等差数列与等比数列的综合问题

1、等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】(一) 等差、等比数列的性质1等差数列an的性质(1) am=ak+ (m k) d,d=(2) 若数列an是公差为d的等差数列，则数列入an+b(入、b为常数)是公差为 入d的等差数列； 若bn也是公差为d的等差数列，贝y 入ian+入2bn(入1、入2为常数)也是等差数列且公差为入id+入2d.(3) 下标成等差数列且公差为m的项ak, ak+m, ak+2m,组成的数列仍为等差数列，公差为 md.(4) 若 m、n、I、k N ,且 m+n=k+l，贝U am+an=ak+ai，反之不成立.(5) 设 A=al+a2+a3+ +an, B= an

2、+1 +an+2+ an+3+ +a2n, C=a2n+1+a2n+2 + a2n+3+ +a3n,贝卩 A、B、C 成等 差数列(6)若数列 an的项数为 2n (n N ),则 S偶一S奇=门d,= n 舟,S2n=n (an+an+1) (an、an+1 为中S奇an间两项)；若数列an的项数为2n-1(祗N*),则S奇-S g, |奇=专，沐小2n 1)an( an为中间项)2. 等比数列an的性质(1) am=ak qm k.(2) 若数列an是等比数列，则数列入1an(入1为常数)是公比为 q的等比数列；若bn也是公比 为q2的等比数列，贝U 入1an 入2bn(入1、入2为常数)

3、也是等比数列，公比为q q2.(3) 下标成等差数列且公差为m的项ak, ak+m,比+2皿，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.(4) 若 m、n、I、k N*，且 m+n=k+l，贝U am an=ak al，反之不成立.(5) 设 A = a1 + a2+a3+ an, B = an+什an+2+an+3+ +a2n, C = a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3n ,贝V A、B、C 成等比数 列，设 M = a1 a2 an, N=an+1 an+2 a2n, P=a2n+1 a2n+2 a3n,贝U M、N、P 也成等比数列.(二) 对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数

4、成等差数列，可设为a d, a, a+d;若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为 aa3d, a d, a+d, a+3d.三个数成等比数列，可设为 ，a, aq,若四个符号相同的数成等比数列，知其积，q可设为芸,q,aq, aq3.(三) 用函数的观点理解等差数列、等比数列1. 对于等差数列，T an=a1+ (n 1) d=dn+ (a1 d),当d 0时，an是n的一次函数，对应的点(n, an)是位于直线上的若干个点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数 是常数函数，对应的数列是常数列； dv0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数 .若等差数列的前

5、 n项和为Sn,则Sn = pn2+qn ( p、q R).当p=0时，an为常数列；当p丰0时，可 用二次函数的方法解决等差数列问题.2. 对于等比数列：an=a1qn 1.可用指数函数的性质来理解.当a1 0, q 1或a1 v 0, 0v qv 1时，等比数列是递增数列；当a1 0, 0v qv 1或ay 0, q 1时，等比数列an是递减数列.当q=1时，是一个常数列当qV0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列点击双基1等比数列an的公比为q，则“ q 1 ”是“对于任意自然数 n,都有 令+1如”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2已知数

6、列an满足an+2=- an (n N ),且ag , a2=2，则该数列前2002项的和为A.0B. 3C.3D.13. 若关于x的方程X2 x+a=0和x2 x+b=0 (a*b)的四个根可组成首项为-的等差数列，则a+b的值4是A.311B.2424724在等差数列an中，当ar=as (r丰s)时，数列a.必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、s (r丰s),当ar=as时，非常数列 an的一个例子是 .5. 等差数列an中，a1=2，公差不为零，且 a1, a3, a“恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列 公比的值等于.【典型例题】例 1 已知an是等比数列，a1=

7、2, a3=18; bn是等差数列，b1=2, 3+b2+b3+b4=a1+a2+a320.(1 )求数列 bn的通项公式；(2)求数列 bn的前n项和Sn的公式；(3)设 Pn=b1+b4+b7+ +b3n 2, Qn=b10+b12+b14 b2n+8 ,其中n=1, 2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.例2已知等差数列an的首项a1=1，公差d 0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项 .(1 )求数列an与bn的通项公式；(2)设数列Cn对任意正整数 n均有 + + + W = (n+1) an+1成立，其中 m为不 b1 mb2 m2b3m，b

8、n等于零的常数，求数列Cn的前n项和Sn.例 3 在等比数列an(nN *)中，ai 1,公比q 0设bn=log2an,且b什 b3+b5=6 ,bib3b5=0.(1 )求证：数列bn是等差数列；(2 )求bn的前n项和Sn及2n的通项an；(3 )试比较an与Sn的大小.【经典练习】1.在等比数列an中，a5+a6=a (a* 0), ai5+ai6=b，贝U a25+ a26 的值是A.bD.b2a2.公差不为零的等差数列an的第二、三及第六项构成等比数列，则a1 a3 a5a? a3.若数列x, a1, a2, y成等差数列,x, b1, b2, y成等比数列，则佝 a?)?d b2

9、的取值范围是54.已知数列an中，a1=且对任意非零自然数6n都有1an+1= 一 an+3n+1.数列bn对任意非零自然数n都有1bn=an+1 an.2(1 )求证:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式5.设an为等差 bn为等比数列，a1=b1=1, a2+a4=b3, Sb4=a3，分别求出an及bn的前10项的和S10 及 T10.6. 已知数列an是等差数列，且 ai=2, a什a2+a3=12.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=anxn (x R),求数列bn前n项和的公式.7. 数列an中，ai=8 , a4=2，且满足 an+2 2an+i + an=0 (

10、n N).(1)求数列an的通项公式.m321 *(2 )设bn=( (n N ), Sn=b什b2+ bn,是否存在最大的整数 m,使得任意的n均有Snn(12 - an )总成立？若存在，求出 m;若不存在，请说明理由.2 *8. 已知数列an的各项均为正整数，且满足an+1=an 2nan+2 (n N ),又a5=11.(1 )求a1, a2, a3, a4的值，并由此推测出an的通项公式(不要求证明)；(2)设 bn=11 an, Sn=b1 + b2+ +bn,Sn= |b1 | + |b2|+ +|bn |,limn_.Sn的值.Sn9. 设f ( k)是满足不等式log2X+log2 ( 3 2k 1 x) 2k 1 ( k N*)的自然数x的个数. (1 )求f (k)的表达式；2(2)记