广东省深圳市南山区2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上） 期末数学试卷（理科）一 选择题：本大题共12小题,每小题5 分 ,满分60分 在每小题给 出的四个选项中 有且只有一项是符合题目要求的1 （ 5 分）设命题P： ? x R,x2+2 0 则P为（ ）ABCD ? x R,x2+2 02 （ 5分）等差数列an前n 项和为Sn,公差d= 2,S3=21,则 a1的值为（）A 10 B 9 C 6 D 53 （ 5 分） “ ”是 “”的（）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 不充分也不必要条件4 （ 5 分）已知向量=（ 2,1,4） , =（ 1,0,2） ,且+ 与 k 互

2、相垂直 ,则 k 的值是（）5 （ 5 分）在ABC中 ,若 AB= ,BC=3, C=120,则 AC=（ ）A 1 B 2 C 3 D 46 （ 5 分）若双曲线=1 的一条渐近线经过点（3, 4） ,则此双7 （ 5分）若a,b均为大于1 的正数,且ab=100,则 lga?lgb的最大值是A、 0 B、 1 C、 2 D、8、 （ 5 分）已知数列an： a1=1,则 an=（）A、2n+13B、2n1C、2n+1D、2n+279、 （5 分）若直线2ax+by2=0（a0,b0）平分圆x2+y22x4y6=0,则+ 的最小值是（）A、 2B、 1 C、 3+2D、 3 210、 （

3、5 分）设 x,y 满足约束条件,则z=x 2y 的取值范围为（）A、 （3,3）B、 3,3C、 3,3）D、 2,211、 （ 5 分）如图过拋物线y2=2px（ p 0）的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A,B,C,若 | BC| =2| BF| ,且 | AF| =3,则拋物线的方程为A、 y2= x B、y2=3xC、y2= xD、y2=9x12、 （ 5 分）在锐角ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,则b 的值为（）A、B、C、D、二、填空题（每题5 分 ,满分20 分 ,将答案填在答题纸上）13、 （ 5 分）若ABC中 ,AC= ,A=45 ,

4、C=75 ,则 BC= 、14、 、 （ 5 分）已知数列 an 满足：, 且a2+a4+a6=9,则的值为、15、 （5 分）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为N,若xN 是的必要条件,则 a 的取值范围为、16、 （ 5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1 且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若=2,则椭圆的离心率为、三、 解答题 （本大题共6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（、 10分）已知正项数列an的前n项的和为Sn,且满足：,（ n N+）（ 1）求a1,a2,a3的值（ 2）求数列 a

5、n的通项公式、18、 （ 12 分） 在ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bcosC=（ 2a c） cosB、（ 1）求角B 的值；（ 2）若a,b,c成等差数列,且 b=3,求 ABB1A1 面积、19、 （ 12 分）已知递增的等比数列 an 满足：a2?a3=8,a1+a4=9（ 1）求数列 an的通项公式；（ 2） 设数列,求数列bn的前n 项的和Tn、20、 （ 12 分）已知点A（,0） ,B（,0） ,P是平面内的一个动点,直线PA与 PB交于点P,且它们的斜率之积是、（ 1）求动点P 的轨迹 C的方程；（ 2）设直线l： y=kx+1 与曲线C交于M、

6、N 两点,当线段MN 的中点在直线x+2y=0上时,求直线 l 的方程、21、 （ 12 分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形 ,AF=2FD, AFD=90 ,且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60、（ 1）证明平面ABEF平面EFDC；（ 2）证明：CD EF（ 3）求二面角E BC A的余弦值、22、 （ 12 分）已知O 是坐标系的原点,F是抛物线C： x2=4y的焦点,过点 F的直线交抛物线于A,B两点,弦 AB的中点为M, OAB的重心为G、（）求动点G 的轨迹方程；（）设（）中的轨迹与y 轴的交点为D,当直线AB与 x轴相交时

7、,令交点为E,求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程、2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上） 期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5 分 ,满分60分、在每小题给出的四个选项中、有且只有一项是符合题目要求的、1、 （ 5 分）设命题P： ? x R,x2+2 0、则P为（ ）A、B、C、D、 ? x R,x2+2 0【解答】 解：命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,即P：,故选： B2、 （ 5分）等差数列an前n 项和为Sn,公差d= 2,S3=21,则 a1的值为（）A、 10 B、 9 C、 6 D、 5【解答】 解：公差d= 2

8、,S3=21,可得3a1+ 3 2（2） =21,解得a1=9,故选： B、3、 （ 5 分） “ ”是 “”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、不充分也不必要条件【解答】 解：当+2k 时 ,满足但 不一定成立,即充分性不成立,当时 , 成立 ,即必要性成立,则 “ ”是 “ ”的必要不充分条件,故选：C4、 （ 5 分）已知向量=（ 2,1,4） , =（1,0,2） ,且+ 与 k 互相垂直 ,则 k 的值是（）A、 1B、C、D、解： + =（ 3,1,6） ,k =（ 2k 1,k,4k 2）+ 与 k 互相垂直, 3（ 2k 1） +k+6（ 4k 2） =0

9、,解得 k= ,故选：D、5、 （ 5 分）在ABC中 ,若 AB= ,BC=3, C=120,则 AC=（ ）A、 1 B、 2 C、 3 D、 4【解答】 解：在ABC中 ,若 AB= ,BC=3, C=120,AB2=BC2+AC2 2AC?BCcos,C可得：13=9+AC2+3AC,解得 AC=1或 AC= 4（舍去）、故选：A、6、 （ 5 分）若双曲线=1 的一条渐近线经过点（3, 4） ,则此双曲线的离心率为（）A、B、C、D、【解答】 解：双曲线=1 的一条渐近线经过点（3, 4） ,可得3b=4a,即 9（ c2 a2） =16a2,解得 = 、故选：D、7、 （ 5分）若

10、 a,b均为大于1 的正数,且 ab=100,则 lga?lgb的最大值是（）A、 0 B、 1 C、 2 D、【解答】 解：a 1,b 1, lga 0,lgb 0 lga?lgb（） 2=（） 2=1当且仅当a=b=10时等号成立即 lga?lgb的最大值是1故选B、8、 （ 5 分）已知数列an： a1=1,则an=（）A、2n+13B、2n1C、2n+1D、2n+27【解答】 解：由,得 an+1+3=2（ an+3） , a1+3=4 0,数列an+3是以4为首项,以 2为公比的等比数列则,、故选：A、9、 （5 分）若直线2ax+by2=0（a0,b0）平分圆x2+y22x4y6=

11、0,则+ 的最小值是（）A、 2B、 1 C、 3+2D、 3 2【解答】 解： 由题意可得直线2ax+by 2=0（ a 0,b 0） 经过圆x2+y2 2x 4y 6=0 的圆心（1,2） ,故有 2a+2b=2,即 a+b=1、再根据+ =+=3+ + 3+2=2+2 ,当且仅当=时 ,取等号,故 + 的最小值是3+2 ,故选：C、10、 （ 5 分）设 x,y 满足约束条件,则z=x 2y 的取值范围为A、 （3,3）B、 3,3C、 3,3）D、 2,2【解答】 解：由z=x 2y得 y= ,作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y= ,的截距最小,由图象可知当直线y=

12、 ,过点C（ 3,0）时,直线y=此时 z最大 ,代入目标函数z=x 2y,得 z=3,目标函数z=x 2y的最大值是3、当直线 y=,过点B时 ,直线y= 的截距最大,此时 z最小 ,由,得,即 B（ 1,2）代入目标函数z=x 2y,得 z=1 2 2= 3目标函数z=x 2y的最小值是3、故3 z 3,11、 （ 5 分）如图过拋物线y2=2px（ p 0）的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A,B,C,若 | BC| =2| BF| ,且 | AF| =3,则拋物线的方程为C、 y2= x D、 y2=9x解：如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设 | BF| =a

13、,则由已知得：| BC| =2a,由定义得：| BD| =a,故BCD=30,在直角三角形ACE中 , | AF| =3,| AC| =3+3a, 2| AE| =| AC| 3+3a=6,从而得a=1, BD FG,求得 p= ,因此抛物线方程为y2=3x,故选： Ba,b,c,若12、 （ 5 分）在锐角ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为,a=2,则 b 的值为（）A、B、C、D、【解答】解：在锐角ABC中 ,sinA=,S ABC= , bcsinA= bc = , bc=3,又 a=2,A是锐角, cosA= = ,由余弦定理得：a2=b2+c2 2bccosA,即（b+c）

14、 2=a2+2bc（ 1+cosA） =4+6（ 1+ ） =12, b+c=2 由得：,解得b=c= 、故选A、二、填空题（每题5 分 ,满分20 分 ,将答案填在答题纸上）13、 （ 5 分）若ABC中 ,AC= ,A=45 , C=75 ,则 BC= 、解： AC= ,A=45,C=75,B=180 A C=60,可得：BC= = 、故答案为：、14、 、 （ 5 分）已知数列 an 满足：, 且a2+a4+a6=9,则的值为 5 、【解答】解：由,得 log3（ 3an） =log3an+1, an+1=3an,且 an 0,数列 an是公比为3的等比数列,又 a2+a4+a6=9,=

15、3 、=、故答案为：5、15、 （5 分）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为N,若xN 是的必要条件,则 a 的取值范围为、【解答】 解：若x N 是的必要条件,则 M? N,若 a=1 时 ,不等式（x a） （ x+a 2）0的解集N=?,此时不满足条件、若 a 1,则N=（ a,2 a） ,则满足,得,此时 a,若 a 1,则 N=（ 2 a,a） ,则满足,得,此时a,综上,故答案为：16、 （ 5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1 且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若=2,则椭圆的离心率为、解：如图,由题意,A（c, ）

16、,=2,且 xC c=c,得 xC=2c、 C（ 2c, ） ,代入椭圆,得,即5c2=a2,解得e= 、故答案为：、三、 解答题 （本大题共6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、（ 10分） 已知正项数列an的前n项的和为Sn,且满足：,（ n N+）（ 1）求a1,a2,a3的值（ 2）求数列 an的通项公式、【解答】 解： （ 1）由,取 n=1,得, an 0,得 a1=1,取 n=2,得,解得a2=2,取 n=3,得,解 a3=3；（ 2）+an,得（ an+1+an） （ an+1 an 1） =0, an 0, an+1+an 0,则 an+1

17、 an=1, an是首项为1,公差为 1 的等差数列, an=1+（ n 1 ）1=n、18、 （ 12 分） 在ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bcosC=（ 2a c） cosB、（ 1）求角B 的值；（ 2）若a,b,c成等差数列,且 b=3,求 ABB1A1 面积、【解答】 （本题满分为12 分）解： （ 1）bcosC=（ 2a c） cosB,由正弦定理sinBcosC=（ 2sinA sinC） cosB,sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ,（ 2 分）sin（ B+C） =2sinAcosB , （ 3 分） 又 A+B+C= ,

18、sinA=2sinAcosB , （ 4 分）,又 B 为三角形内角 （ 5 分） （ 6 分）2）由题意得2b=a+c=6, （ 7 分）（ 9 分）ac=9 （ 10 分） （ 12 分）19、 （ 12 分）已知递增的等比数列 an 满足：a2?a3=8,a1+a4=9（ 1）求数列 an的通项公式；（ 2） 设数列,求数列bn的前n 项的和Tn、【解答】解： （ 1）由题意,得 a2a3=a1a4=8,又 a1+a4=9,所以a1=1,a4=8,或a1=8,a4=1,由 an是递增的等比数列,知 q 1 所以a1=1,a4=8,且 q=2,即 an=2n 1；（ 2）由（1 ）得,所以

19、所以,两式相减,得,得、20、 （ 12 分）已知点A（,0） ,B（,0） ,P是平面内的一个动点直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是、（ 1）求动点P 的轨迹C的方程；（ 2）设直线l： y=kx+1 与曲线 C交于 M、 N 两点 ,当线段 MN 的中点在直线 x+2y=0上时,求直线l 的方程、【解答】 解： （ 1）设,由由,整理得+y2=1,x（ 2）设MN 的中点坐标为（x0,y0） ,联立得（2k2+1） x2+4kx=0,由 x0+2y0=0,得 k=1,所以直线的方程为：y=x+121、 （ 12 分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形 ,AF=2FD, AFD=90 ,且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60、1）证明平面ABEF平面 EFDC；2）证明：CD EF3）求二面角E BC A的余弦值、证明： （ 1）ABEF为正方形, AF EF、AFD=90 , AF DF, DF EF=F, AF平面 EFDC, AF? 平面 ABEF,平面ABEF平面 EFDC、（ 2）由AF DF,AF EF,可得DFE为二面角DAFE的平面角,由 CE BE,BE EF,可得CEF为二面角CBEF 的平面角、可得DFE= CEF=60、 AB EF,AB?平面