圆与方程知识点总结

1、圆与方程知识点总结1.圆的标准方程： 以点C(a,b)为圆心，r圆与方程知识点总结(x _a) , 2 (y _b)2二r2.特例：圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是：x2 y2=r2.2点与圆的位置关系:(1) .设点到圆心的距离为d,圆半径为r:22 / 4a. 点在圆内一d v r ；b. 点在圆上一d=r ；c. 点在圆外 一d> r(2). 给定点 M (x0,y0)及圆 C : (x -a)2 (y -b)2 =r2 . M 在圆 C 内二(x0 -a)2 (y0 -b)2 :r2 M 在圆 C 上 u (x0 -a)2 (y 0 b)2 =r2 M 在圆 C 外=(x0

2、-a)2 (y0-b)2 r2(3)涉及最值: 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB的最值阳斷=|BN| = |BC|_r|PB|max =|BM| =|BC| + rP,讨论I PA|的最值PAmin Tan卜 r-|AC|IpA=|AM|=r+|ACi 1 max1思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直 AC )3.圆的一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0 .(1)D2 E2VF0时,方程表示一个圆,其中圆心C -D-2,半径D2 E2 YFD2 £2十=0时,方程表示一个点D E I.2 2D E -4F0时,方程不表示任何图形.B = 0且 A =C =0且 D2 E2

3、_4AF -0.注：方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0表示圆的充要条件是:4. 直线与圆的位置关系:直线 Ax By C 二0与圆(x _a)2 (y _b)2圆心到直线的距离k _1A叮Bb+C|JA2 +B21) d .r =直线与圆相离=无交点；2) d =r：=直线与圆相切：=只有一个交点；3) d :二直线与圆相交 二有两个交点；弦长|AB| =2 . r2 -d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组'Ax + By + C = 0(X2 +y2 +Dx + Ey+ F =0求解,通过解的个数来判断:5 / 4(1) 当；0时，直线与圆有2个交点”直线与圆相交

4、；(2) 当厶=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切;(3) 当.：:：:0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系(1)设两圆 G : (x -aj2 (y -bj2 =与圆 C?: (x a?)2 (y -b?)2 二 q2.圆心距 d =-a2)2(R -b2)2 d r1外离：=4条公切线； d=r1r 外切u3条公切线； 片-r2| : d : r亠r2 =相交：=2条公切线； d =|1 内切二1条公切线；外离0 : d 计口(2) 两圆公共弦所在直线方程2 2圆C1: x + y十。必+巳丫 +丘=0,圆 C2: x y D2x E2y F2 = 0,则Di

5、-D2 x 巳-E2 y Fi-F2 =0为两相交圆公共弦方程补充说明： 若Ci与C2相切,则表示其中一条公切线方程； 若Ci与C2相离,则表示连心线的中垂线方程(3) 圆系问题2 2 2 2过两圆Ci :xy DiXEiyF 0和C? : x y - D?x - E?yF 0交点的 圆系方程为2 2 2 2x y Ux£yF|：x yD2x E2y F2 =0(謚-1)补充： 上述圆系不包括C2 ； 2)当- -1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) 过直线 A x B y0二与圆x2 y2 Dx Ey 0交点的圆系方程为x2 y2 Dx Ey F 亠；.I Ax By C =0

6、6. 过一点作圆的切线的方程:(1)过圆外一点的切线： k不存在，验证是否成立 k存在,设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径,即yi y0=k(xi -x°) b y1 -k(a X1R2 1R =求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1, 2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为 . . . . 2 2 2 . .(2)过圆上一点的切线 方程：圆(Xa) +(yb) =r ,圆上一点为(X0,y。)，则过此点的切线方程为(X0a)( xa) +(y0 b)( yb) = r 2特别地，过圆x2 y2=r2上一点P(x°,y°)的切线

7、方程为 X0X y°y A2 . 2 2例2.经过点P( 4, 8)点作圆(X+7) +(y+8) =9的切线，则切线方程为 7. 切点弦AB所在直线 过O C： (x-a)2(y-b)2二r2外一点P(Xo,y。)作O C的两条切线，切点分别为A、B ,则切点弦 方程为：(x0 -a)(x-a) (y0-b)(y -b) = r28. 切线长：若圆的方程为(x_a)2 (y_b) 2=r2,则过圆外一点P(xo, yo)的切线长为d= &0 _a)2 + (y0b)2 _r2 .9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两