三角恒等变换之辅助角公式

1、辅助角公式 a sibcos 二 'a2 - b2 sin()在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asinr bco为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等 为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式 a sibcos =a2 b2 sin(二 )或 asibcos * a2 b2 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证： .3 sin a +cosg =2sincos ),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用 .但事与愿违，半个 学期不到，大部分学生都忘了，教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习

2、，再次忘 记,教师还得重推！本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导，体现一种解决 问题的过程与方法，减轻学生的记忆负担；同时说明“辅助角”的范围和常见的取 角方法,帮助学生澄清一些认识；另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化 解题过程与方法；最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用，让学生把握辅助 角与原生角的范围关系，以更好地掌握和使用公式(+ ) =2cos G - 一 ).63其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出 结论：可见， 3sin : +co 可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin二+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢 ？2.辅

3、助角公式的推导例2化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式.解:asin - +bcos = a2 b2 (sin 二 +cos71 ),、a2 b2、a2b2ab 令=cos ： ,=sin ：, a2 b2、a2b2贝U asin r +bcos = a2 + b2 (sin 日 cos® +cos日 sin ® )=、a2b2 sin( +),(其中 tan ： =b)aab 令=sin,=cos,贝U,a2 b2/a2 b2asin v +bcos =、a2b2 (sin v sin +cos； cos ')= a2b2 cos(),(其中X冷)其中

4、，的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求 出.或由tan =和(a,b)所在的象限来确定.a推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令ab=cos,=sin？让学生费解.二是这种“规定”式的推,a2b2. a2b2导,学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式asinnbcos，a2b2 sin )来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2009 年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易 懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，asin 函数的形式，无需化简故有abM

5、 0.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐 标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示, 则总有一个角;：,它的终边经过点P.设OP=r,r= g2b2 ,由三角函数的定义知sin =b= brJa2 匚 b2边=菁丿b2所以 asin T +bcos =i a2b2 cos ' sinbcos已经是一个角的一个三角71 +i a2b2 sin cos-= '、a2 b2 sin").(其中 tan =b)a2.若在平面直角坐标系中，以b为asin 丁+bcos 二，a2 b'sin sin a2 b2 cos : cos丁= a2b2COS（v - ）（其中

6、tan :=-）b例3化13sinco为一个角的一个三角函数的形式.解：在坐标系中描点P（ 13 ,1）,设角，的终边过点P,则OPasin 二 +bcos 二= a2 b2 ( a2b2sinbJ a2b2cos)= 3sin 二 COS71 =2cos sin = +2sincos71 =2sin().tanjin2k二，、3sin r cos =2sin（）.66经过多次的运用，同学们可以在教师的指导下，总结出辅助角公式 a2b2 sin(r ),(其中 tan=b).或者aasin r +bcos -=a2 b2 (b:a2 b2COS V )= a2 b2 COsC _ ：),(其中

7、 tan ： =a)b我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解cos =)的道理，以asin r +bcos=凑成 ' a2b2 ( .sin 二 + TOFJ孑 + b2及为什么只有两种形式的结果例 4 化 sin ：-3cos为一个角的一个三角函数的形式.占八、(1,-3 )在第四象限.OP=2.设角过点则cos2满足条件的最小2k二，k 乙sin ： 3cos：二 2(sin -25 二3cos ) = 2(sin ： cos2cos： sin )二 2sin(：)=2si n(：*=2沁即).p(-,i)在第二象限，OP=2,sinsin ： - ； 3 cos

8、 ： - 2( 1 sin :22(sin :sincos：cos )满足条件2k二，k 乙2k)二 2cos(：6).5= 2cos(： - )= 2cos( 6三.关于辅助角的范围问题由 asin= ' bcos：a2 b2 sin(=')中，点 P(a,b)的位置可知,终 边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为'；,则'二-1 - 2k：.由诱导公式(一)知asin bcos = a2 b2 sin) a2 b2 sinJ .其中（0,2二）,tan , S的具体位置由sin 与cos决定，的

9、大解: 3si n： cos：sin： -cos： = 2( sin：2 2cos：)小由tan 二一决定.类似地，asin= bcosv - a2 2 cos（），:的终边过点p （b,a）,设满足条件的最小正角为 申2，则申=2 + 2k江.由诱导公式有asin bcos、a2 2 cos& - ）二 a2 2 cos© - 2），其 a中 （0,2二），tan：:2， ;:2的位置由sin 2和cos 2确定，：:2的大小由tan 2=(确定.注意：一般地， - -：2 :以后没有特别说明时，角 （或2）是所 求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要

10、目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为a sin bcos ： a2 b2 sin©J 的 形 式 或asin bcos'-a2 b2 cos© -2）的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.例5 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.（1） 3sin ： - cos：；2=2(sin ： cos cos： sin ) = 2sin(：6 6一 2 .二 ，6 二sin()cos()6363、2 1二 3:；si n()cos()(2)3 2323、/2兀JT兀Hsin()

11、coscos()sin 33333x 22 -sin()33在本例第(1)小题中， 3, bi, 我们并没有取点卩(.3 ,-1),而取的是点p ( J3, 1).也就是说，当a、b中至少有一个是负值时.我们可以取卩(|a|, |b),或者p( |b ,囘)这样确定的角® 1 (或®2)是锐角, 就更加方便.1例 6 已知向量 a = (cos(x ),1), b = (cos(x ),),332c二(sin(x ),0),求函数h(x) =a b2的最大值及相应的 x3的值2JT1JTTL解：h(x)二 cos (x ) sin(x )cos(x )232331 cos(

12、2x 02-sin(2x ® )3232cos(2x 2二)-sin(2x232亠2二)亠23刍迈 cos(2x 2二)223-迈sin(2x 2- ) 2232os(2x 112 12h(X)max 二 21111这时 2x2k： , x = k.k Z .1224此处，若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁，而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为,而且涉及辅角的范围，在相应45 ,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线I的最小值.解：连结0M,设/ AOM=.则MQsi,oq二cost ,OP=PN=si.PQ=O