材料力学B第13章能量方法

1、第十三章 能量方法第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学储存在弹性体内的变形能等于外力所作的功，即储存在弹性体内的变形能等于外力所作的功，即:功能原理功能原理变形能变形能外力所作之功外力所作之功WU 13.1 概述概述第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学dx+ dxdxFNFN13.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算1 轴向拉伸或压缩轴向拉伸或压缩220d22lNNFF lUEAEAx对于整个杆件，变形能为对于整个杆件，变形能为应变能密度为应变能密度为12u应变能密度应变能密度12u2 纯剪切纯剪切第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学3 扭转扭转变形能变形能对于无限小量对于无

2、限小量dx ，外力偶所做的功为，外力偶所做的功为PddxMxGI整个圆轴的变形能为整个圆轴的变形能为第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学dq 转角转角4 弯曲弯曲忽略剪力影响，无限小量忽略剪力影响，无限小量dx的变形能为的变形能为整个梁的变形能为整个梁的变形能为应变能密度应变能密度12u第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。二分之一的总和。-克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理 Fi 广义力d di 广义位移13.3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式第十三章第十三章 能量方法能量方

3、法材料力学整个杆件的应变能整个杆件的应变能限制条件限制条件以上各式必须满足的条件以上各式必须满足的条件 * 小变形小变形 * 线弹性体线弹性体第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学例例 13-1 如图所示，简支梁受均布载荷作用，载荷密度为如图所示，简支梁受均布载荷作用，载荷密度为q ，梁长，梁长度为度为l ，常值刚度，常值刚度EI ，计算梁的变形能。，计算梁的变形能。wxlyABqx第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学解解 :由梁的挠曲线方程为由梁的挠曲线方程为lxlxlxEIlqw44334224(1)例例 13-1计算梁的变形能。计算梁的变形能。方法方法 1 先计算外力所做的功。

4、先计算外力所做的功。载荷作的功为载荷作的功为wxqWld210(2)wxlyABqx第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学25240qlUWEI将方程（将方程（1）代入方程（）代入方程（2），得梁的变形能为），得梁的变形能为lxlxlxEIlqw44334224(1)wxqWld210(2)方法方法 2 直接计算变形能直接计算变形能25240qlUWEI第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FP 力系FS 力系FP1FP2FPm P1 P2 PmFS1FS2FSn S1 S2 Sn13.4 功的互等定理功的互等定理第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学功的互等定理证明功的互等定理证

5、明FS1FS2FSnS1S2SnSP1SP2SP mFP1FPmP1P2PmFP2FP 力系FS 力系第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSnS1S2S nFS2FS1FSnFP 力系FS 力系功的互等定理证明功的互等定理证明第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FS1FS2FSnS P1S P2S P mFP1FPmP1P 2P mFP2FP1FP2FPmP1P2P mPS1PS2PSnS 1S 2S nFS2FS1FSn第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学S1 PS1S2 PS2SPS nnF F F 功的互等定理功的互等定理 对

6、于线弹性体，力系1在力系2所引起的位移上所作之功，等于力系2在力系1所引起的位移上所作之功。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学特殊情况特殊情况iFi i ij j ij j jFji i j = 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学iFi i ij j i j ji i jFjjFi位移的互等定理位移的互等定理如果两个力数值相等，则如果两个力数值相等，则Fi在点在点j沿沿Fj方向引起的位移，等于方向引起的位移，等于Fj在点在点i沿沿Fi方向引起的位移方向引起的位移.力和位移都是广义的。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学ijji BAABqq第十三章第十三章 能量方法能量方

7、法材料力学iAAiFMq第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学F1如图所示，弹性材料构件上作用有如图所示，弹性材料构件上作用有n个外力个外力Fi(i=1 n).F2FiFn121(,.,)2niiUU F FFFdd2didnd1第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学F1F2FiFnd2d3dnd1121(,.,)2niiUU F FFFddid1dnd212iiFd iiiiFFFFUdddd221121iiFFFUddd2211Fi第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学iiUFd iiUFdiiUFdFi 广义力广义力d di 广义位移广义位移F1F2F3Fnd2d3dnd1d

8、3d1dnd2iiiiFFFFdddd2211第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学iiUMq注意注意第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学( )( )iliM xM xdxEIFd常用公式常用公式( )( )xxilpiMxMxdxGIFd1nNj jFjijjiF lFEAFd第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学用卡氏定理计算悬臂梁截面用卡氏定理计算悬臂梁截面A的位移和转角。的位移和转角。( )MxxF33FLEI求导求导( )MxxF( )( ) dALUM xM xfxFEIF20dLFxxEIALFEIxO 例例 13-2计算弯矩计算弯矩第十三章第十三章 能量方法能量方

9、法材料力学 计算 q qA( )AMxxFM因为截面A处没有与qA有关的力，假想的加上一个力。22FLEI “-”意味着转角qA方向与MA方向相反.1)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()( q0dLFxxEIMAALFEIxO MA=0 计算弯矩计算弯矩第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学图示桁架在图示桁架在B点受力点受力F作用，利用卡氏第二定理计算作用，利用卡氏第二定理计算C点在垂直方向的位移。点在垂直方向的位移。例例 13-3解解:F第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学2712NiiiF LUEA变形能0202020202022222221LFLFFLFFLFLFL

10、FEAU第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学0202020202022222221LFLFFLFFLFLFLFEAUdC0012 24 22CUFFLFFLFEAd 00144 22CF LF LEAd02 12 FLEA第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学假定桁架为轻质铝桁架，假定桁架为轻质铝桁架，E=70GPa, 高度高度 Lo=1m,管状杆截管状杆截面积为面积为250 mm2. 当当B点受载荷点受载荷F=20kN作用时，求作用时，求C点的位点的位移。移。2 12 (20000)200070000(250)11.03cmmd02 12CFLEAd第十三章第十三章 能量方法能量方

11、法材料力学弹性体平衡的充分必要条件是，外力在虚位移上所作弹性体平衡的充分必要条件是，外力在虚位移上所作总虚功，与内力在相应虚变形上所作总虚功相等。总虚功，与内力在相应虚变形上所作总虚功相等。外力虚功等于内力虚变形能。外力虚功等于内力虚变形能。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学虚功原理应用虚功原理应用AAq(x)计算计算A点位移点位移A.=1F0单位力A第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学计算计算A点位移点位移A.0AFMdq 1AMdq AMdq MddxEIqAMMdxEI AAq(x)=1F0单位力A第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学 - 莫尔积分公式莫尔积分公式莫尔

12、积分的统一表达式莫尔积分的统一表达式. dAlMMxEI用这种方法可以计算任意点沿任意方向上的位移，该方法称用这种方法可以计算任意点沿任意方向上的位移，该方法称为莫尔积分法、或莫尔原理、莫尔法，或单位力法、单位载为莫尔积分法、或莫尔原理、莫尔法，或单位力法、单位载荷法。荷法。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学-外力在原结构上产生的内力外力在原结构上产生的内力-只有单位力作用时原结构上产生的内只有单位力作用时原结构上产生的内力力 如果杆的数量是如果杆的数量是2或大于或大于2，且轴力为常值，则，且轴力为常值，则:注意单位力的使用方法注意单位力的使用方法:)NxaFMM， )NxbFMM，

13、ilpixixiiliiiiiiNiNiiidxGIMMdxEIMMEAlFF第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学莫尔积分法适用于线弹性结构莫尔积分法适用于线弹性结构.必须分别在相同的必须分别在相同的坐标系内，但是不同分段内可能有不同的坐标系。坐标系内，但是不同分段内可能有不同的坐标系。和和单位力是广义力，可能是力或力偶。单位力是广义力，可能是力或力偶。NxFMM，NxFMM，第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学单位力单位力 线位移线位移单位力偶单位力偶 角位移角位移单位力或单位力偶的值必须是单位力或单位力偶的值必须是1。 当单位力是一个力时，相应的当单位力是一个力时，相应的是线位

14、移。是线位移。 当单位力是力偶时，相应的当单位力是力偶时，相应的是角位移。是角位移。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学 若要计算两点（横截面）之间的相对位移，应该在若要计算两点（横截面）之间的相对位移，应该在两点（横截面）分别施加两个单位力（力偶）。两点（横截面）分别施加两个单位力（力偶）。 一对单位力一对单位力 相对线位移相对线位移 一对单位力偶一对单位力偶 相对角位移相对角位移第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学图示刚架的自由端图示刚架的自由端A作用集中载荷作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。若不计轴力和剪力对位移的影响，试度已于图中标出。若不计

15、轴力和剪力对位移的影响，试计算计算A点的垂直位移点的垂直位移y y及截面及截面B的转角的转角B B。例例 13-4ABCalFEI1EI2x1x2ABCx1x21解解:建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。（1）计算）计算A点的垂直位移。点的垂直位移。)()(xMxMA和和 刚架在各段内的刚架在各段内的力，计算力，计算点作用垂直向下的单位点作用垂直向下的单位 在在AB段：段：11)(FxxM11)(xxMBC段：段：FaxM)(2axM)(2第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学使用莫尔定理计算：使用莫尔定理计算：layEIxxMxMEIxxMxM0222201111d)()(d)()(

16、dlaxaFaEIxxFxEI02201111d)(1d)(122133EIlFaEIFaAB段：段：11)(FxxM11)(xxMBC段：段：FaxM)(2axM)(2ABCalFEI1EI2x1x2第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学使用莫尔定理计算：使用莫尔定理计算：laBEIxxMxMEIxxMxM0222201111d)()(d)()(qlxFaEI022d) 1)(12EIFalAB段：段：11)(FxxM0)(1xMBC段：段：FaxM)(21)(2xMABCalFEI1EI2x1x2（2）计算）计算B截面的转角。截面的转角。在截面在截面B上作用一单位力偶矩。上作用一单位力

17、偶矩。ABCx1x21（ ）第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学求解弯曲问题的莫尔积分公式求解弯曲问题的莫尔积分公式dAlMMxEI如果如果 EI=常数常数, 则则1dAlMM xEI13.8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法对于直杆对于直杆, 必定是必定是x的线性函数，因此的线性函数，因此Mw w是什么是什么? ?是什么是什么?1dCAlMMM xEIEIw第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学CMEIw)d(tand1xMxxMaEIxxaMEId)tan(1lxEIMMdlxMMEId1dw1tan ()CaxEIww1(tan )CaxEI wCMtanxaMdwMd

18、wM第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学wCM内力图面积内力图面积.内力图形心内力图形心C处的单位力图的值处的单位力图的值.莫尔积分图乘法公式莫尔积分图乘法公式CMEIwlxEIMMd这里这里 等截面杆 (EA、GIP、EI=常数).实际上该公式也可用于求解轴向拉压和扭转问题，只是需要相实际上该公式也可用于求解轴向拉压和扭转问题，只是需要相应的改变内力和刚度。应的改变内力和刚度。使用该公式的先决条件使用该公式的先决条件第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学w23lhw13lhhl3l/4l/4h5l/83l/8lCC第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学abhC3a3b三角形h2

19、1whC21nn21nn次抛物线hn11w第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学例例 13-5如图所示的梁，已知抗弯刚度如图所示的梁，已知抗弯刚度EI、载荷、载荷F 、长度、长度l ，用图乘法计算自右端用图乘法计算自右端B的位移和转角。的位移和转角。FBAl解解:1) 计算计算B点位移点位移a) 建立单位力系建立单位力系1BAl第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FBAlb) 画弯矩图画弯矩图 1BAxMFllxMw wCMc) 计算计算 ( )( )dCfBlMM x M xxEIEIw212()23FllEI 33FlEI第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FBAl2) 计

20、算计算B点转角点转角a) 建立单位力系建立单位力系1BAl第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FBAlb) 画弯矩图画弯矩图xMFlxMw wCMc) 计算计算( )( )dCBlMM x M xxEIEIqw21( 1)2FlEI 22FlEI11BAl（ ）第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学例例 13-6如图所示的梁，已知抗弯刚度如图所示的梁，已知抗弯刚度EI、载荷密度、载荷密度 q 、长度长度l ，用图乘法计算自右端，用图乘法计算自右端B的位移和转角。的位移和转角。B解解:1)计算计算B点位移点位移a)建立单位力系建立单位力系1BAlAlq第十三章第十三章 能量方法能量方法

21、材料力学b)画弯矩图画弯矩图 1BAxMlxMw wCMc)计算计算( )( )dCfBlMM x M xxEIEIwAlqql22213324lqllEI48qlEI（ ） 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学2)计算计算B点转角点转角a)建立单位力系建立单位力系1BAlAlq第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学b)画弯矩图画弯矩图 xMw wCMc)计算计算( )( )dCBlMM x M xxEIEIqwAlqql2221132lqlEI36qlEI xM11BAl（ ）第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学本章完本章完第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学1.1 T

22、he assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integralExample 10-10如图所示的梁，已知抗弯刚度如图所示的梁，已知抗弯刚度EI 、力偶、力偶m和长度和长度l ，用图乘法计算中心截面用图乘法计算中心截面C的位移。的位移。Solution: 1) 建立单位力系建立单位力系mBAl/2Cl/21BAl/2Cl/2第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 C

23、hart multiplication method of Mohrs integralSolution:2) 画弯矩图画弯矩图xMw wCM3) 计算计算( )( )dCfClMM x M xxEIEIw124llmEI28mlEI ( )xMmBAl1BAl/2Cl/22lm第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integralExample 10-11如图所示的梁，已知抗弯刚度如图所示的梁，已知抗弯刚度EI

24、 、载荷密度、载荷密度q和长和长度度l ，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。Solution: 1) 计算最大位移计算最大位移 ABql1 ABl第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral解解:xMw wCMmaxiiCffCMEIw 222532832lqllEI45384qlEI ( )xM ABqlCl/2l/21 AB28ql4l5l/8第十三章第十三章

25、 能量方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integralExample 10-11如图所示的梁，已知抗弯刚度如图所示的梁，已知抗弯刚度EI 、载荷密度、载荷密度q和长和长度度l ，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。，用图乘法计算梁的最大位移和最大转角。Solution: 2) 计算最大转角计算最大转角 ABql1 ABl第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanic

26、s of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integralSolution:xMw wCMmaxCABMEIqqqw 2121382qllEI 324qlEI xM ABql28ql ABl11第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学Example 10-12钢架承受载荷如图所示，已知：钢架承受载荷如图所示，已知：BC段抗弯刚度段抗弯刚度为为2EI ，AB段抗弯刚度为段抗弯刚度为EI ，抗拉刚度为，抗拉刚度为EA ，q, l. 求求: 1) B点的水平位移点的水平位移. 2) 分析轴力对分析轴力对B点水平位移的影响。点水平

27、位移的影响。FP=qlqACBll1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学Loading systemFP=qlqACBllACBllUnit-force system11.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral第十三章第十三章 能量方法能量方法材

28、料力学C2C1画出由实际载荷引起的弯矩图。画出由实际载荷引起的弯矩图。qACBFP=qlACB为了计算曲线弯矩图面积和确定形心为了计算曲线弯矩图面积和确定形心位置方便，应用叠加原理将集中载荷位置方便，应用叠加原理将集中载荷和均布载荷的弯矩图分别画出。和均布载荷的弯矩图分别画出。 ql2ql2C31.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral加载系统加载系统FP=qlqACBll第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学ACBll1ACBll111

29、1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral画出单位力产生的弯矩图画出单位力产生的弯矩图单位力系单位力系第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学C2C1BACll1FP=qlACBql2ql21.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral用叠加法计算用叠加法计算qACBC3第十三章第十三章 能量

30、方法能量方法材料力学1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.8 Chart multiplication method of Mohrs integral当当 l/h10是，该比值为是，该比值为0.06. 这表明对于细长杆来说，忽略这表明对于细长杆来说，忽略轴力影响的计算结果不会产生明显的误差。轴力影响的计算结果不会产生明显的误差。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学变力所作的功变力所作的功 在外力作用下的弹性杆件将在力的作用点处产生在外力作用下的弹性杆件将在力的作用点处产生位移。位移。 位移将随着力和变形的增大而增大。位移将

31、随着力和变形的增大而增大。 这种情况下，力所做的功是变化的。这种情况下，力所做的功是变化的。1.1 The assignment of the Mechanics of Materials10.2 Calculation of deformation energy of bars第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学P21FW 对于弹性杆，力所做的功为对于弹性杆，力所做的功为:问题问题: 该公式的限制条件是什么该公式的限制条件是什么?FPO0FP变力所作的功变力所作的功问题问题: 对于三种基本变形，功的对于三种基本变形，功的表达式是什么表达式是什么?1.1 The assignment o

32、f the Mechanics of Materials10.2 Calculation of deformation energy of bars第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学当力保持常值不变时，力所做的功为当力保持常值不变时，力所做的功为: 需要注意的是，这里的力和位移都是广义的，需要注意的是，这里的力和位移都是广义的， FP可能可能是力或力偶是力或力偶. 当当FP是力时，相应的是力时，相应的和和是线位移，当是线位移，当FP为力偶时，为力偶时，相应的相应的和和是角位移是角位移 。 FPFPFWP常力所做的功常力所做的功第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FP1FP2FPm

33、FS1FS2FSn SP1 SP2 SPmFP 力系FS 力系功的互等定理功的互等定理第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学FP1FP2FPmFS1FS2FSn P S1 P S2 P SnmmFFF PSSPS22SPS11S FP 力系FS 力系S1 PS1S2 PS2SPS nnF F F 功的互等定理功的互等定理 对于线弹性体，力系1在力系2所引起的位移上所作之功，等于力系2在力系1所引起的位移上所作之功。第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学BC0F =1例例 13-4 使用能量法计算柱状梁上使用能量法计算柱状梁上C点的位移和转角。点的位移和转角。2)(2qxaqxxM ;(0)2( )(2) ;(2 )2xxaM xxaxaxaSolution: 1) 画出单位力图画出单位力图2) 确定内力确定内力AqCaaABBACaaABx第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学20( )( )( )( )dd aaCaM x M xM x M xfxxEIEI0( )( )2daCM x M xfxEIEIqaxxqxqaxEIa245d2)2(24023） 计算变形计算变形对称性对称性 1.1 The assignment of the