圆锥曲线与方程知识点详细

1、WOR格式椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动P到两个定点F 1> F2的距离之和等于常点数(PF1这个动点P的轨迹叫 椭圆.这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点的距离叫作PF 2aF1F2 ,椭圆的焦距Fi F2 )注意：若(PF 1PF2,则动点p的轨迹为线 段 一-Fi F2 ; 若 ( PFiPF 2F1F2 )，则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的标准方 程1)x轴上时，椭圆的标准方程：x2 a2 y b20),其中ca 2b2 ；2)汪意:2xb 2a> b > 0 ,并且椭圆的焦点总在长轴在两种标准方程中，总有上；.当焦点在 y轴上时，椭圆的标准方程:* - =2 y2

2、a1(a b0),其中c两种标准方程可用一般形式表示:21 或者 mx +ny =1AB：2 ab 2(1 )对称性：2对于椭圆标准方xy 20):是以x轴、y程1 (ab 轴2 ab 2_ 3、椭圆:的简单几何性质x 2b 0)y 21 (a为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这 个对称中心称为椭圆的中丿心。 _-(2 )范围： 椭圆上所有的点都位于直线 所以椭圆上点的坐标满足(3 )称为2xb所围成的矩形内，顶点:x a , y椭圆的对称轴与椭圆的交点椭圆的顶点。椭圆十2y1 (a0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分 b 别为a,0)(a,0)，A22a

3、B (0, b),轴,a和b分别口叫做椭圆的长半轴长和短半轴 长。4 )离心率：叫做B2 (0,b)o 线段A1 A2 , B1 B2分别叫做椭圆的椭圆的焦距与长轴长度的比椭圆的离心率e0)长轴和短2a ,B B22b o，用e表示，记作2cc o因为(a c此椭圆越扁; 之，的取值范围是(01)0 c,就越接近越接近于e1越接近则从而越接近于时，c0程为，这时两个焦点重合，图形变为圆，方汪意:椭圆x22a1的图像中线段的几何特征(如下图)：2 2x ya，从而Mi*就越接近，这时椭圆就越接近于当且仅当越小，因I >b专业资料整理假设已知椭圆方程1 ( a 0,b0），且已知椭2 2 a

4、b2a圆的准线方程为x，试推导出c下列式子：（提示：用三角函数假设P点的坐PF iPF 2标ePM iPM 2 T-4、椭圆的另一个定义：至憔点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PFPF2PMiPM 25、椭圆x22y2 2a b2i与y2x0)b2 ab 0）的区别和联系标准方程xb2y 22 *bR1( a/iy x 21 (a b图形焦占八、八、1. c,0If 2(c,0)F1 (0, 土 c)F2 (0, c)F1 ( lr焦距F1F22cF F22cbx -, - ya范围a ,轴、士y b对称性|天于xy轴和原点对称顶点 5(0,b,0)b)性质轴长长轴

5、长=2a ，短轴长=2b离心率e c (0 二 e 1)准线方程焦半径PF a exo , PF2 a ex 0PFa eyo , PF2 a ey 0一般而言：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0,椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。36. 直线与椭圆的位置关系1. 将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。2. 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与

6、 两根之积的形式，这是进一步解题的基础。7. 椭圆方程的求解方法1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程， 方程。即设法建立a, b或者e,c中的方程组，要善于抓住条件列2x y21( a-=b0）或2yx2 1a 2 b2a2b222x y1或者mx2+ny2=1先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为（a b 0）;或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为m n(m 0,n0,m n )，这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。2但是需要注意的是m和 n (或者和 )谁代表a ，谁代表b要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如:c等等。a求解与

7、椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分 析，结合法的使用，切勿漏掉一种情况。b2 c 2，不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形【典型例题】1、椭圆的定义例1、已知F1(- 8, 0) , F2(8, 0)，动点P满足的轨迹为(A圆B椭圆2、椭圆的标准方程例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长6;为3、离心率|PF1|+|PF2|=16，则点C线段直线例3、椭圆x22 a若/ F1PF2=604、最值问题例4、椭圆x2直线和椭圆10、已知直线x210,短轴长为(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)' 经过点(5 , 1)

8、, (3 , 2)2y 1(a b 0)b2,则椭圆的离心率为的左右焦点分别是Fi、F2,过点轴的垂线交椭圆于 P 点。1两焦点为 值为F1、 F2,点P在椭圆上，I :y=2x+m，椭圆 C :y21 ,试问当42(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点;则 |PF1|PF2|的最大值为m为何值时:(3)没有公共 占八、，最小双曲线、知识点讲解F1 , F 2的距离的差的绝对值等于常数(小双曲线的定义：平面内与两个定点于两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦 | F i F2 | )的点的轨(1 )其中./、 I 卜距。汪意：(2a2a | F 1F2 |表示两条射线；2a

9、 | F(2 )双曲线的标准方程、图象及几何性 质：XXI PF 1 | | PF 2 | 2a -二与 | PF 2 | | PF 1 | 2a1 F2 |没有轨迹;迹。I F 1 F2)表示双曲线的一支。/标准方程对称轴隹占八、八、离心率渐近线中心在原点，焦点在2 刺 2X2 ； y2J >Z/1,2bx轴上1(abO)F1ai 0 A2F2A ( a,0), A 2 (a,0)X轴，y轴；虚轴为F1 ( c,0), F 2 一(c,0)| F i F2 |2c(c 0)ce ( e 1)a线：一 二2求双曲线xy 2的渐近线，可令其右边的12 2a b一(3 )双曲线的渐近中心在原

10、点，y x点在 .y轴上1(a 0,b0)b2F2B2F1Bi (0, a), B 2 (0, a)2b，实轴为2aFi(0, c), F 2 (0, c)2 2 2cab(离心率越大，开口越大)2b2一 2 21 为0,即得x yb2x y0。，因式分解得 到02xy 221共渐近线的双曲线系方程x2y与双曲线是a 2b 22 ab2(4 )等轴双曲线tht 2，其离心率为2xy2为21.注意定义中“陷阱问题1 :已知F i ( 5,0), F 2 (5,0)，一曲线上的动点 P到Fi ,F 2距离之差为6，则双曲线的方程为4WOR格式1 )2.如图2所示，F为双曲线C : x 22y1的左

11、焦点，双曲线C上的点916关于y 轴对i与i i称，PF7 1,2,3则F1FF2F F 3 FF4 FP5 FPe F的值是（)A. 9B . 16 C.18D.272x3. P是双曲线2y2 1(a 0,b 0)2距为左支上的一点，F 1、F2分别是左、右焦点，且焦2c,贝y PF 1 F2的内切圆的圆心的横坐标为（)(A) a(B)b(C) c(D) a b ca b2.求双曲线的标准方程1.已知双曲线C与双曲线x 2 - y 2 =1有公共焦点，且过点（3 2, 2 ）.求双曲线C的方程.2.注意焦点的位置：问题2 :双曲线的渐近线为 y 3 x ,则离心率为2【典型例题】1.定义题：

12、1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时4s.已知各观测点到该中心听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/ s : 相关各点均在同一平面上）【解题思路】时间差即为距离差，至U两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.1642.已知双曲线的渐近线方程是y x，焦点在坐标轴上且焦距是210,则此双曲线的方程为3.与渐近线有关的问题x2 y 21（a0,b0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率V专业资料整理WOR格式专业资料整理1若双曲线a 2A. 2B

13、. 3C. 5D. 23.焦点为（0，6），且与双去-y曲线2 2x1有相冋的渐近线的双曲线方程是()2A .22y222 222x1B. yx1C. yx1D.xy 11224一122424 122412 二1x的双曲线方程4.过点（1 ,3）且渐近线为y是、V24.几何是该双曲线的两个焦若| PF1 |：| PF 21.设P为双曲线二 2x2y1上的一点，F1,F 2点，13: 2，贝y PFF2 的12A .=Kr面积为（）63B. 12C.12 3D. 245.求弦1.双曲线2,1），则此弦所在的直线方程2 x2y1的一弦中点为（为()a. y2x1By2x2C.y2x 3D.y 2x

14、3知识只点1 .抛物线的定义(1)在平面内；动点到定点 F距离与到定直线定点不在定直线上.知识只点2 .抛物线的标准方程和几何性质己以下三个条件的点的轨迹是抛物线:I2= 2px(p >y0)标准方程图形顶点对称轴隹占八、八、F p, 02抛物线的距离相等;y2=- 2px(p >0)p的几何意义：焦点八、p, 02离心率准线方程x =- p范围开口方向焦半径(其中P(x0, y0)【典型例题】设P是抛物线(1)求点P到点x= 2I II |y 11 Jf fli12x = 2py(p>0)F到准线I的距2py(p>0)0(0,0)e=x > 0 , y R x

15、< 0 , y R向右向左|PF| = x°+ p|PF| =- x°+ py2 = 4xA( - 1,1)上的一个动点.的距离与点P到直线x若B(3,2)，求|PB |+ |PF |的最小值.=-1y=- 2y>0, x R向上|PF| = y°+p2F 0，- py= 2向下的距离之和的最小值;|PF| =- y°+ p 丫2若点P至U直线y = 1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是 过抛物线y2= 4x的焦点作直线I交抛物线于A, B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于变式练习2 .(1 )已知直线I过抛

16、物线C的焦点，且与 C的对称轴垂直，I与C交于A, B两点，|AB| = 12, P为C 的准线上一点，则 ABP的面积为()A . 18B. 24C. 36D. 48变式练习3 .1.已知直线y = k(x + 2)(k>0)与抛物线C: y2= 8x相交于A , B两点，F为C的焦点，若|FA| = 2|FB| ,求k的值.【归纳总结】4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y2= 2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于A, B两点，设 A(x 1, y" , B( x 2, y2)，则有以下结论：2p(1) |AB| = x1 + x2 + p或|AB| =

17、 2( a为AB所在直线的倾斜角)；sin a2p(2) x1x24；(3) y1y2= p2;(4) 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点一一抛物线问题的三个注意点(1) 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程.(2) 注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3) 直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点定义疋1.到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(0<2av|F问)的点的轨迹值2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹标准方2.与定点和直线的距离之比为定T 9值e的点的轨迹.(0<e<1)与定点和直线的距Ip *x 2y 21( a b >0)2 . 2a b2.与定点和直线的距离之比为 定值e的点的轨迹.(e>1 )©x 2y 21(a>0,b>0)2. 2-a b相等的点的轨迹.y2=2pxx a cosx a sec2范围中心(参数为离心角)ax a ,by b(参数为离心角)|x| a , y Rx" 0'A