2012年高考数学《直线和圆》专题 曲线与方程学案

1、典型例题基础过关第4课时 曲线与方程、1直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）2求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等例1. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解 ：设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点，A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1

2、：已知两点M（-2，0）、N（2， 0），点P为坐标平面内的动点，满足|+ ·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+·=0，·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.例2. 在ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是（ ）A.=1 (y0)B.=1 (x0)C.=1（y0）的左支D.=1（y0)的右支答案D变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1

3、及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x-1).例3. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足

4、APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），即,=(x0,-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)·（1，-y0）=0,x0+=0.小结归纳-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x. 1直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用