新人教版八年级上册数学[等边三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

1、精品文档用心整理新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30角的直角三角形的一个主要性质3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】【 389303 等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 .要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（

2、1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（ 2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（ 3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形要点四、含30的直角三角形含 30的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、 （ 2014 秋 ?崇州市期末）如图，已知ABC 为等边三角形，D为 BC延长线上的一点，CE平分ACD， CE=BD，求证：ADE 为等边三角形【思路点拨】由条件可以容

3、易证明ABDACE，进一步得出AD=AE，BAD= CAE，加上 DAE=60，即可证明ADE 为等边三角形【答案与解析】证明：ABC为等边三角形，B= ACB=6，0AB=AC，即ACD=12，0 CE平分ACD，1= 2=60，在 ABD和 ACE中， ABDA CE（ SAS） ， AD=AE， BAD= CAE，又BAC=6，0DAE=6，0ADE为等边三角形【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件举一反三：【变式】等边ABC， P 为 BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上， 使三角板绕P 点旋转如图， 当 P为 BC的

4、三等分点，且 PE AB时，判断 EPF的形状 .【答案】解： PE AB，B 60 ，因此直角三角形PEB中，BE 1 BP 1 BC PC，23BPE 30，EPF 60， FP BC，BC 60，BE PC，PEBFPC 90，BEPCPF， PE PF，EPF 60，EPF是等边三角形2、已知：如图，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度数.证明：在ABC中，AB AC，ABC 60ABC为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） AC BC，AECB 60在 ADC 和 CEB中AC CB （已证 ）AECB（已证）AD CE （已知 ）ADC CEB （

5、 SAS）12（全等三角形对应角相等）DPB23（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）DPB13ACBDPB 60【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】 （ 2014 秋 ?黔西南州期末）ABC 为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=C，N BN与 AM相交于Q点，AQN等于多少度？【答案】解：证法一 ABC为正三角形ABC= C= BAC=6，0AB=BC在AMB和BNC中， AMB BNC（ SAS） ，ANB= C+ NBC=60 + NBC， MAN= BAC

6、MAB=60MAB，又NBC= MAB（全等三角形对应角相等），ANB+ MAN=12，0又ANQ+ MAN+ AQN=18，0AQN=18 0ANBMAN， AQN=18（ 0ANB+ MAN） ，=180120 =60， BOM = AQN=6（全等三角形对应角相等）0证法二 ABC为正三角形ABC= C= BAC=6，0AB=BC在AMB和BNC中AMBBNC（ SAS）ANB= C+ NBC=60 + NBC MAN= BAC MAB又NBC= MAB（全等三角形对应角相等）ANB+ MAN=12 0又ANQ+ MAN+ AQN=18 0AQN=18 0ANBMAB AQN=18（ 0

7、ANB+ MAN）=180120 =60、 （ 1 ）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和 DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和 BD，相交于点E，连接BC，求AEB的大小；2）如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小【思路点拨】（ 1 ） 由于OCD和OAB都是等边三角形，可得OD OC OB OA， 进而求出BDA与CAD的大小及关系，则可求解AEB（2）旋转后，BOD与AOC仍然保持全等，ACOBDO，AEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO120，从而得到AEB的值

8、.【答案与解析】证明： （ 1 ） O是 AD的中点， AO DO又等边AOB和等边COD AO DO CO BO，DOCBOCAOB 60 CAOACOBDODBO30AEBBDO CAO 60（ 2） BODDOCBOC，AOC AOBBOCBODAOC在BOD与AOC中，BO AOBOD AOCDO COBOD AOC（ SAS）ACO BDO AED ACO DCO CDBBDO 60CDB 60CDO 6060120AEB 180AED 60 .【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知ABC

9、和CDE都是等边三角形，AD、 BE交于点F，求AFB 的度数 .【答案】解：ABC和CDE都是等边三角形， AC BC， CE CD，又ACBBCDECDBCD，即ACDBCE，ACDBCE，CADCBE，设 AD与 BC相交于P点，在ACP和BFP中，有一对对顶角，AFBACB60类型二、含30的直角三角形4、 （ 2016 春龙口市期末）如图，E 是AOB的平分线上一点，EC OB， ED OA， C、D 是垂足，连接CD交 OE于点F，若AOB=60（ 1 ）求证：OCD是等边三角形；（ 2）若EF=5，求线段OE的长.【答案与解析】解： （1 ）点E 是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在 Rt ODE和 Rt OCE中，DE CEOE OE Rt ODE Rt OCE（ LH） OD=O，CAOB=60， OCD是等边三角形；（ 2） OCD是等边三角形，OF是角平分线， OE DC，AOB=60，AOE= BOE=30，ODF=60， ED OA，EDF=30， DE=2EF=10， OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质， 30的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键