第5讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ(教师)

1、第五讲 .几何问题之角平分线题型1. 掌握角平分线的性质和判定；2. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3. 综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题；4. 学习分析问题、解决问题的能力。. 知识要点详解：1 .角平分线的性质定理：（ 1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（ 2）定理的数学表示：如图1 ，已知OE 是AOB 的平分线，F 是 OE 上一点，若CF OA于点 C ， DF OB 于点 D ，则 CF DF 。（ 3）定理的作用： 证明两条线段相等；用于几何作图问题；（ 4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。2

2、. 角平分线性质定理的逆定理：（ 1 ） 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（ 2） 定理的数学表示：如图2， 已知点 F 在 AOB 的内部， 且 FC OA于 C ， FD OB于 D ，若 FD FC ，则点 F 在AOB的平分线上。（ 3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。（ 4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。3. 关于三角形三条角平分线的定理：（ 1 ）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。定理的数学表示：如图3， 如果 AP 、 BQ

3、、 CR分别是 ABC的内角BAC、 ABC 、ACB 的平分线，那么： AP 、 BQ 、 CR相交于一点I ； 若 ID 、 IE 、 IF 分别垂直于BC、 CA、 AB 于点 D 、 E 、 F ， 则 DI EI FI 。定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题。（ 2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。4. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（ 1 ）会作已知线段的垂直平分线；（ 2）会作已知角的角平分线；（ 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.角平分线定理使用中的几种

4、辅助线作法：（如下图示）1. 已知角平分线，构造全等三角形；2. 已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段；3. 已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。.角平分线性质定理之联想：1.2.3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。【典例精讲】模块一 . 角平分线的对称性：基本图形例 1. 如图， AD 是 ABC 的角平分线，DE AB， DFAC ， 垂足分别是E， F 。 连接 EF ，交 AD 于点 G 。说出 AD 与 EF 之间有什么关系？证明你的结论。断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。： 两条线段之间的关系有长

5、度和位置两种关系，EF AD ，且 证明： Q AD 平分EG FGBACDE AB， DFDE DFAC ，垂足分别是E， F在 Rt DEA和 Rt DFA中：DE QADDFADRt DEA Rt DFAADE ADFDEDF在 DGE 和 DGF 中：GDE GDFDG DGDGE DGF EG FG ，DGE DGF 90o EF AD ，且EG FG 。?点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例 2. 如图， BE C

6、F ， DF AC于 F ， DE AB于 E ， BF 和 CE 交于点 D 。求证： AD 平分 BAC。【分析】：要证AD 平分 BAC，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。【证明】：Q DF AC于 F ， DE AB于 EDEBDFC 90o在 BDE 和CDF 中DEB DFCQ BDE CDF BDE CDFBE CF DE DF又 Q DF AC 于 F ， DE AB于 E AD 平分BAC 。?点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF 或 DF AC， DE A

7、B，那么得出AD 平分BAC这一结论是错误的。例 3. 如图，在ABC 中，C 90o， AD 平分 BAC， DE AB于 E ， F 在 AC 上，BD DF 。求证：CF EB。【分析】：由已知条件很容易得到DC DE ；要证明CF EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。【证明】：Q AD 平分 BAC ， C 90o， DE AB DC DE在 Rt FCD 与 Rt BED 中DC DEQ DF BD Rt FCD Rt BED CF EB 。?点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。BAC。例 4. 如图，已知在ABC中，

8、BD DC ，12。求证：AD 平分【分析】：有两种方法证明AD 平分BAC：一是直接利用定义证明BAD CAD ；二是利用角平分线的判定，证明点D 到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。【证明】：过点D 作 DE AB 于 E， DF AC 于 F BED CFD 90oBED CFD在 BDE 与 CDF 中： Q 12BD CDBDE CDFDE DF又 Q DE AB于 E， DF AC于 F AD 平分 BAC 。?点评：1. 当题目中有角平分线这一条件

9、时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线；2. 用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。例 5. 如图，已知在四边形ABCD 中，BD 180o， AC平分BAD， CE AD， E 为垂足。求证：AB AD 2AE 。AB，过C作 CH AB， H为垂足Q AC 平分 BAD ，且 CE AD ， CH AB CH CE又 Q HCA 1 90o， HCA ECA在 ACH 与 ACE 中： ACH ACE AH AEECA 2

10、90o，12HCA ECAQ H AEC 90oAC AC又 Q ABC HBC DHBC 180o，ABC D 180o在 Rt BHC 与 Rt DEC 中，HBC DQ BHC DEC 90oHC EC Rt BHC Rt DEC HB DE AB AD AB AE ED AB AE BH AH AE 2AE AB AD 2AE例 6. 如图1 ， Rt ABC 中， ACB 90o， CD AB ，垂足为D 。 AF 平分 CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点 F 。（ 1 ）求证：CE CF 。（2）将图2中的ADE 沿 AB 向右平移到ADE的位置，使点 E落在BC 边上， 其

11、它条件不变，如图2 所示。试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论。1 ）证明:Q CD AB, ADC 90o.Q ACB 90o, CAF CFA 90o, DAE AED 90o.Q AF 平分 CAB .CAF DAE.CFA AED CEF .CE CF.2）解：BE CF .证明：如图2，过点E 作 EG AC 于点 G .又 QAF 平分CAB， ED AB ， ED EG .由平移的性质可知：DE DE ， DE GE .Q ACB 90o，ACD DCB 90o.QCD AB 于 D. B DCB 90.oACD B.在 Rt CEG与 Rt BED中，Q GC

12、E B, CGE BDE,EG ED, CEGBED.CE BE .由（ 1）可知 CE CF ，CF BE .例 7.（ 1） 如图 1 所示， 在 ABC中， AD 是 BAC的外角平分线，P 是 AD 上异于点A的任意一点，试比较PB PC 与 AB AC 的大小，并说明理由。（ 2）如图2 所示，AD 是ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC PB 与AC AB 的大小，并说明理由。1 ） PB PC AB AC ，理由如下：在 BA的延长线上截取AE AC ，连接 PE ，如图 1Q AD 是 BAC 的外角平分线，CAP EAP.在 ACP和 AEP中，AC AE ， CAP

13、 EAP， AP AP.ACP AEP，在 BPE 中， PB PE BE ，Q BE BA AE AB AC , PB PC AB AC.（ 2） PC PB AC AB ，理由如下：在 AC 上取一点E ，使 AE AB ，连接PE ，如图 2Q AD 平分BAC，EAP BAP.Q AE AB ， AP AP ，APE APB ，PE PB.在 EPC中， PC PE EC即 PC PB AC AE，PC PB AC AB .1. 如图，12， PD OA于 D ， PE OB 于 E ，下列结论中错误的是()(A). PD PE (B). OD OE (C). DPO EPO (C).

14、 PD OD2. 如图，ABC中， ABC 120o，C 26o，且DE AB， DF AC ， DE DF求 ADC 的度数。3. 已知：12 ，34 ，求证：AP 平分 BAC 。4. 如图， D 是 ABC 的外角 ACE 的平分线上一点，DFAC 于 F ， DE BC 于 E ，且交BC的延长线于E 。求证：CE CF 。5. 如图，在ABC中，D 为 BC 的中点，DE BC 交BAC的平分线AE 于 E ，EF AB于 F ， EGAC 交 AC 延长线于G 。求证：BF CG6. 如图， AB / CD ，B 90o， E 是 BC的中点，DE 平分 ADC。 求证： AE平分

15、 DAB。【纵向应用】7. 如图，F， G 是 OA上两点，M， N 是 OB 上两点， 且 FG MN ， S PFG S PMN ， 试问点 P是否在AOB 的平分线上？8. 如图， 在 ABC中， AB 3AC， BAC的平分线交BC于点D ， 过点 B 作 BE AD ，垂足为 E ，求证：AD DE .9. 求证：三角形的三条角平分线相交于一点。练习题答案【双基训练】二答案：D三答案：137o四【提示】过点P 作 PE AB 、 PF AC ，利用角平分线性质可得PE PF 。4. 【证明】Q CD是ACE的平分线，DF AC于 F ， DE BC于 E DEC DFC 90o， D

16、E DF在 Rt DEC 和 Rt DFC 中DC DCQDE DF Rt DEC Rt DFC CE CF5. 【证明】连接BE、 EC ，由 DE BC， BD DC ， BE EC， AE ?平分BAC， EF AB， EG AC， EF EG Rt BFE Rt CGE ， BF CG6. 【证明】：过点E 作 EF AD 于 FQ DE 平分 ADC ， EC DC ， EF FD CE EF又 Q CE BE EF BE又 Q EF AF ， BE AB AE 平分DAB。【纵向应用】7. 【证明】：过点P作 PD OA于 D， PE OB于 E11QSPFG FG PD ， S PMN MN PE ，22而 S PFG S PMN11 FG PD MN PE22又 Q FG MN PD PE又 Q PD OA于 D ， PE OB于 E P 在AOB 的平分线上。8. 证明：如下图，延长BE 交 AC 延长线于F ，取 CF 中点 M ，连接 EM .Q AD 平分 BAC， AE BE ， AE AE，BA