计算题第1题12分第2题10分

1、计算题1、在整数环Z中，令I = 5 k|k Z (1) 确定商环Z/1中的元素。(2) Z/I是不是一个整环？求Z/I的特征。2、确定3次对称群S的所有子群及所有正规子群3、求模6的剩余类环Zb的所有理想。4、在10次对称群Sio中，(T(123456789 10J0 342578691(1) 将c表成一些不相交轮换之积。(2) 求 | c |。5、设G= 2 T|m, n Q是关于普通数的乘法构成的群，f : 21 -7n是G到G的一个同态映射，求f的同态核Kerf。&设(乙6,+, 是模16的剩余类环，求乙6的所有理想，求乙6的所有非零理想的交。7、 在7次对称群S7中，将(12

2、)(2347) -1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。8、 在高斯整数环 Zi= a + bi | a, b Z,i 2=-1中,(1)求主理想(1 + i)，(2)求9、给出整数加群Z的所有自同构10、设R=Z是模4的剩余类环,确定乙的所有理想。11、 设R=Zi= a + bi | a, b Z, i 2=-1是高斯整数环,试求Zi的所有单位。12、 设G= 2? | m, n Q是关于通常数的乘法作成的群,令f: 2丁一 2m(1) 验证f是G到G的同态映射，(2) 确定Kerf。13、找出三次对称群S3的所有子群；找出S3关于子群H=(1),(12)的右陪集分 解。14、在整数环

3、Z中，试求出所有包含30的极大理想。15、求出模6的剩余类加群Zb的所有自同构。16、( 10分)求模12的剩余类加群(乙2，+)的所有自同构映射17、设zij U :a bi |a,b Z,i -1是高斯整数环，求zi 1的商域18、求数环Z J5=a+b丽a,b EZ的全部自同构映射。19、 求高斯整数环 Zi= a+bi |a,b wZ,i 2 =-1的主理想(1- i)以及剩余类环Zi.(1-i)20、设Z8是模8的剩余类环,在Z8中求x 3的根.21、在3次对称群S3中,令H=(1),(12),试确定H在S3中的左陪集分解式。22、确定高斯整数环Zi的全部自同构映射.23、试写出模1

4、2的剩余类加群G=( Z12,+)的所有子群及G的所有生成元。24、设Z是整数环，求(4, 6)=?25、找出模8的剩余类环Z(8)的一切非零理想，并求它们的交。26、 设G=2m5n |m,n丘Q是关于普通的数的乘法作成的群,f: 2m5 5n是G到G的一个同态映射,求f的核kerf。27、设(Z12,+,町是模12的剩余类环,求乙2的一切理想,以及一切非零理想的交。28、试写出三次对称群的所有不变子群。29、 已知I =6k|k Z是偶数环R的理想，求商环的所有元素。30、求数环ZJ=7=£+bT7|a,bw Z 的所有单位。31、确定模10的剩余类加群的所有子群。32、设G是一

5、个阶为15的交换群。(1) 证明G是循环群。(2) 求出G的所有子群。33、 若 S3是 3 次对称群，C(S3)x* S3,-厂 S3,xy = yx?(1) 求 C(S)。(2) 当n3时，C (Sn)呢？34、在 3 次对称群 S3中，H= (1)，(23)。(1) 试给出H在S中的左陪集分解式(2) H是不是S3的正规子群？35、 设G是一个21阶交换群，H= x|x G,x1e证明：H乞G。(2)确定出Ho36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z) o37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z6)o38、在整数加群 Z 中，S= 2004,2：32，求<S>o39、

6、设G=va>是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。40、确定3次对称群S3的所有正规子群。41、设 N7, | GN 1=12, g EGg =14，在% 中求<gN>o42、在5次对称群S5中，设置换二=(12345)(1 )求置换：，使2二:二o(2)求置换，使4丁o43、 在S9中，b = (1965) (1487) (1923)，将表成一些不相交轮换之积，且求CT o44、 在 S8 中，H=v>,= (1487) (1865) (134)，试求G: H。45、求Z到Zm的所有同态映射。46、求Zm到Z的所有同态映射。47、求Z4到Z6的所有同态映射。48、

7、设 H G, N G, H N,令 f : G G N , g _ gN,(-g G)。(1) 证明：f是群 Gh 到GN 的一个同态映射。(2) 计算 Kerf o49、 设 G= 3m, nQ ， G对通常数的乘法构成群。令f : G G,3m5n 3m(m, n Q),求Kerf50、设G与H是两个群，| G=100，| H|=21，f是G到H的同态映射，求f。51、求模12的剩余类环乙2的全部子环。52、求模8的剩余类环Zs的全部理想。53、若 Zi Ja bi | a,b Z,i - . 一11(1) 求Zi的所有单位。(2) Zi(i)是不是域？54、求模24的剩余类环乙4的所有单

8、位。55、设 R=n m | m, nZ 。(1) 证明R是有理数域Q的子环。(2) 求R的所有单位。56、求环M (Z2)中的所有可逆元。57、求环M (乙)中的所有可逆元。58、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。59、 设Zi为高斯整数环，1=( 1+2i),试写出I的元素的明显表达式，并求商 环Z叫。60、试确定乙2的所有商环。了3 b、61、设R =|a,b, cZ >， R对通常矩阵的加法与乘法构成环。令1.2 OJ"0 X、I =| Z >人0 0丿J(1) 证明I是R的一个理想。(2) 求I的所有理想。62、求出整数环Z的一切自同态，并求出它们的每

9、一个同态核。63、设 R=3zJ3k|k Z ?是环，I=( 9)(1)求R ，(2)R是不是一个域？64、 在整环 Z、2 = “a .2 |a,b 中，(1) 求(2)(2) ( 2 )是不是Z 2的一个极大理想?65. 设Zia bi|a,bZ ?是高斯整数环，试确定商环Zl(2 .)的元素。66. 在3次对称群S3中，g=(23), g是由g诱导的S3的内自同构，求.g。67. 设R是整环，I是R的理想，举例说明R|不一定是整环，给出R|是整环的 充要条件。68. 举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条 件。69. 求模3的剩余类加群Za的自同构群。70.

10、设-：i.当7满足什么条件时，；二关于剩余类的乘法构成群？71. 求剩余类加群门十中每个元素的阶。72. 找出 的所有子群.73. 找出丄的所有生成元.74. 找出群 一的全部自同构映射,即求出全部的 :?,使得75. 设cr=/123456T= / 1 2 3 4 5 6 >214 3 6 5 /I 5 3 1 6 2 4 J计算乘积7-1,-.76. 设=/1234567T=( 1 2 3 4 5 614617523 /I 3 4 5 7 1 2 6 J(1) 试确定和i的奇偶性；(2) 分别将一-和丁与表示为不相交轮换之积；(3) 计算-二,并将之表为不相交轮换之积.77. 设；(

11、1 3 5 2)(1 4 7 6),(2 5 6 4)(3 7).(1) 分别确定口和丁的奇偶性；(2) 将和I改写为一般置换的形式78. 写出匕与X的所有置换.79. 在中找出所有不与(1 2 3)可交换的元素.80. 在丄中，找出所有与(1 2 3 4)可交换的元素.81. 设按顺序排列的13张红心纸牌A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为6 10 A Q 9 K J 7 4 8 3 2 5试求出第一次洗牌后牌的顺序.83. 设二 °,求宀厂84. 设；丿，= 求'J，-'(这里和二'分别表示全体非零 复数及

12、全体非零实数的集合).85. 设一是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群.对下列映射',哪些 是 '到的同态映射？对于同态映射',找出：川闫以及玄'-.(1) hi|h|；(2) him (口老±1)；(3)1I K!：；十丘.86. 试决定三次对称群【；的所有同态象.(同构的同态象看作同一个同态象.)87. 设"一"Jl乩._是由六个置换(1), (1 2 3)(4 5 6), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8), (1 2 3)(4 5 6)(7 8), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8)所组成的群(1) 写出上的

13、各元素的稳定子和轨道；(2) 写出一的各元素的不动元素.88. 计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.89. 用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各 8块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？假定小正方形塑料板两面颜色相同90. 试求：中的所有零因子与可逆元，并求每个可逆元的逆元素91. 求线性方程-,在环 J上的解.92. 求线性方程丄； 在环d !上的解.93. 求线性方程 W一】=一 ,在环.上的解.94. 求线性方程/ - - :一,在环：上的解.95. 分别求线性方程组5工+切=0 | 2工一旳=9在r, ，：,:=中的解.96. 求二次方程厂二匚在环:上的解.97. 求二次方程

14、二 *在环：二上的解.98. 求二次方程在环：上的解.99. 求二次方程 二：在环：-上的解.100. 计算多项式,', 在环上的乘积.101. 计算多项式h二 -,工工亡十，在环二丄上的乘 积.102. 计算多项式-十二 心n-】,在环上的乘积.103. 计算多项式张)=加-3球十1+1, ffx) = 2x3 + 3x-2,在环ZBx上 的乘积.104. 在四元数体中，设 =.右+弘，0=1十，+右一加.(2) = 2 -H -I也 (3 = 3 + 2i j.求二-',二-',匚二-',I .105. 设集合(1) 求的所有理想.(2) 求_的极大理想与素

15、理想.106. 试求：一的所有理想与极大理想.107. 设一<J,上：刁都是整数环的理想,试求(1)厂】.匚' <.108. 理想(15,24) 是怎样的主理想？109. 在-丨：1中，-= ,求丨-.,的元素个数.110. 3.下列映射哪些是环同态-'：- -. , ' . 1 1 ；： : :i | = '-i ；(3) -':- - 1 "一；(4) ?5, -':工二 - '：.111. 对=：七-,求二-,使得；、；=" ”.(1) 1一，一 (2) .J., 一 丄_.112. 对多项式f ：，

16、门：，求:.,r 使得)/(1) +叽咖=朋)(1) /) = 口 + 工 + 1, p(h) = w十=十 1,才疋 Q 工.(2) f(H)= Z 十 m, £F(z =x3 + x +1, f(xg(x)e Zex(3) f(x) = x-x + 1, g(H)= H? + Hl,兀c),g仗) Z?x.113. 对' -，求并求-,使得 J/. = ' ' i'.(1) fl = 31-12i, b=17-8i.(2) o = 9 + 12 i, 6 = 4 + 8 i.114. 判别集合岛川/)在上是否线性相关？115. 构造模2的高斯整数环

17、 - I的乘法表.这个环是域吗？116. 设丁是4阶有限域,厂确定下列系数在 F上的多项式在域m中是否可约.：.：.一: (2):.-：117. 设m是九个元素的域.求中的矩阵/I 十i 00A= 02i01l + 2i的逆矩阵一丄118. 构造含4个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表119. 给出下列四个四元置换34、It 2 =34丿4'3广1<22 3 4)(1戶4 =1 3 4 丿22 3 4、组成的群G,试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及匚2,二二二；和G的 所有子群。120. 设Z6 -01丨2卩3, 4丨畀是模6的剩余类环，且f(x), g(x)X】。如果

18、f (x) = 3X3 5 k 2 1、g(x) = 4 X2 5 X 3 1,计算 f(x) g(x)、f (x) - g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。121. 设M是一个非空集合，2M是M的幕集(M的子集的全体称为M的幕集)，问 2M关于集合的并U是否构成群？为什么？122. 找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.123.设Rj 0|aZ3 0丿关于矩阵的加法和乘法构成一个环，0I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成?124. 假定R是模8的剩余类环，在Rx 1里计算f (x) g(x)与f (x)g(x)并求出它们的次数，其中 f(x)- 3x3

19、5 x - 4， g(x) - 4 k2 - x 3125. 对 x=1-2i j-2k，y=2-i 2j-k，求 xy，yx 和 x126. 设4=(6) , I2 =(15)是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1. Il 丨2 ；2. I ! T2 ；3. Ii I2127. 设有置换心-(1345)(1245) , , (234)(456) S6。1 .求;.和.'二；2 .确定置换二和匚的奇偶性。128. 求剩余类加群乙2中每个元素的阶。129. 设A, B, C是G的子群，下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。1) A_. B = A_. C= B =C;2)

20、A - B = A - C = B = C;3) AB =AC 二 B =C;4) A(B C)二 AB AC130. 写出Q(、2，'-3)元素形式，并找出QJ2，、'3)所有子域。131. 设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.132. 求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是 Z6的理想？133. 设Z是整数环，则 n、(2,3)是Z的怎样一个理想？ (2) U 是Z 的理想吗？为什么？134. 设I丄为整数加群，X =、'、二,求Z : H = ?135. 找出S3的所有子群。136. 求Z18的所有子群。/ 1 2 3 4 5 6 7 A137. 将：；-： 11 '表为对换的乘积.138. 设按顺序排列的13张红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问：再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的？ 139. 在 Z6 中，计算:(1)- -;(2)- -; (3)' ' ;