概率论：第七章习题课

1、数理统计数理统计 概率统计习题课七概率统计习题课七数理统计数理统计 一一填空题填空题：1）设设总总体体12( , ),01,nXB n ppXXX 为为其其子子样样，n及及p的的矩矩估估计计分分别别是是(),E Xnp 1 1解解： 由由 2222()()()(1),E XD XEXnppnp 2111,p 得得212112,n 数理统计数理统计 211,nSnpX 于于是是22,1XnnXSn 2111,niiXnpXX 故故2221,1niiXnXXXn 数理统计数理统计 一一填空题填空题：2）设设总总体体 120,(,)nXUXXX 是是来来自自X的的样样本本，则则 的的极极大大似似然然

2、估估计计量量是是10( )0 xf x 解解： 由由其其它它10,1,2,( )0inxinL 似似然然函函数数其其它它 1maxii nx 数理统计数理统计 1110minmax,( )0iini ni nxxL 即即其其它它 1maxii nx 数理统计数理统计 20.9 2 2解解：已已知知，2Xzn 一一填空题填空题：3）设设总总体体2(,0.9 )XN 容容量量为为9的的简简单单随随即即变变量量，均均值值5x ，则则未未知知参参数数 的的置置信信度度为为0.95的的置置信信区区间间是是置信区间置信区间5,9,0.9,0.05xn而而，0.02521.96zz 20.588zn 故故置

3、信区间为置信区间为 4 412,5.588. . 4 412,5.588. .数理统计数理统计 1)设设12,nXXX 是是取取自自总总体体X的的一一个个简简单单样样本本，则则2()E X的的矩矩估估计计是是（A）22111()1niiSXXn （B）22211()niiSXXn （C）221SX （D）222SX 二、二、 选择题：选择题：2()E X 2 2解解：由由D22211()niiE XAXn 故故222211niiSXXn 而而数理统计数理统计 2）总总体体2(,)XN ，2 已已知知，n 时时，才才能能使使总总体体均均值值 的的置置信信度度为为0.95的的置置信信区区间间长长不

4、不大大于于L（A）152 /2L; （B）15.36642 /2L;（C）162 /2L; （D）16二、二、 选择题：选择题：解解：B2Xzn 置信区间为置信区间为依题意，区间长度依题意，区间长度 222222415.3664nzLL 所所以以20.05,1.96z 而而由由22zLn 数理统计数理统计 C3）设设12,nXXX 为为总总体体X的的一一个个随随机机样样本本，2(),()E XD X ， 12211()niiiCXX 为为 2 的的无无偏偏估估计计，则则 C （A）1n （B）11n （C） 121n （D）12n 二、二、 选择题：选择题：解解： 2E 1211niiiE C

5、XX 1221112niiiiiCE XXXX 1222122niC 222(1)nC12(1)Cn 数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题1）设设12,nXXX 为为总总体体X的的一一个个样样本本, X的的密密度度函函数数1,01( )0 ,xxf x 其其他他,0 求求参参数数 的的矩矩估估计计量量和和极极大大似似然然估估计计量量。解解： 10101 E Xxxdx 11 111 11X 矩矩估估量量数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题1）设设12,nXXX 为为总总体体X的的一一个个样样本本, X的的密密度度函函数数1,01( )0 ,xxf x 其其他他,0 求求参参数数 的的矩

6、矩估估计计量量和和极极大大似似然然估估计计量量。解解：02似然函数似然函数为为1()()niiLf x 11,01,1,2,0 ,niiixxin 其其他他01,1,2,ixin当当时时数理统计数理统计 1ln()ln1lnniiLnx 求导数得求导数得1ln0niinx 1lnniinx 最大似然估计值为最大似然估计值为1lnniinX 最大似然估计量为最大似然估计量为数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题2）设设X服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布，试试求求参参数数 的的矩矩估估计计与与极极大大自自然然估估计计。解解： 011 E XX 矩估计量为矩估计量为数理统计数理统计 11

7、111( )1!nniiiixxnnnniiiidLneexdx 0 x 最大似然估计值为最大似然估计值为X 最大似然估计量为最大似然估计量为02X分布律为分布律为似然函数似然函数为为 0,1,2,!xP Xxexx 1( )niiLP Xx 111!niixnniiex 0,1,2,ix 数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题3）随随机机地地从从一一批批零零件件中中抽抽取取 16 个个，测测得得长长度度()cm为为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设设零零件件长长

8、度度分分布布为为正正态态分分布布，试试求求总总体体 的的 90的的置置信信区区间间： （1）若若0.01()cm ， （2）若若 未未知知。解解： (1)(1)0.01 已已知知置信区间为置信区间为2Xzn 2.125,16,0.01,0.10 xn而而，0.0521.645zz 20.004zn 故故置信区间为置信区间为 2.121,2.129数理统计数理统计 解解： (2)(2) 未未知知置信区间为置信区间为2(1)SXtnn 20.00442.125,16,0.1015xnS 而而，0.052(1)(15)1.7531tnt 2(1)0.0075Stnn 故故置信区间为置信区间为 2.1

9、175, 2.1325数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题4）某某厂厂利利用用两两条条自自动动化化流流水水线线灌灌装装番番茄茄酱酱，分分别别以以两两条条流流水水线线上上抽抽取取样样本本：1212,XXX 及及1217,Y YY 算算出出221210.6( ),9.5( ),2.4,4.7Xg YgSS ，假假设设这这两两条条流流水水线线上上灌灌装装的的番番茄茄酱酱的的重重量量都都服服从从正正态态分分布布，且且相相互互独独立立，其其均均值值分分别别为为12, （1）设设两两总总体体方方差差2212 ，求求12 置置信信度度为为95的的置置信信区区间间； （2）求求21 /22 的的置置信信度

10、度为为95的的置置信信区区间间。解解： (1)(1)置信区间为置信区间为1221211(2)XYStnnnn数理统计数理统计 0.05 ，120.0252(2)(27)2.0518,tnnt 置信区间为置信区间为 0.401, 2.601 22112212(1)(1)(2)nSnSSnn 其其中中221210.6( ),9.5( ),2.4,4.7Xg Yg SS121212,17,227,nnnn1.1,XY1221211(2)1.501Stnnnn数理统计数理统计 解解： (1)(1)置信区间为置信区间为22112221221212211,(1,1)(1,1)SSSFnnSFnn 0.05

11、 ，120.0252(1,1)(11,16)2.94FnnF 22122.4,4.7SS121212,17,111,116,nnnn1212210.0252111(1,1)(1,1)(16,11)3.33FnnFnnF 置信区间为置信区间为 0.1737, 1.7004数理统计数理统计 三、三、 解答题解答题5 ） 设设2S是是 来来 自自2( ,)XN 的的 随随 机机 样样 本本 12,nXXX 的的方方差差，2, 是是未未知知参参数数，试试问问, (0)a bab 满满足足什什么么条条件件才才能能使使2 的的95的的置置信信区区间间22(1)(1),nSnSba 的的长长度度最最短短？解解：222(1)(1),nSn ( )f x概概率率密密度度是是222(1)(1)nSnSPba 由由22(1)nSP ab = =0.95ba=f(x)dx 数理统计数理统计 置信区间长度为置信区间长度为11-1222(n - )S(n - )SbaL(a,b)=(n - )Sabab 只需求只需求L(a,b)在在0.95baf(x)dx 条件下的最小值条件下的最小值设设 (n-1)0.95b2abaFSf(x)dxab 000aFF 由由得得22a f(a)b f(b) 数理统计数理统计 四、证明题四、证明题证明：证明：(1, )XBp ，(),E Xp