，由的任意性得5、设fn是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证： 显然， fn的收敛点集可表示为 E0Ex lim fn(x) lim fn(x)E lim

5、fnlim fnlim fn在E上可测。 x由fn可测lim fn及lim fn都可测，所以lim fn从而，对任一自然数k, E lim fnxlim fnx1, ，一一可测。故kE。kE lim fn limxxfn1可测。既然收敛点集Eo可测，那么发散点集E Eo也可测。EBn 且 m ( An- Bn) -0,6、设E Rq ,存在两侧两列可测集An, Bn,使得An(n一8)则E可测.证明：对于任意i ,Bnn 11Bn-EB又因为 A E , Bi EBi所以对于任意i, m*( Bnn 1E)m* (BE) m*(BiA) m(Bi A)令 i 8 ,由 m(Bi A) 一0 得

6、 m* ( nBnE) 0所以1Bn E是可测的又由于n 1Bn可测，有 Bn也是可测的所以 n 11Bn(n1BnE)是可测的。7、设在E上fn，而fngn xa.e.成立,n 1,2K,则有 设巳E fngnUEn n 1mEn0。f gnU EnUEffnmE fgnm UEnn 1mEfnmE f fn因为fnlim mEngnlim mEnfn即 gn x f8、证明：(AB)证明：因为A(A(A从而反之，对任意x (AB(x,)B (AB)从而B(x,)所以，x9、证明:证明:所以,B),即对任意B(x,),有(A B) (B(x, ) A) (B(x,)B)为无限集,A为无限集或

7、B(x, ) B为无限集至少有一个成立，即 xB , (A B) A B。综上所述，(A若 fn(x)f(x), fn(x)g(x) (x E),则由于 Ex f(x) g(x) U Ex f n 1Ex f g1.k Ex|fB) A B。1Ex 2kf (x) g (x) a.e.于 E。,1,mEx f g mExk由 fn(x)f (x) , fn(x)g(x) ( x顾 mEx f2k所以，mEx f gfn fE)得1一0,从而 mEx f (x) k12kmEx fn gmEx fn g10、证明：若 fn(x)f (x) , gn(x) g(x) ( x(x E)。证明：对任意

8、 0,由于fn(x) gn(x) f (x) g(x)所以,由 fn(x) gn(x) f (x)g(x)从而所以,fn(x)f(x) 2gn(x)Ex fn gnf gmEx fn gnf g又由 fn(x)f(x),gn(x)g(x)所以,limnmEx fn|im mEx fgn fg11、若 fn(x)f(x) ( x10。2kg(x) 0,即 f(x) g(x)a.e.于E。E),则 fn(X)gn(X)f(x) g(x)fn(x)可得,g(x)Ex fnmEx fn0,0,即E),则 fn(x)得,f (x) gn(x) g(x),|im mEx至少有一个成立。gnfn(x) gn

9、(x)f (x) (x-可编辑修改-Ex gnmEx，gn20。f (x) g(x) ( x E )。E )。0,有证明：因为|fn(X)f(X) | fn (X) | f (X)| ,所以，对任意EX| fn| |f| EX| fnf ,mEx| fn |f| mEX|fnf 。又由 fn(X)f (x) (X E )得，lim mEX| fnf 0。所以,f (x) (x E )。n11nim mEX| fn f| 0 ,即 fn (x)112、证明：R上的连续函数必为可测函数。证明：设f(x)是R1上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ,R1x f a x f(x) a,x

10、 R1是开集，从而是可测集。所以， f(x)是R1上的可测函1 13、证明：R上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设f(X)是R1上的单调递增函数，对任意实数a ,记A infx f (x) a,由单调函数的特点得，当A x| f (x) a时，xf(x) a A,)，显然是可测集；一、一 _ 一 1当A x f(x) a时，x f(x) a (A,)，也显然是可测集。故 f(x)是R上的可测函数。14、设f (x) L(E) , En是E的可测子集，且mE ，若pm mEn mE ,则lim f (x)dx nEne f(x)dx。证明：因为En是E的可测子集，且mE，所以，m(E En)

11、mE mEn,从而-可编辑修改-由 lim mEn mE得，lim m(E En) nnmE lim mEn 0。又 f(x) L(E),由积分的绝 n对连续性，lim f(x)dx f (x)dx lim f(x)dx 0。 n EEnn E En15、设f (x) L(E),若对任意有界可测函数 (x)都有e f(x) (x)dx 0 ,则f (x) 0 2£.于£。1, x Ex f(x) 0证明：由题设，取(x)0, x Ex f(x) 0,显然(x)为E上的有界可测函数，1,x Ex f (x) 0从而 e f (x) dx e f (x) (x)dx 0。所以，

12、f(x)0 a.e.于 E,即 f(x) 0 a.e.于 E。16、设 f (x) L(E) , en E f n,证明(1) lim m* 0 ; (2) lim n m* 0。证明：由 n menf (x)dx f(x)dx得，(1) lim men 0。(2)由(1),注意到enEnf(x) L(E),由积分的绝对连续性得，lim f(x)dx 0 ,从而注意到 nen0 n menf (x)dx ,el所以，lim n men 0。 n17、若f(x)是a,b上的单调函数，则f(x)是a,b上的有界变差函数，且bV(f) |f(b) f(a)a证明：不妨设f (x)是a,b上的单调增函

13、数，任取a,b的一个分割T : a x0x1Lxi 1 xi Lxn bnnf(x) f(x)f(x) f(x 1)f(xn) f(x0)i 1i 1f(b) f(a) |f(b) f(a)|,bn所以，V(f) sup I f(xi) f (xi 1)f (b) f (a) oa 1 i 118、若f (x)在a,b上满足：存在正常数 K ,使得对任意x,x2 a,b,都有f (x1)f %) K x1 x2 ,b则 (1) f (x)是a,b上的有界变差函数，且 V(f) K(b a)；a(2) f (x)是a,b上的绝对连续函数。证明：(1)由题设，任取a, b的一个分割f (Xi)T

14、: a x0x1LXi i 为 LXn bnf (Xi i) K Xii 1Xi inK(Xi X i) K(b a),i 1b所以，f(X)是a,b上的有界变差函数，且 V(f) ansup f (X) f (X 1)T i 1K(b a)。(2)在a,b内，任取有限个互不相交的开区间(Xi,yi), i 1,2,L,n。由于f(X) f(yi)Xi于是，对任意 0,取 一，则当Kyi时，有f(Xi) f(yi)Xiyi即f (x)是a,b上的绝对连续函数。19、若f (x)是a,b上的绝对连续函数，则f (x)是a,b上的有界变差函数。证明：由f (x)是a,b上的绝对连续函数，取1 ,存

15、在 0 ,对任意有限个互不n相交的开区间(X,y。，i 1,2,L ,n，只要 Xi yi i 1n时，有 |f(x) f(yi) 1。i 1现将a,b等分，记分点为a a0 a1 Lai 1aiL an b ,使得每一等份的司n长度小于。易得V(f) 1,即f (x)是41,a/上的有界变差函数。又a,b Uai 1 ,ai,ai 1i 1,即f (x)是a, b上的有界变差函数。bn 马所以，V(f) V(f) nai 1 ai 120、若f (x)是a, b上的有界变差函数，则x(1)全变差函数 V(f)是a,b上的递增函数； ax(2) V( f) f (x)也是a,b上的递增函数。a

16、x2证明：(1)对任意xi, x2 a,b , x2 xi ,注意到V( f) 0,有 xix14V(f) V(f) V(f) V(f),aa为ax即V(f)是a,b上的递增函数。 a至(2)对任意 x1,x2 a,b , x2 x1 ,注意到 V(f)f (xi) f(xi1)，有为X?xx2V(f) f(x2) V(f) f(x1) Y(f) f(x2) f(x1)V(f) |f(x2) f(x1)0,x1x即V (f) f (x)是a,b上的递增函数。af(x)可表示成a,b上的21、证明Jordan 分解定理：f (x)是a, b上的有界变差函数两个增函数之差。证明：充分性”显然成立。下证 必要性”。xxxx事实上，f(x) V(f) V(f)