勾股定理的历史与证明

1、安溪六中校本课程之数学探秘勾股定理史话一、勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”， 是初等几何中的一个基本定理。 那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家， 有： 毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理， 相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras ,公元前572?公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾

2、股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid ,公元前330公元前275）在巨著几何原本（第I卷，命题47）中给出一个很好的证明。 （下图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用， 远比毕达哥拉斯早得多。 中国最早的一部数学著作 周髀算经 的开头， 记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说： “ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。 其中有一条原理：当直角三角形矩' 得到的一条直角边勾 ' 等

3、于3，另一条直角边股'等于 4 的时候，那么它的斜边' 弦 ' 就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中（约在公元 50 至 100 年间） ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 九章算术系统地总

4、结了战国、 秦、 汉以来的数学成就， 共收集了 246 个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部 。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。 最早对勾股定理进行证明的， 是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”， 用形数结合得到方法， 给出了勾股定理的详细证明 （右图） 。赵爽的这个证明可谓别具匠心， 极富创新意识。 在这幅“勾股圆方图”中， 以弦为边长得到正方形ABD或由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。 每个直角三角形的面积为 ab/2 ； 中间的小正方形边长为 b-

5、a ， 则面积为（ b-a ） 2。于是便可得如下的式子：4X （ab/2） + （b-a） 2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即： c=（ a2+b2） （1/2）他用几何图形的截、 割、 拼、 补来证明代数式之间的恒等关系， 既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法， 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的

6、思想方法，更具有科学创新的重大意义。二、勾股定理的证明据不完全统计， 勾股定理的证明方法已经多达400 多种了。 下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法 1】（赵爽证明）以 a、 b 为直角边（ b>a）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.v RtADAH 0 RtAABE,/ HDA = / EAB.v / HAD + / HAD = 90o,/ EAB + / HAD = 90o, ABC/一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.ef = fg =GH =HE = ba , / HEF = 90o. E

7、FGH®一个边长为b-a的正方形，它的面积等于.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,冉做三个边长分别为a、 b、 c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法 3】（ 1876 年美国总统Garfield 证明）以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上.v RtAEAD 公 RtACBE,/ADE = /BEC

8、.v Z AED + /ADE = 90o,Z AED + /BEC = 90o./DEC = 180o- 90o= 90o. A DEO一个等腰直角三角形，它的面积等于又: /DAE = 90o, /EBC = 90o,AD/ BC.ABCD1一个直角梯形，它的面积等于【趣闻】：在1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景， 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 他走着走着， 突然发现附近的一个小石凳上， 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

9、只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。 于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是 5 呀。 ”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5 和 7， 那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方。 ”小男孩又说道： “先生， 你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞， 无法解释了， 心理很不是滋味。 于 是伽菲尔德不再散步， 立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。 他经过反复的思考与演算，

10、终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、 b、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、 C、 B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CLA DEE,交AB于点M 交DE于点L.v AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD A FAB 0 A GADv45人8面面积等于，A GAD勺

11、面积等于矩形ADLM勺面积的一半，矩形ADLM勺面积=.同理可证，矩形 MLEB勺面积=.V正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积,即.【证法5】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c, 过点C作CD!AB,垂足是D.在 AADC?口 AACB中，v / ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC AADC s AACB. . AD： AC = AC : AB,即.同理可证，A CDB s A ACB从而有 .，即【证法6】（邹元治证明）以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等

12、的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v RtAHAE 0 RtAEBF,/AHE = ZBEF.v Z AEH + /AHE = 90o,Z AEH + ZBEF = 90o./HEF = 180o90o= 90o.四边形EFGK一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.v RtAGDH RtAHAE,/HGD = /EHA.v /HGD + /GHD = 90o,/EHA + /GHD = 90o.又: /GHE = 90o,/DHA = 90o+ 90o= 180o. ABC/一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.【证法7】（利用切割线定理证明）在Rt AABC中，设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB = c.如图，以 B 为圆心a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延