三角形的内切圆和外接圆

1、三角形外接圆半径的求法及应用方法一：R=ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的咼所得的商人。是厶 ABC 的高，人丘是厶 ABC 的外接圆直径.求证 AB AC= AE- AD证：连接 A0 并延长交圆于点 E,连接 BE,则/ ABB 90vZE=ZC,/ABE=ZADC= 90 RtAB0 RtADCAB AEAD AC AB- AOAE- AD方法二：2R=a/SinA,a为ZA的对边在锐角 ABC 中，外接圆半径为 R。求证：2R= AB/SinC证：连接 A0 并延长交圆于点 E,连接 BE,AE= AB/Si nEvZC=ZE,SinC=SinEAE= AB/

2、Si nC 2R= AB/Si nC若 C 为钝角，贝 S SinC = Sin (180 C)应用一、已知三角形的三边长,求它的外接圆的半径例 1已知：如图，在厶ABC中，AC=13,BC=14,AB= 15,求厶ABC外接圆OO的半径r.分析：作出直径AD构造RtABD.只要求出厶ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径解：作AE! BC,垂足为E.设CE= x,vAC-CE2=AE=AB-BE2, 132-X2=152-(14-X)2x=5,即CE=5, AE=12 R=ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8AD.LE65ABC外接圆OO的半径r为.8例 2 已知：在

3、厶 ABC 中, A 吐 13, BC= 12, AO 5,求厶 ABC 的外接圆的半径 R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径例 3 已知：如图，在 ABC 中，AO2, BO 3,ZC= 60,求厶 ABC 外接圆OO 的半径 R. 分析：考虑求出角的对边长 AB,然后用方法一或方法二解题.解：作直径 AD 连结 BD.作 AE BC 垂足为 E.则/DBA= 90, /D=ZC=60 ,/CAE=ZDAB= 90 -60=30CE = 1AO 1, AE=苗,AB=7 R=AC AB/2AE

4、=2x7/(2x 典) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径用方法得R=14 ,则厶 ABC 外接圆面积 S=nR= 196n.例 5 如图 3,已知抛物线 y = x2 4x+ h 的顶点 A 在直线 y= 4x 1 上, 求抛物线的顶点坐标；2抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标；y T3厶 ABC 的外接圆的面积.,”解 A(2 , 9);B( 1, 0) ; C(5 , 0).例 4 已知 AD=5,AC=7,CD=3,AB=103,求它的外接圆的半径解从 A 作 AMLBC 于 M 则ADMD=AM=AC (MD+ CD).即卩 52 MD=

5、72 (MD+ 3)2.2R =AB * ACAM10D 2从 A 作 AMLx 轴交于 M 点， 贝 U BMhMC= 3. AM = 9./. AB=AC = J+ 3 =3A/10,AB AC 3V10 * 3V10. 2k =- - -AM9i R= 5 ABC 外接圆面积 S= nR= 25 n三角形内切圆半径r的求法1TSAAB(=1/2(a+b+c)rr=2SABC(a+b+c)2 Rt ABC 中尸(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、 三角形的外接圆(1) 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形 的外心。三角形的外心到各顶点

6、的距离相等.(2) 锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形 的外心在斜边中点，外接圆半径R = ( c为斜边长).2、 三角形的内切圆(1) 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线 的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部.(2) 若三角形的面积为SABC，周长为 a+b+c,则内切圆半径为:r =2SABC，当a,b为a +b +c直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径 r 虬或 r =ab-ca +b + c23、 圆内接四边形的性质(1) 圆内接四边形的对角互补；(2) 圆内接四边

7、形的任何一个外角等于它的对角.注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形.4、 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.【典型例题】、填空和选择(1) 一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是()A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形(2) 如右图，I 是 ABC 的内心，贝 U 下列式子正确的是()A、/ BIC=180 -2 / A B、/ BIC=2/ A C、/ BIC=90 +ZA/2 D、/ BIC=90 - / A/2(3)ABC 外切于。O, E、F、G 分别是。O 与各边的切点，贝打 EFG 的外心是

8、ABC 的_ (4)_ 直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,那么它的外接圆的半径为 _，内切圆半径为_ .(5) 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r,R，则 r :R=_ .(6)_ 圆外切等腰梯形底角为 60，腰长为 10,则圆的半径长为 _.(7)_等边三角形一边长为 2,则其内切圆半径等于 _.(8)_ 等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 _ .(9)ABC 的内切圆OI 与 AB BC CA 分别切于 D E、F 点，且/ FID=/EID=135，贝厂 ABC为_ 例 2 .如图， ABC 中, I 是内心，AI 交 BC 于。，交厶 ABC 的外接圆于 E

9、。求证：(1) IE=EC, (2) IE2=EDEAE例 3如图，已知:ABC 内接于。O, AE 切。O 于点A, BC/ AE,求证：BC 是等腰三角形例 4.已知 ABC 三边长为 6, 8,10,则它的内心，外心间的距离为【经典练习】、选择题1.2.下列命题中，正确的有（） 圆内接平行四边形是矩形圆内接梯形是等腰梯形A . 1 个 B . 2 个在圆内接四边形 ABC 冲，/ A:A . 80 B . 90圆内接菱形是正方形圆内接矩形是正方形.3 个 D . 4 个C/ B:/ C=3: 5: 6,那么/ D=（C . 100D . 120如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆

10、的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）3.3三 C .二 D4:4.如图A1,四边形 ABCD 内接于。O,若/ BOD=110 ,.125B . 110贝 U/ BCD=(D).70D图 1图 2C . 55图 35. 如图 2,四边形 ABCD 内接于OO,/ ADC=60，则/ ABC=()A. 30B. 60 C. 120 D .906. 如图 3,正方形 ABCD 内接于。O,点 P 在卞 D 上，则/ BPC*()A. 35B . 40C. 45 D .507. 如图 4,MNPQ中，过点 Q M 的圆与 PQ MN 分别相交于点 E、F,下列结论中正确的 有( )

11、/EFN/ Q=Z N;/ EFN+/ P=180; EF=PN=MQ/ M=/ FERA . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个8. 如图 5,四边形 ABCDIOO 的内接四边形，AD 为OO 的直径，若/CBE=50，则圆心角/AOC= ()A . 50 B . 80 C . 100D . 130、填空题9 .设 I 是厶 ABC 的内心，O 是厶 ABC 的外心，/ A=80o,则/BIC=_ , / BOC=_10 .若三角形的三边长为 5、12、13,则其外接圆的直径长等于 _，其内切圆的直径长为_ 。11 .直角三角形的一边为 a,它的对角是 30,则此三角形

12、的外接圆的半径是 _ 。12.如图 6,OI 切厶 ABC 于 D E、F,/ C=60 , / EIF=100，则/ B=_ 。则/ OAC=_ , / B=_ ;若 AB=2cm 贝 U AC=, ABC 的外接圆半径=_，内切圆半径=_ 。13.如图 7,图 7图 8/ C=90 , D E、F 为切点。若/ AOC=120 ,P图 6BAD9C14. 如图 8,若弦 AD/ BC, / BAC=70 , / ABC=80 ,则/ ADC _度，/ ACD _ 度。15. 如图 9,四边形 ABCD 为O0 的内接四边形，AELCD 若/ ABC=130，则/DAE=_。16._ 如图

13、10,四边形 ABCD 是O0 的内接四边形，AB 与 DC 的延长线交于 P。已知/ A=60 , / ABC=100，贝U/P=。【大展身手】、选择题2.下列命题中的假命题是（ ）A .三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B .三角形的外心到三角形三边的距离相等C .三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D .三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3.下列图形一定有外接圆的是（ ）A .三角形B平行四边形C梯形D.菱形4.下列说法正确的是（ ）A .过一点 A 的圆的圆心可以是平面上任意点B .过两点 A、B 的圆的圆心在一条直线上C .过三点 A、B C 的圆的圆心有且只有一点

14、D .过四点 A、B C D 的圆不存在A B图 101.下列说法正确的是（A .三点确定一个圆）B.三角形有且只有一个外接圆C .四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形5.在 Rt ABC 中，/ C=90, AC=6cm BC=8cm 则它的外心与顶点 C 的距离为（A . 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的()倍.A .仝B.昌C.3D.12327.三角形的外心具有的性质是（)A .到三边距离相等B. 到三个顶点距离相等C .外心在三角形外D. 外心在三角形内8.对于三角形的外心，下列说法错误的是()A .它到三角形三个顶点的距离相等B .它与三角形三个顶点的连线平分三内角C .它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D .以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A .菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形10. 如图所示，圆的内接四边形 ABCD DACB 延长线交于 P, AC 和 BD 交于 Q则图中相似二、填空题:ABC 的三边 3, 2，13，设其三条高的交点为 H,外心为 O,则2.AABC 的外心是它的两条中线交点，则 AB