数理统计的基本概念习题及答案

1、第六章数理统计的基本概念一.填空题1.若1,2,口是取自正态总体N(,2)的样本,-i服从分布N(nii2.样本(XhX2,Xn)来自总体XN(,2)则(n21)Sn2X(n2).n1).(X)t(n1)。其中X为样本均值，S；Sn一1-2(XX)2n1i13.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0.22)的简单随机样本，Xa(X12X2)2b(3X34X4)则当aa工时bb1'-20-'-1002时，统计量X服从X分布，其自由度为2_.4.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布N(0，9),而(X1,X2,L,x9)和(y1，y2,L,y9)是分别来自总体和的简单随机样

2、本，则统计量X1X2LX9t(9)5 .设XN(0,16),YN(0,9),X,Y相互独立，区与XXL,4分别为X与Y的一个简单随机样本，则X12X2L-X服从的分布为F(9,16)._Y2Y2L丫66 .设随机变量XN(0,1),随机变量丫2(n),且随机变量X与Y相互独立，X令T-,则T2_F(1,n)分布.在XcX2解：由T，得T2.因为随机变量XN(0,1),所以X22(1).Y丫nn再由随机变量X与Y相互独立，根据F分布的构造，得T2”F(1,n).1nX27.设Xi,X2,L,Xn是总体N(0,1)的样本，则统计量'服从的分布为n1k2X2n222(1), Xk (n k

3、21),于是F(n1,1)一(需写出分布的自由度).解：由XiN(0,1),i1,2,L,n知X；nX： (n 1)k 12X1 /11 n x n 1 k 2 X2F(n 1,1).28.总体X N(1,2 ), X1, X2, X3,X4为总体X的一个样本，设Z(X1 X2)2(X3X4)2从F(1,1)_分布(说明自由度)解：由X1X2 N(0,22),有2X1 X2F一2(1),又X3X4 N(0,22),故因为X1 XX3X4,2X3 X422 独立,2(1),所以2X1 X22F(1,1).X3 X49.判断下列命题的正确性:(在圆括号内填上对”)若 E(?)值与总体方差 的一致估

4、计。2都存在0则称$为的渐近无偏估计量.(错设总体X的期望E(X),方差D(X均存在，X1,X2是X的一个样本,12则统计量-x1-x2是E(X)的无偏估计量。(对)33若E(?1)E(?2)且D(?1)D(?2)则以$2估计较以1估计有效。(错)（5）设'n为的估计量，对任意>0，如果limP|'n|n-$0则称n是的一致估计量。（6）样本方差DnXi一2一、，一X是总体XN（,2)中2的无偏估计量。D*Xi2X是总体X中2的有偏估计。10.设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计,1XAX1Xi?1X1X%u?IX9X-IX15X1wX22X3,u

5、?23X1ZX2万,乌3X1；X2而X3都是总体均值的无偏估计,其中方差越小越有效，则2最有效.二、选择题1、设总体服从正态分布的一个样本，则非统计量是（N(N,D).2），其中已知,未知,2,3是取自总体slA、C、2、设3(1max(23)2,3)n是来自正态总体一22(i)，S3ni11的t分布的随机变量是B、D、A、3、设S1/.n1_2N(1,2)，B、A、C、N(0,1)2/.nN(0,1)N(,(ii1).S2/n132)2）的简单随机样本C、S3/<nn为的样本，则(c).B、D、141N(0.1)N(0,1)s2D、一）2，2）2,则服从自由度为4、设则有（C）1,2,

6、n是总体N(0,1)的样本,S分别是样本的均值和样本标准差，A、nN(0,1)B、N(0,1)C、22ix(n)D>/St(n1)5.简单随机样本（X1,X2,Xn）来均值，则下述结论不成立的是（某正态总体，X为样本平）。2.(XiX?独立(b)Xi与Xj独立(当ij)n(C)Xii12Xi独立2.(D)Xi与Xj独立(当ij)6.设X1,X2,Xn1,来自总体X,XN(体Y£YN(22),且x与丫独立。X)，丫1，丫2,n1n1i1Xi,Y,Y1nn2来自总2n2i1Yi,1n1S2m一(Xi,n1i1则如下结论中错误的是2X)2,n2(D)。(XY)(12)m1)门2他1)

7、nS2221n2s2n2n2in2i(Yi,12Y)2,22n227.设X1,X2,Xn是取自总体(A).A、一nnXi2i1B、8.3、设X1,X2,X3是来自母体A、B、1一1一5一XX2X3412?1,?2,?3都是?1,?2,?3都是2-1C、-3?1,?2,?3都是3-2D、1?1,?2,?3不全是计算题22.n1n2N(0,1)F(ni1,2,(n1n2t(1N(0,nXi2i1n21)n22)2)2)的样本，则可以作为1nCXini1Dk的无偏估计量是X的容量为3的样本，?15X11n1Ax10111-X1X2X3,则下列说法正确的是362Xi2X3，(B).E(X)的无偏估计且

8、有效性顺序为?1?2?3E(X)的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为E(X)的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为E(X)的无偏估计，无法比1、在总体XN(30,22)中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在29到31之间取值的概率.222解：因 X N(30,22),故 X N(30,)，即 X 16X 30P(20 X 31) P( 2 1 2)(2)22、设某厂生产的灯泡的使用寿命 X N(1000,1 2N(30叼 )(2) 2 (2) 12)(单位:小时),0.9544抽取一容量为9的样本，其均方差S100,问P(X940)是多少2解：因2未知，不能用XN(1000,)来解题，

9、nt(8)X而Tt(n1)SnP(X 940)P(XP(X 940)P(TS 3 (940940S100,1000由表查得P(X940)3,1000) 3) 100P(T1.8)P(T1.8)P(T 1.8) 0.0563、设X1,X2, X7为总体X N(0,0.52)的一个样本,P(72Xi 4).1解：X N(0,0.52)77_22(2Xi)4 Xii 1i 12Xix2(7)N(0,1)7_2P( Xii 14)7P(4i 1Xi216) 0.0254、设总体XN(0,1)，从此总体中取一个容量为6的样本Xi,X2,X3,X4,X5,X6,设Y(X1X2X3)2(X4X5X6)2,试

10、决定常数C,使随机变量CY服从x2分布.解：X1X2X3N(0,3),X4X5X6N(Q3)X1 X23Xi X2(、3X3X4N(0,1),X5 X636 N(0,1)X3)2 (X4 X5X6)2 x2、3rr 1即 _(X1 X23X3)23(X4 X5 X6)2 x21r-2C，时，CYx2(2)35、设随机变量解：因为TT服从t(n)分布，求T2的分布.X 一 2,、，其中 X N (0,1) , Y x2(n),Y/n6.7.T2解:X2Y/n2X /1Y/nN(0,_ 2 一T F(1,n)计算分位数 (50)的近似值。1) , P( < )=)当n足够大时，t分布近当uN

11、(0, 1)时，分位数p u =时，2 ,(50)似 N(0, 1),ui-2t1.(n)。X1 ,X 2 , Xn 为来自有均r阶中心矩r的矩与样本上述结的样本，试证明r阶矩有什么关系1 n-Xin i i果表明总体r阶中心矩是总体1 n一Xin i 11 n-E Xi n i 1r阶矩与r o又此式说明总体的相等，说X的r阶中心矩 r的无偏8.设总体XN(0,22),X1,X2,L,X10为来自总体X的样本.令52102YXiXj.1 1j6试确定常数C使CY服从2分布，并指出其自由度.解：由XN(0,22),得富N(0,1),i1,2,L,10.又X1,X2,L凶。互相独立,15110故

12、一XN(0,5),一XjN(0,5),2 i12j6j10XiXji1一N(0,1),一N(0,1),2525且二者独立从而有12052Xii 110Xj j 62 2(2),19,、得C,2分布的自由度为2.209.设X1,X2,L ,X4与Y,Y2,L ,丫5分别是来自正态N(0,1)的总体X与Y的样4_5_本,Z(XiX)2(YiY)2,#EZ.i1i1n2(XiX)解:方法1:由22(n1),E2(n1)n1,2145_可得(XiX)22(3),YY)22(4),EZ347.i1i121n2方法2:QE(S2)E(XiX)2DX1,n1i1EZE(3S24s2)3ES124ES；347