高一数学上 第二章 函数：函数2.1.2优秀教案

1、2.2 函 数教学目的 以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；掌握函数的三种主要表示方法(解析法、列表法、图象法)；能够正确使用“区间”、“无穷大”等记号；会求某些函数的定义域和值域，会画一些简单函数的图象.重点难点重点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.教学设想 1.教法 2.学法 3.课时教学过程 §2.2.1 函 数(一) -函数的概念和表示方法教学目的以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；掌握函数的三种主要表示方法(解析法、列表法、图象法).重点难点重

2、点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.教学过程一、复习引入 复习提问：在从集合A到集合B的映射中，对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中是不是一定有象？是不是只有一个象？答：必定有象，且只有一个象.对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一个原象？答：对于集合B中任意一个元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象时，也不一定只有一个.复习引入：我们在初中已经学过函数，例如，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.那么函数的概念是什么？在初中我们是怎样定义它呢？那时的定义可叙述为：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一

3、的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.我们回想映射的定义，不难知道，上面所说的函数实际上就是集合到集合的一个特殊映射f：AB，构成这种映射的集合，是非空的数集，而且对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域，显然CB.这种用映射刻划的函数定义是我们高中阶段学习的函数定义.二、学习、讲解新课 用映射刻划的函数定

4、义如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.例如，一次函数是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：AB，它使集合B中的元素y=ax+b(a0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)= ax+b(a0)，集合A为定义域，集合C（C=R）为值域（这里C=B）.反比例函数是集合A=x|x0到集合B（B=R）的映射f：AB，它使集合B中

5、的元素y=k/x(k0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)= k/x(k0)，集合A为定义域，集合C=y|y0为值域（这里CB）.二次函数是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：AB，它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)= ax2+bx+c (a0)，集合A为定义域，当a>0时，集合C=y|y(4ac-b2)/4a为值域；当a<0时，集合C=y|y(4ac-b2)/4a为值域（这里CB）. 函数的三要素函数符号y=f(x)的含义：它表示y是x的函数，而不是f和x的乘积.其中f表示对应法则，小括号表示把对应法则f施加于x这个变量之

6、上，而等号表示施加之后对应于y.例如，f(x)=2x2+3,这里是用一个代数式把f所表示的对应法则具体化了，就是说“把自变量x先平方再二倍再加3”即得x对应的函数值，而f就表示了这一套运算手续.另外，f还可能是由图表表示的数之间的对应法则(后面再举例).符号f(a)的含义：f(a)表示自变量x取a时所对应的函数值.f如果由解析式表达，则可算出f(a).例如，f(x)=x2+2x-1在x=0,x=1,x=2时的函数值分别为f(0)=-1， f(1)=2，f(2)=7；若f由图表给出，那么就可以通过点的坐标或查表找出f(a).要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f

7、(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值.函数的三要素：由函数的定义可知，函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，这三部分就叫做函数的三要素,而确定函数的要素是定义域和对应法则.当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了,至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，因此y=f(x)=x2与z=f(t)=t2表示的是同一函数.另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示它们.除了f(x)外还常用g(x),F(x),G(x)等符号.函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.解析法：

8、就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法

9、：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.例题评价例1(P54) 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).解：f(3)=3×32-5×3+2=14；f(-)=3×(-)2-5×(-)+2=8+5；f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a.

10、例2(补) 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).解：ff(x)=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；fg(x)=4g(x)+3=4x2+3；gf(x)=f(x)2=(4x+3)2=16x2+24x+9；gg(x)=g(x)2=(x2)2=x4.目标检测课本P56练习：1，2.(补充题) 已知f(x)=3x+1，求f(x2+1)与f(x2)+1相差多少.答案：课本练习：1.定义域是-3,-2,-1,0,1,2,3，值域是0,1,4,9 ；和x=-2对应的象是4；y=9和原象-3，3对应.2.f(0)=-3，f(2)=1，f(5)=7；函数的值域是-3,-1,1,3,7.(补充题)：解：f(x2+1)=3(x2+1)+1=3x2+4，f(x2)+1=3x2+1+1=3x2+2，而f(x2+1)-f(x2)+1=3x2+4-(3x2+2)=2，f(x2+1)与f(x2)+1相差2.三、小 结函数是一种特殊的映射f：AB，其中集合A，B必须是非空的数集；y=f(x)表示y是x的函数；定义域、值域