数学选修2-2测试题Ⅳ

1、新编数学选修2-2测试题IV单选题（共5道）1、用数学归纳法证明"5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为A(5k-2k)+4X5k-2kB5(5k-2k)+3X2kC(5-2)(5k-2k)D2(5k-2k)-3X5k2、用数学归纳法证明不等式，74+；>E（n>2）时的过程中，由/I+I-R+.一,.4n=k到nwk+1时，不等式的左边（）A增加了一项元订B增加了两项-D增加了一项衣土，又减少了一项占3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k>2,且k为偶数）时等式成立，则还需利用归纳假设再证（）

2、An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k+2时等式成立Dn=2（k+2）时等式成立4、用数学归纳法证明等式1+2+3+h-+（n+3）="+，""）时,第一步一验证n=1时，左边应取的项是（）A1B1+2C1+2+3D1+2+3+45、函数y=x2cosx的导数为Ay'=2xcosxx2sinxBy'=2xcosx+x2sinxCy'=x2cosx2xsinxDy'=xcosxx2sinx简答题（共5道）6、设函数/-；姑丁；姬a.bR腐#。,JJh（1）若曲线r-八村与工轴相切于异于原点的一点，且函数/（刈的极小值为

3、,求0力的值；（2）若与。且"，十'求证：口八鼻）皿；求证：/（，）在01）上存在极值点.7、在数列an,bn中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列，(I)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式，并证明你的结论;(H)证明:8、设数列an:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,，(一1)k1k,，(-1)jt即当5w(kCN*)时，an=(1)k1k,记上Sn=a1+a2+an(nCN*),用数学归纳法证明Si(2i+1)=i(2i+1)(iCN*).9、已知f(x)在R上可导，f(x)=x2

4、+2f'(2)x+3,试求f(x)dx的值.10、求证：4n+2n>2?3n(nCN*)1-答案：B2-答案：tc解：当n=k时，左边的代数式为1二+,+，当n=k+1时，左边的代数式为上十+工，故由n=k到nwk+1时，不等式的左边增加了两项占十初二，又减少了一项工.故选：C.3-答案：tc解：若已假设n=k（k>2,k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.故选：B.4-答案：tc解：在等式I+2+3+.+5+3）=叮怎“）中，当n=1时，n+3=4,而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D.5-

5、答案：A1-答案：(1)YT.(2)在陋1)上是存在极值点试题分析：分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数H丁区与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数九三有一个极大值0和一个极小值一；。,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即F3提取x的公因式后,剩下二次式的判别=0,得到a,b之间的关系式，再根据极小值为，则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式，即可求出a,b的值.(2)对“邛求导，带入了(言)与已知条件建2+1=3联立化简即可得到需要的不等式.求出，',讨论a的取值范围，证明kW/fOJ'：其中必有两者异号，则根据零点存在定+1J理，即可证明

6、，国有极值点.试题解析：(1)rg-pMdA丝户，依据题意得：/券，且卷=片仙.2分外.07口+卷叫得或“一/如图，得人一。一?,.2白甘。9，57。,代入冷一得"T，>8分（xt+1）X<1+31克.+1丁1*.1工）/,（0）=l-2a/'=l-a+b.若则/'（0）=1-2。>0由知八-（口,/常J十所以/'3在有零点，从而/在电1）上存在极值*口一】点.10分若。耳，由知八三二皿；又-工d-Im-吗乎q-/r.b节啖一所以在有零点,从而了在e,i）上存在极值点.12分若口<。，由知c/p。，耳I十人门117"_二色：产

7、二。,所以尸在有零点，从而/在世）上存在极值点.综上知/（刈在3力上是存在极值点.14分2-答案：解：（I）由条件得约-3凡白麻-侬3，由此可得七二池二37汕二必空工二25,猜测丫咐卜岫卜丁，用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立；假设当n=k时，结论成立，即心73+4壮三伏+力,，那么当n=k+1时，*=组-叫=雄-1）含-出+>3+i）成+这%:%=仕+行，所以当n=k+1时，结论也成立；由，可知4-成理11）力*-伽11/对一切正整数都成立。（H）=n>2时，由（I）知&=值”膜;由，故,十一+一一，J.UL+-L+-+W_L'LLL1i-LL当-如何

8、+与%<认”33混js（b+1J62U33。n步1133-答案：见解析当i=1时，Si（2i+1）=S3=1（2+1）=3,故原式成立.假设当i=m时，等式成立，即Sm(2叶1)=m(2m+1).则当i=m+1时，S(m+1)2(m+1)+1=S(m+1)(2m+3)=Sm(2mb1)+(2m+1)2(2m+2)2=m(2m1)+(2m+1)2(2m+2)2=(2m2+5M3)=(m+1)(2m+3),故原式成立.综合得：Si(2i+1)=i(2i+1).4-答案：解：vf(x)=x2+2f'(2)x+3,(x)=2x+2f'(2),f'(2)=4+2f'

9、(2),f(2)=-4,.f(x)=x2-8x+3,(x)dx=(gx3-4x2+3x)|30=-18.解：.f(x)=x2+2f'(2)x+3,f'(x)=2x+2f'(2),：.f'(2)=4+2f'(2),；f'(2)=-4,af(x)=x2-8x+3,.Rf(x)dx=(：x3-4x2+3x)|30=-18.5-答案：证明：n=1时，4+2=6=2X3成立；假设n=k时结论成立，即4k+2k>2?3k,贝Un=k+1时，左边=4k+1+2k+1=2(4k+2k)+2?4k>4?3k+2?4k>4?3k+2?3k=2?3k+1,即n=k+1时，结论成立.由可知4n+2n>2?3n(nCN*).