17-18版第1课集合的概念与运算

1、第一章 集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算最新考纲内容要求ABC集合及其表示V子集V交集、并集、补集V抓基础自主学习I知识橙理1. 元素与集合集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2) 元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和?.(3) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法.2. 集合间的基本关系(1) 子集：若对？ x A,都有xB，贝U A? B或B? A.(2) 真子集：若A? B,但? x B,且x?A，则A B或B A.相等：若A? B,且B? A,则A= B.(4) 空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3. 集合的基本运算并集

2、交集补集图形表示符号表示AU BAn b?uA意义x|x A 或 x Bx|x A且 x Bxh( U 且 x?A4.集合关系与运算的常用结论(1) 若有限集A中有n个元素，则A的子集有 2个，真子集有2n- 1个.(2) 子集的传递性：A? B，B? C? A? C.(3) A? B? AH B = A? A U B= B.(4) ?u(AH B) = (?uA) U (?uB), ?u(AU B) = (?uA) H (?uB).学情自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 任何集合都有两个子集.()(2) 已知集合 A= x|y= x2 , B=

3、 y|y= x2, C = (x, y)|y = x2,贝U A = B = C.()(3) 若x2,1 =0,1，则 x= 0,1.()(4) 若 AH B = AH C,贝U B = C.()解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2) 错误.集合A是函数y= x2的定义域，即A= ( x,+x)；集合B是函 数y=x2的值域，即B= 0, +);集合C是抛物线y= x2上的点集.因此A, B, C不相等.(3) 错误.当x= 1时，不满足互异性.(4) 错误.当A= ?时，B, C可为任意集合.答案(1)X (2)X (3)X X2 .(教材改编)已知集合 A

4、= x|3< x<7 , B = x|2<x<10，则？r(A U B)=x|x<2,或 x> 10t AU B = x|2<x<10, ?r(AU B)= x<2,或 x> 10.3. (2016 苏高考)已知集合 A= 1,2,3,6, B = x| 2<x<3，贝U AH B= 1,2在集合A中满足集合B中条件的元素有1,2两个，故AH B= 1,2.4. 集合 1,0,1共有子集.8 由于集合中有3个元素，故该集合有23二8（个）子集.5. （2017盐城期中模拟）若集合 A= xX<m , B = x| 2

5、<x<2，且 B? A, 则实数m的取值范围是.2,+x）. a= x|x<m , B = x| 2<x<2，且 B? A, 2< m,即实数m的取值范围是2,+x）.14明考冋题型突破I析典例探求规律方法|HlB|1_| | 集合的基本概念例 已知集合 A= 0,1,2，则集合 B = x yX A, y A中元素有 个.(2)若集合A= x R|ax2 3x+ 2 = 0中只有一个元素，则a =.【导学号：62172000】 9(1) 5 (2)0 或9 当 x= 0, y= 0,1,2时，xy= 0, 1, 2;当 x= 1, y= 0,1,2 时，x

6、 y= 1,0, 1;当 x= 2, y= 0,1,2 时，x y= 2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B的元素为一2, 1,0,1,2,共5个.(2) 若集合A中只有一个元素，则方程ax2 3x+ 2= 0只有一个实根或有两个 相等实根.2当a= 0时，x= 2，符合题意；29当 aM 0 时，由= ( 3) 8a = 0 得 a=8，9所以a的取值为0或J规律方法1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性； 特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否 满足互异性，如题(1).2由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2).变式训练

7、1 (1)(2017启东中学高三第一次月考)已知x2 0,1 , x，贝U实 数x的值是.(2)已知集合A= x R|ax2 + 3x 2= 0，若A= ?，则实数a的取值范围为(1) 1一X, 9(1)由集合中元素的互异性可知xm 0且xm 1.又x 0,1 , x,所以只能x = 1,解得x= 1或x= 1(舍去).(2)v A= ?,.方程 ax2 + 3x 2= 0 无实根,2当a= 0时，x= 3不合题意；9当 aM 0 时,= 9+ 8av 0,. av g.|"2|_| 集合间的基本关系卜例已知集合 A= x|x2 3x+ 2 = 0, x R , B= x|0<

8、x<5, x N，则满足条件A? C? B的集合C的个数为(2)已知集合 A= x| 2<x<7, B= x|m+ 1vxv2m 1，若 B? A,则实 数m的取值范围是.2(1) 4 (2)( oo ,3x+ 2 = 0, x R = 1,2,B = x|0<x<5, x N = 1,2,3,4.由A? C? B可知C中至少含有1,2两个元素，故满足条件的集合 C 有1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4,共 4 个.(2) 当 B = ?时，有 m+ 1 >2m 1,贝U m<2.当BM ?时，若B? A,如图. m+ 1一2,

9、 贝U 2m K7,m+1v2m1,解得2v m< 4.综上，m的取值范围为mW 4.规律方法1空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 空集的情况，否则会造成漏解，如题(2).2. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或 区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用 数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.b变式训练 2(1)设 a, b R，集合1 , a+ b, a 0, a，b，则 b a=(2)设集合 A= 0， 4 , B = x|x2 + 2(a+ 1)x+ a2 1 = 0, x R 若 B? A, 则实数a的取

10、值范围是.(1) 2 (2)( , 1 U 1由题意可知a, bM 0,由集合相等的定义可 知，a+ b = 0， a= b,即一=一 1,a b= 1,故 b a= 2b = 2.(2) 因为A= 0， 4，所以B? A分以下三种情况：2 2 当B = A时，B = 0， 4，由此知0和一4是方程x + 2(a+ 1)x+ a 1 =0的两个根，由根与系数的关系，得4 a+ 1 2 4 a2 1 >0,2 a+ 1 = 4，解得 a= 1;孑一1 = 0, 当 BM?且 B A 时，B = 0或 B = 4, 并且 A4(a+ 1)2 4(a2 1)= 0,解得a= 1,此时B = 0

11、满足题意； 当 b = ?时，a4(a+ 1)24(a2 1)<0,解得 a< 1.综上所述，所求实数a的取值范围是a< 1或a= 1.屋璽j訂聖集合的基本运算?角度1求(1)(2017 南京二模)设集合 A= x| 2<x<0 , B = x| 1<x<1,则 AU B=.(2)(2017 如皋市高三调研一)设集合 P = 1,2,3,4 , Q = x| 2<x<2, x R, 贝U pnq=.(1) x| 2<x<1(2)1,2(1) t A= x| 2<x<0 , B= x| 1<x<1 , AU

12、 B=x| 2<x<1.(2) t P = 1,2,3,4, Q = x| 2<x<2, x R, Pnq= 1,2.?角度2交、并、补的混合运算卜例3-2(1)(2017 苏锡常镇二调)已知集合 U 二123,4,5 , A= 1,2 , B =2,3,4，则 AU (?uB) =(2)已知全集 U = R，集合 M = x|(x 1)(x+ 3)v0 , N = x|x|w 1，则阴影部分表示的集合是.(1) 1,2,5(2)( 3， 1)由题意可知？uB= 1,5，又 A = 1,2，二 A U (?uB)二1,2,5.(2) 由题意可知，M = ( 3,1),

13、N = 1,1,二阴影部分表示的集合为 M A (?uN) =(3， 1) ?角度3利用集合的运算求参数(1)(2017 南通二调)设集合 A= 1,0,1, B = a 1, a+, AA B3-3卜例=0，贝U实数a的值为.【导学号：62172001】(2) 已知集合 A= 1,3，Vm，B= 1，m，AU B = A,贝U m=.(3) 设集合A= 0,1，集合B = x|x>a，若A A B= ?，则实数a的取值范围是(1)1 (2)0 或 3 (3)1，+) (1) v A= 1,0,1, B a 1，a+ 右>,AA B 二0,1a 1= 0或 a+0(舍去)，aa=

14、1.(2) 由 AU B = A可知 B? A,又 A= 1,3 , m , B = 1 , m,所以m= 3或m= .m,解得m= 0或m= 3或m= 1(舍去)(3) 由 AA B = ?可知，a> 1.规律方法1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后 利用交集和并集的定义求解.Venn图和数轴使抽象问题直观2 在进行集合的运算时要尽可能地借助化一般地，集合元素离散时用 Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用 数轴表示时要注意端点值的取舍.易错警示：在解决有关AH B= ?, A? B等集合问题时，往往忽视空集的情 况，一定要先考虑？是否成立，以防漏解.名师徽博

15、®思想与方法1. 在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能 顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元 素的互异性，以确保答案正确.2. 求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关， 即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法 解决.3. 对于集合的运算，常借助数轴、 Venn图求解.（1）对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续 数集间的关系， 求其中参数的取值范围， 关键在于转化成关于参数的方程或不等 式关系（2）对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助

16、Venn 图，这是数形结合思想的又一体现易错与防范 1集合问题解题中要认清集合中元素的属性 （是数集、点集还是其他类型集 合），要对集合进行化简2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的 讨论，以防漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集 合的包含关系4. Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其 中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心课时分层训练 （一 ）A 组 基础达标 （建议用时： 30分钟） 一、填空题1. （2017苏州期中）已知集合 A= 0,1 , B = 1,0，则 AU B =. 1,0,1

17、AU B=0,1U 1,0= 1,0,1.2. （2017 南京模拟）设集合 A= x| Kx<2 , B = x|0<x<4，贝U AH B = . 【导学号： 62172002】x|0<x<2 AH B = x| 1<x<2 H x|0<x<4=x|0< x< 2.3. （2017南通第一次学情检测）已知集合 A= x|0<xw3, x R , B = x| 1<x<2, x R，贝U AU B=.x| 1<x< 3, x R t A= x|0<x< 3, x R , B = x|

18、1<x< 2, x R, AU B= x| 1<x<3, x R.4. （2017 皋中学高三第一次月考）已知集合A=1 , cos & , B|，1 '， 若A= B,则锐角0=.n1n3 由A= B可知cos 0= 1，又0为锐角，二0= 3J5. （2017 盐城三模）已知集合 A= 1,2,3,4,5 , B = 1,3,5,7,9 , C =AA B,则集合C的子集的个数为.8 由题意可知An B = 1,3,5,-C = 1,3,5,集合C的子集共有23= 8个.6. （2017南京三模）已知全集U = 1,2,3, a，集合 M = 1,3

19、 若？uM=2,5，则实数a的值为.5 t M U ?uM = U,A U = 1,2,3,5,二 a = 5.7. （2017泰州中学高三摸底考试）已知集合A= xX>0 , B = 1,0,1,2，则An b=.1,2A n B=x|x>0 n 1,0,1,2= 1,2.8. 设全集 U = 1,2,3,4,集合 A= 1,3 , B = 2,3，则 Bn （?uA） =【导学号：62172003】2t A= 1,3,a ?uA=2,4,. Bn （?uA）=2,3n 2,4= 2.9设集合 A= 1,2,4，集合 B= xX= a+ b, a A, b A，则集合 B 中的

20、元素个数为.6 t A= 1,2,4 , B = 2,3,4,5,6,8,集合B中共有6个元素.10. 已知集合 A= x|x= 3n + 2, n N , B = 6,8,10,12,14，则集合 An B 中元素的个数为.2 集合A中元素满足x= 3n + 2 , n N ,即被3除余2,而集合B中满足 这一要求的元素只有8和14.共2个元素.2 211. （2017 无锡模拟）已知 A= a + 2 , （a+ 1） , a + 3a + 3,若 1 A,则实 数a =.【导学号：621720040 t1 a+ 2 , （a+ 1）2 , a2 + 3a+ 3,1 a + 2,或(a +

21、 1) 1,或 a + 3a + 3 1. 当a+ 2 1,即a - 1时，此时a2 + 3a+ 3 1,不满足集合中元素的互 异性； 当(a+ 1)2 1 时，a 0 或 a - 2，又当 a - 2 时，a2 + 3a + 3 1，不满 足集合中元素的互异性； 当a?+ 3a + 3 1时，a 1或一2，由可知，均不满足题意.综上可知，a 0.12. 已知集合A，B均为全集U 1,2,3,4的子集，且？u(AU B) 4，B 1,2，则 AH (?uB) .3U 1,2,3,4，?u(AU B) 4， AU B 1,2,3.又 B 1,2，二？ A? 1,2,3，又?uB 3,4，二 AH (?uB) 3.B组能力提升(建议用时：15分钟)1. (2016 全国卷 U 改编)已知集合 A 1,2,3，B x|(x+ 1)(x 2)V 0，x Z，贝U AU B .0,1,2,3 B x|(x+ 1)(x 2)V 0，x Z x| 1vxv2，x Z 0,1.又 A 1,2,3,所以 AU B 0,1,2,3.2. (2016 天津高考改编)已知集合 A 1,2,