概率论：第2章概率习题课07

1、例例定义定义设设 , 若若 满足条件满足条件则称点则称点 为标准正态分布的上为标准正态分布的上 分位点分位点(如图如图) z)1 , 0( NX10 , zXP z 05. 0z005. 0z95. 0z=1.645=2.570 xz)(x= -1.645性质性质 zz 12.5 2.5 随机变量的函数随机变量的函数的的分布分布 在分析和解决实际问题时，常常会遇到一些随机变在分析和解决实际问题时，常常会遇到一些随机变量，它们的分布难于直接得到，但其与一些已知随机变量，它们的分布难于直接得到，但其与一些已知随机变量之间具有函数关系量之间具有函数关系.本节主要解决如何由随机变量本节主要解决如何由随

2、机变量X的的概率分布求出随机变量概率分布求出随机变量Y=g(X)的概率分布的概率分布.对于随机变量对于随机变量X X的函数的分布的讨论分两部分的函数的分布的讨论分两部分一、一、离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律解解 由由X的分布律可列出下表：的分布律可列出下表： 1/51/101/103/103/10 X 1 0 1 2 3X1 21 0 1 22X 2 0246 1 0 1 4 9kp2X例例1 1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X 1

3、0 1 2 3 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10求求 (1) Y=X1 (2) Y=2X (3) Y= 分布律分布律kp2X即：即：PX1=2=PX=1=1/5 P2X=2=PX=1=1/5 P =1=PX=1+PX=1 =1/10+1/5=3/10等等，由此可定出等等，由此可定出2X(1) Y=X1的分布律为的分布律为 X-1 -2 -1 0 1 2 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10kp(2) Y=2X的分布律为的分布律为 2X -6 -4 -2 0 2 3/10 3/10 1/10 1/10 1/5kp(3) Y= 的分布律为的分布律为 0 1 4 9 1/10

4、 3/10 3/10 3/10kp2X2X二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度 对于连续型随机变量，需要由随机变量对于连续型随机变量，需要由随机变量X的概率的概率密度密度 去求随机变量去求随机变量Y=g(X)的概率密度的概率密度. 解决这解决这类问题的方法是：第一步求出类问题的方法是：第一步求出Y的分布函数的表达式，的分布函数的表达式，第二步利用连续型随机变量分布函数与概率密度的关第二步利用连续型随机变量分布函数与概率密度的关系，求导数即可得到系，求导数即可得到.)(xfX 例例2 2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 求求 Y=2X+8 的概率密度的

5、概率密度.其它， , 0 40 8)(xxxfX解解 先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数)(yFY28)( 2882)(yXYdxxfyXPyXPyYPyF于是，得于是，得 Y=2X+8的的 概率密度为概率密度为 其它其它 , 0168 ,328-y , 04280 ,212881 2828)(yyyyyfyfXY 例例3 3 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 ， 求求Y= 的概率密度的概率密度. , )( xxfX2X解解 先求先求Y的分布函数的分布函数 . 因为因为 故当故当y0时，时， =PYy=0 当当 y0 时，时， = P X = 于是，得于是，得Y的概率密度为

6、的概率密度为)(yFY02 XY)(yFY)(yFYyy0 , 00 , )()(21)(yyyfyfyyfXXYdxxfyyX)(例如例如 , 设设 , 其概率密度为其概率密度为则则 的概率密度为的概率密度为)1 , 0( NX xexx , 21)(22 2XY 0 , 0 0 , 21)(221yyeyyfyY 注注: (1)此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的的 分布分布2 (2)若若Y=g(X)中的中的g(.)是严格单调函数时是严格单调函数时, 可由下面定可由下面定 理求出理求出Y的概率密度的概率密度.定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 , 又设函数又设函

7、数g(x)处处可导且有处处可导且有 (或恒有或恒有 ) 则则Y=g(X)是连续型随机变量是连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为 其中其中 h(y)是是g(x)的反函数的反函数. , )( xxfX0)( xg0)( xg 其它其它 , 0 , )()()( yyhyhfyfXY )(),(max,)(),(min gggg 注注: 若若g(x)不是单调函数不能用此定理不是单调函数不能用此定理 若若 在有限区间在有限区间a，b以外等于零，则只需假设在以外等于零，则只需假设在 a，b上恒有上恒有 （或恒有（或恒有 ），此时），此时)(xf0)( xg0)( xg)(),(max),(),(mi

8、nbgagbgag 练习练习设随机变量设随机变量 . 试证明试证明X 的线性函数的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布也服从正态分布.),(2NX 解解: X的概率函数为的概率函数为 现在现在y=g(x)=ax+b, 由这一式子解得由这一式子解得 , 且有且有 由定理得由定理得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为 xexfxX ,21)(222)(abyyhx)(ayh1)(yabyfayfXY , )(1)(即即即有即有yeaeayfaabyabyY ,21 211)(2222)(2)(2)( ,(2abaNbaXY注注: (1) 正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布正态随机变量的

9、线性函数仍然服从正态分布. 则则ba,1(2) 若若) 1 , 0( NXY第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 主要内容主要内容 1. 随机变量的引入随机变量的引入 定义：设随机试验的样本空间为S=e. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数.称X=X(e)为随机变量. 随机变量的分类：随机变量的分类： 离散型离散型 随机变量随机变量 连续型连续型 非离散型非离散型 其它其它2.2.离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 定义：取有限个或可数个值的随机变量，取有限个或可数个值的随机变量， 称为离散型随机变量称为离散型随机变量. . 分布律：PX=xk = p

10、k , k=1,2, 其中其中pk满足：满足： (1) pk0，k=1,2, (2) . 11kkp* 常见分布：常见分布： 1 1）0-10-1分布：分布： 分布律分布律 k= =0,1 (0 (0p0,0,k k=0,1,2,=0,1,2,3.随机变量的分布函数 定义:设设X是一个随机变量是一个随机变量,x (- ,+ ),函数函数 F(x)=PX x,称为称为X的的分布函数分布函数 ( ),( ),有有21,xx 对任意实数对任意实数1x2x) 0()()(11)()(1111111221 xFxFxXPxFxXPxXPxFxFxXxP 分布函数的性质(1) xxF, 1)(0(2)F(

11、x)是单调不减的是单调不减的,即若即若 2121,xFxFxx则(3) 1lim, 0limxFFxFFxx (4) F(x)是右连续的是右连续的,即即F(x+0)=F(x)(1)离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数分布函数分布函数:)(xXPxFxxkkxXP(2) 连续型随机变量连续型随机变量 xdttfxF)()(3。0)(1 xf。 21)()()(51221xxdxxfxFxFxXxP。)()(4xfxFxxf 处连续，则有处连续，则有）在点）在点（若若。1)(2 dxxf。三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量( (一一) ) 均匀分布均匀分布( (二二)

12、) 指数分布指数分布( (三三) ) 正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布 其其它它， , 0 ba 1)(xabxf 0 , 00 , 1)(xxexfx xexfx , 21)(222)( xexx,21)(22 注：注： 1)若若 ,则则) 1 , 0( NXZ ),(2 NX),(2 NX)()( xxF 1221xxxXxP2)2)若若 ，则它的线性，则它的线性函数函数的的分布分布仍为正态分布仍为正态分布4 4 随机变量随机变量的的函数函数的的分布分布一、一、离散型随机变量的函数的分布律离散型随机变量的函数的分布律二、二、连续型随机变量的函数的概率密度连续型随机变量的函数的概率密

13、度方法方法：由随机变量由随机变量X的概率密度的概率密度 去求去求 随机变量随机变量Y=g(X)的概率密度的概率密度. (1) 求出求出Y的分布函数的表达式的分布函数的表达式; (2) 由分布函数求导数，即可得到由分布函数求导数，即可得到.)(xfX1. 设设XN , YN . 记记 , 则则( ). (D)4 ,(2 )5 ,(2 1) 4(pXP 2) 5(pYP (A)对于任意的实数对于任意的实数有有21pp (B) 21pp (C)只对只对的个别值才有的个别值才有21pp 21pp 答案答案:(A)14444) 1() 1()() 4(pPPXPXX ) 1(1) 1()() 5(555

14、55 YYYPPPYP2) 1() 1 (1p 第二章第二章 练习题练习题一、选择题一、选择题2. 设随机变量设随机变量21,XX的分布函数为的分布函数为 ),(),(21xFxF为使为使 )()()(21xbFxaFxF 在下面给出的各组数中应取在下面给出的各组数中应取5253)( baA3232)( baB2321)( baC2321)( baD( ).是某一随机变量的分布函数是某一随机变量的分布函数,答案答案:(A)因为因为 是是 分布函数分布函数,所以所以)(),(21xFxF21,XX. 1)(, 1)(21 FF若使若使F F( (x x) )为某一随机变量的分布函数为某一随机变量

15、的分布函数, ,则则1)( F1)()()(21 babFaFF即即3.设随机变量设随机变量 ，则随，则随 的增大，概率的增大，概率),(2NXXP (A) 单调增大单调增大 (B) 单调减小单调减小 (C) 保持不变保持不变 (D) 增减不定增减不定X P6826. 0)8413. 01(8413. 01 P X分析分析 应选应选(C)因为对于任意因为对于任意 和和 ，为常数为常数二、二、 填空题填空题1. 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为(2, p)的二项分布的二项分布,随机变量随机变量Y服从参服从参数为数为(3, p)的二项分布的二项分布.若若PX 1=5/9,则则PY 1 =

16、_. 由题设2101 195qXPXP从而故,32q27193210113YPYP(q=1-p)19/272.已知随机变量已知随机变量X的概率密度函数的概率密度函数 xexfx,21)(则则X的分布函数的分布函数F(x)= _.dtedttfxFtxx21)()(xtxedtexFx2121)(,0时当xtxtedtedtexFx210210211)(,0时当 0,10,2121xexexx3.若随机变量若随机变量在区间在区间(1,6)上服从均匀分布上服从均匀分布,则方程则方程012 xx 有实根的概率有实根的概率_.有实根的条件是方程012 xx22, 042或即的密度函数为）上的均匀分布，

17、故，服从（由于6116,061,)(51xxxxf或故所求概率为故所求概率为22012PPxxP有实根54026251dxdx4/54. 设随机变量设随机变量X), 2 (2N,且且P2X4=0.3, 则则PX0为已知常数为已知常数, ,试确定常数试确定常数a, ,并求并求X落在区落在区间间1,3)内的概率内的概率. .,10!k,2,a222e1!00aekakXPkkk由,kkekXPe故得2131XPXPXP从而! 2! 12eeekkk0!利用3.3. 一批零件中有一批零件中有9件正品和件正品和3件次品件次品, ,从中不放回地抽从中不放回地抽取零件取零件, ,求求: : (1) (1)

18、 在取得正品前已取出次品数在取得正品前已取出次品数X的分布律和分的分布律和分布函数布函数. . (2) (2) 概率概率PX2,P0.5X2, .231 XP(1)的所有可能的取值为的所有可能的取值为0,1,2,3,且且75. 01290XP204. 01112931XP041. 01011129232XP005. 0910111291233XP故故X的分布律为的分布律为X01230.75 0.204 0.041 0.005kp所以所以X的分布函数为的分布函数为3,132,995.021,954.010,75.00,0)(xxxxxxF(2)204. 01231204. 0125 . 0005

19、. 032XPXPXPXPXPXP4. 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的分布函数为的分布函数为0,00,)(22xxBeAxFx求求: :(1)(1)系数系数A与与B;(2)(2)X的概率密度的概率密度f(x);(3)(3)X的取值的取值落在区间落在区间1,2内的概率内的概率.(1) 由由1)(lim)( xFFx,得得A=1又因为又因为X是连续型随机变量是连续型随机变量,所以所以F(x)处处连续处处连续,故故有有F(0-0)=F(0),即即A+B=0, 所以所以B=-A= -1于是于是 0,00,1)(22xxexFx故故A=1,B= -1 .(2) 由由)()(xfxF 得得X的概率

20、密度为的概率密度为 0,00,)(22xxxexfx(3)1 1 ) 1 () 2 (21 212eeFFxP221ee0.47125. 设随机设随机X 的概率密度函数为的概率密度函数为211)(xxfX求随机变量求随机变量31XY的概率密度函数的概率密度函数)(yfY答案答案621113)(yyyfYY的分布函数为的分布函数为11 )(33yXPyXPyYPyFY所以所以Y的概率密度函数为的概率密度函数为6233111311)(yyyyfyfXY)(y312311yxyXPdx6. 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会 在在0.01以下来设计的以下来设计的, ,设男子身高设男子身高X 服从服从 =168cm,=7cm的正态分布的正态分布, ,即即XN(168,72),问车门的高度应如何确定问车门的高度应如何确定? ?答案答案: : h=184.31若设车门的高度为若