高等数学课件：8-1 向量及其线性运算

1、2022-1-121高等数学（下册）姓名：秦姓名：秦 绪绪 龙龙邮箱:电话：电话：1360242146613602421466Q Q: 2157333682022-1-122第八章 空间解析几何与向量代数（Vector Algebra & Space Analytic Geometry）数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法，向量法坐标法，向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）2022-1-123主 要 内 容第一节第一节 向量及其线性运算向

2、量及其线性运算 第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 2022-1-124第一节 向量及其线性运算 第六章第六章 （Vectors and their Linear Operations）四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 20

3、22-1-125一、向量概念(Concept of Vector).a或表示法:向量的模模 (module):向量的大小,21MM记作向量:(又称矢量矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或2022-1-12规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行平行,

4、ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线共线 .对于 k (3)个向量，将其起点置于同一点,若k个终点和公共起点在同一平面上，则称这k 个向量共面共面 .记作a ;2022-1-127二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba （VectorsLinear Operation）2022-1-128s3a4a5a2a1a54321

5、aaaaas2022-1-129三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0baba2. 向量的减法2022-1-1210aa 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 3. 向量与数的乘法2022-1-1211设 a 为非零非零向量 , 则( 为唯一的实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时

6、取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而定理1 2022-1-1212“ ”则,0 时当例例1 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD2022-1-1213xyz三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖

7、轴)过空间一定点 O ,o 坐标面 卦限(八个)(octant)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念（Rectangular coordinates system in Space）2022-1-1214xyzo向径 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;OMr rM在空间直角坐标系下，O2022-1-121

8、5坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2022-1-1216在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC2. 向量的坐标表示2022-1-1217四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba

9、),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数2022-1-1218求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(例22022-1-1219在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMO

10、AOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(例3 已知两点2022-1-1220得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时特别地，当点 M 为 AB 的中点中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:说明: 由2022-1-1221五、向量的模（Module）、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间

11、的距离公式两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA2022-1-1222)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M12M M由 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 62313M MM M可得即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰等腰三角形 . 为顶点例4 求证以2022-1-1223)7, 1 ,4(A解解

12、: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M练习练习: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?等距离的点 . 例5 在 z 轴上求与两点2022-1-1224(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,01447yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,1

13、43.BABABABA解答:2022-1-1225oyzx设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba2. 方向角与方向余弦(Direction Angle and Cosine)2022-1-1226oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位

14、向量向量 rrrr)cos,cos,(cos2022-1-1227)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例7 已知两点2022-1-1228解解: 已知依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹角 ,6AO且OAOAAO例8 设点

15、 A 位于第一卦限,2022-1-12293. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影(Projection) MM .uOe 空间一点在轴上的投影:ru设 ，则数数 称为向量 在 轴上的投影投影，记作 或 . OMe rrjuPrur)(则),(zyxaaaa 设,Prajaxx ,Prajazz ,Prajayy 或记作,)(xxaa ,)(yyaa .)(zzaa 过点 作轴 的垂直平面，交点 即为点 在轴 上的投影.MMuMu2022-1-1230性质性质1 cos)(aau cos|Praaju （ 即即 ）, 其中其中 为向量为向量 与与 轴的夹角轴的夹角; au性质性质2uuubaba

16、)()()( bjajbajuuuPrPr)(Pr （即（即 ）;性质性质3uuaa)()( ajajuuPr)(Pr （即（即 ）. MM .uOe r2022-1-1231OAOM例例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 , 求OA在OM方向上的投影Prj 。 aOA 解解 记 , MOA有,31cos OMOA 于是Prj OAOM.3cosaOA OAM 作业：习题习题8-1 3（题目修改为三等分，分点为（题目修改为三等分，分点为D1,D2，求题，求题中前中前2个向量）；个向量）；16；172022-1-1232内容小结1. 向量的概念及其线性运算向量的概念及其线性运算2. 空间直角坐标系空间直角坐标系3. 利用坐标变量作向量的线性运算利用坐标变量作向量的线性运算4. 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影2022-1-1233思考与