导数与函数的极值、最值

1、6导数与函数的极值、最值【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题I题型1|?考法1根据函数图象判断函数极值的情况【例11 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f' (x),且函数y= (1x)f' (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D?考法2求已知函数的极值【例2】已知函数f(x) = (x-2)(ex-ax),当a>0时,讨论f(x)的极值情况.解(x)=(ex

2、ax)+(x 2)(exa)= (x1)(ex 2a),. a>0,由 f' (x)= 0得 x= 1 或 x = In 2a.当 a = e寸，f' (x) = (x-1)(ex-e)>0, f(x)单调递增,故f(x)无极值.当0<a<e时，ln 2a<1,当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:x( 一 0°, in 2a)In 2a(In 2a, 1)1(1, +°0)f' (x)十0一0十f(x)极大值极小值故 f(x)有极大值 f(ln 2a)= a(ln 2a-2)2,极小值 f(1)

3、=ae.当a>|1时，ln 2a>1,当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:x(-00, 1)1(1, In 2a)In 2a(In 2a, +00)f (x)十0一0十f(x)极大值极小值故 f(x)有极大值 f(1)=a e,极小值 f(ln 2a) = a(ln 2a-2)2.综上，当0<a<，时，f(x)有极大值a(ln 2a 2)2,极小值a-e；当a = e时，f(x)无极值；当a>e时，f(x)有极大值a-e,极小值一a(ln 2a 2)2.?考法3已知函数极值求参数的值或范围【例3】(1)已知f(x) = x3+3ax2+b

4、x+a2在x=1时有极值0,则a b= (2)若函数f(x) = exaln x + 2ax1在(0, +)上恰有两个极值点，则 a的取值 范围为()eA.(e, e)B. 0°, 2-1C. 8, 2D. (-00, e) (1)-7 (2)D 方法总结1.利用导数研究函数极值问题的一般流程求闫父 求导f'- I 用摄值被，俏一方程|处方的情况i一一左右尸的卦中 寿关于一.方，(不一制T, 丁，版值I一 落)2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条

5、件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,踪炼刊(1)已知函数f(x) = x(x c)2在x = 2处有极大值，则实数c的值为()A. 2或 6B. 2C. 3D. 6(2)(2019广东五校联考)已知函数f(x) = x(ln xax)有极值，则实数a的取值范围是()A1Cc1A.-00,2B.0,2八1rC1c.-0°,2d.0,2D (2)A利用导数解决函数的最值问题I题型2|【例4】 已知函数f(x) = ln x ax(aC R).(1)求函数f(x)的单调区问；(2)当a>0时,求函数f(x)在1 , 2上的最小值. 一， 1， 一解(1)f (x) =

6、-a(x>0), x1当a00时，f (x) = a>0,即函数f(x)的单调递增区可为(0, +°°). x当a>0时，令f' (x) = 1 a = 0,可得x=1， xa1 .1 ax当 0<x<一时，f (x) =>0;ax当 x1 时，f' (x) = 1ax< 0, ax1故函数f(x)的单调递增区间为0,-,a1单调递减区间为",+OO . a综上可知，当a00时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +00)；1当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为0, 1 , a1单调递减区间为1,

7、 +°0. a ,1(2)当0<-&1,即a> 1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最 a小值是 f(2) = ln 2-2a._ . 111 .当,>Z,即0<a01时，函数f(x)在区间1 ,2上是增函数，所以f(x)的最小值 a2是 f(1) = a.当1<1<2,即1<2<1时，函数f(x)在1, 1上是增函数，在1, 2上是减函a 2aa数.又 f(2) f(1) = ln 2-a, . 1所以当a<ln 2时，取小值是f(1) = a；当 ln 2&a<1 时，最小值为 f(2

8、)=ln 2-2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1) = a；当aln 2时,函数f(x)的最小值是f(2) = ln 2-2a.方法总结 求函数f x在a, b上的最大值、最小值的步骤1求函数在a, b内的极值.2求函数在区间端点的函数值f a , f b.3将函数f x的极值与f a , f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值. 跟踪练且(2017北京高考)已知函数f(x) = excos x x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；一 . . 九，一一，一一，(2)求函数f(x)在区间0, 2上的最大值和最小值.解(

9、1)因为 f(x)= excos xx,所以以(x) = ex(cos x sin x) 1, f' (0) = 0.又因为f(0) = 1,所以曲线V= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为v= 1.(2)设 h(x) = ex(cos x sin x) 1, 则 h' (x)= ex(cos xsin x sin x cos x)= 一 2exsin x.， 九一， ，当 xC 0, 2 时，h (x)<0,一一. 、 九.一、一一.所以h(x)在区间0, 2上单调递减. 冗，一，所以对任意 x 0, 2 有 h(x)<h(0) = 0,即 f (x)&l

10、t;0.一一，一.、冗.、.、一一.所以函数f(x)在区间0, 2上单调递减.因此f(x)在区间0, 2上的最大值为f(0)=1,最小值为f 2 =-2.利用导数研究生活中的优化问题I题型3|【例5】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2. 7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f(x)万元，且f(x) =10. 8 3qx2, 0<x< 10,108 1 000x3x2 5x>10.写出年利润 W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式.(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？(注：年利润=年

11、销售收入一年总成本)解(1)由题意得W=10.8-袅2 x-2.7x-10, 0<x< 10, 30108 1 000_x_-3x2- x-2. 7x-10, x>10,8.即W=1x 袅310, 0Vx< 10, 301 000 _98+ 2. 7x , x>10,3x1 a当 0<x010 时，W= 8. 1x 30x3101 2 81-x29 + x 9 x.帚=10 =10因为0<x010所以当0<x<9时，W >0, 则W递增；当9<x010时，W <0,则W递减.所以当x=9时，W取最大值喈=38. 6万元.5

12、当x > 10时,W= 98-1 0003x.7x < 98-c 1 0002 3xX2. 7x = 38.当且仅当上警;2. 7x,即x = 100>10时取最大值38. 3x9综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大 方法总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式y=f x .2求函数的导数f' x ,解方程f' x =0.3比较函数在区间端点和f x =0的点的函数值的大小,最大小者为最大小小4回归实际问题，结合实际问题作答.跟踪陈且 某村庄拟修建

13、一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底 面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关， 侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水 池的总建造成本为12 000冗元(冗为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100X2 7rh=200 rh元，底面的总成本为160/元，所以蓄水池白总成本为(200160M)元.又根据题意得2001160，= 12 000Tt,所以 h=(300- 4r2),从而 V(r)= Mh =£(300r4r3).由 h 515>0,且r>0可得0<<5*，故函数V(r)的定义域为(0,543).(2)因为 V(r) = ,300r 4r3),所以 V' (r) =