高考数学第一轮总复习 3.6 简单的三角恒等变换 文 新人教A版ppt课件

1、第 六 节简单的三角恒等变换考试考试说明说明内容内容知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换三年三年考题考题1313年年(5(5考考) )：湖北：湖北T6T6新课标全国卷新课标全国卷T16T16 陕西陕西T16T16浙江浙江T6T6江西江西T13T131212年年(3(3考考) )：北京：北京T15T15湖南湖南T18T18湖北湖北T18T181111年年(3(3考考) )：新课标全国卷：新课标全国卷T11T11 上海上海T4T4安徽安徽T15T15考情考情播报播报1.1.利用三角公式进行化简后研究函数的性质是高考考利用三

2、角公式进行化简后研究函数的性质是高考考查的热点查的热点2.2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题合命题3.3.题型以解答题为主题型以解答题为主, ,属中低档题属中低档题 【知识梳理】【知识梳理】1.1.半角公式半角公式2sin2 2sin2 2cos2 2cos2 212sin222cos121-cos21+cos21cos1+cos222.2.辅助角公式辅助角公式asin x+bcos x= sin(x+)asin x+bcos x= sin(x+)，其中其中sin = ,cos = . sin = ,cos = . 22ab22b

3、ab22aab【考点自测】【考点自测】1.(1.(思索思索) )给出以下命题：给出以下命题：当当是第一象限角时，是第一象限角时，对恣意角对恣意角， 都成立都成立. .半角的正余弦公式本质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的半角的正余弦公式本质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. .公式公式 中中的取值与的取值与a,ba,b的值无的值无关关. .1 cos sin.2221 cos tan21 cos 22asin xbcos xab sin(x)函数函数y=sinx+cosxy=sinx+cosx的最大值为的最大值为2.2.其中正确的选项是其中正确的选项是( () )A.A. B. B. C. C.

4、 D. D.【解析】选【解析】选C.C.错误错误.在第一象限时，在第一象限时， 在第一或第三象限在第一或第三象限. .当当 在第一象限时，在第一象限时， , ,当当 在第三象限时，在第三象限时，错误错误. .此式子必需使此式子必需使tan tan 有意义且有意义且1+cos 0.1+cos 0.即即 k+ k+ 且且2k+,2k+,即即(2k+1)(kZ).(2k+1)(kZ).正确正确. .由半角公式推导过程可知正确由半角公式推导过程可知正确. .221 cos sin2221 cos sin.22 222错误错误. .由由 可知可知的取值与的取值与a,ba,b的值有关的值有关. .错误错误

5、. . 故其最大值为故其最大值为 . .2222abcos ,sin abab ，ysin xcos x2sin x4()，22.2.知知 ( (，2)2)，那么，那么cos cos 等于等于( )( )【解析】选【解析】选B.B.由于由于 ( (，2)2)，所以，所以所以所以1cos 3 ，26633A. B. C. D.33331cos 3 ，22（ ， ），111 cos 63cos.2223 3.3.化简化简 等于等于( )( )A.-sin B.-cos C.sin D.cos A.-sin B.-cos C.sin D.cos 【解析】选【解析】选C.C.sin 2 cos sin

6、 cos 22sin 2 cos sin 2sin cossin cos 2cos 22sin2cos 1sin cos 2sin .cos 2cos 24 4假设假设 ，且，且sin = sin = 那么那么【解析】选【解析】选D.D.由于由于 所以所以cos = cos = ，而而2（ ， ）sincos( )44（）（）4 24 2A. B.553 23 2C. D.554sin 5 2 ， ，353 2sincos2sin2cos .4425 （）（）（）45，5.(20215.(2021岳阳模拟岳阳模拟) )函数函数y= cos 4x+sin 4xy= cos 4x+sin 4x的最

7、小正周期的最小正周期为为 【解析】【解析】答案：答案：331y3cos 4xsin 4x2cos 4xsin 4x22（）2 cos cos 4xsinsin 4x2cos 4x6662T.42（）（），故26.(20216.(2021孝感模拟孝感模拟) )假设假设 那么那么 . .【解析】【解析】答案：答案：2 0142 0141tan x2 0141tan x，1tan 2xcos 2x222sin xcos x11 sin 2xtan 2xcos 2xcos 2xcos xsin xcos xsin x1tan x2 014.cos xsin x1tan x考点考点1 1 利用三角恒等变

8、换化简求值利用三角恒等变换化简求值【典例【典例1 1】(1)(1)知知450450540540，那么，那么 的值的值是是( )( )(2)(2021(2)(2021荆州模拟荆州模拟) )化简：化简：sin2sin2+cos2cos2-sin2sin2+cos2cos2- cos 2cos 2 cos 2cos 2 . .1111cos 22222A.sin B.cos 22C.sin D.cos 2212【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用倍角公式化简利用倍角公式化简. .(2)(2)从角、名、形、次数一致等几个方面入手进展化简从角、名、形、次数一致等几个方面入手进展化简. .【规范解答】

9、【规范解答】(1)(1)选选A.A.原式原式由于由于450450540540，所以，所以225225 270 270. .所以原式所以原式sin .sin .应选应选A.A.111cos 222211cos |sin |.22222(2)(2)方法一方法一:(:(从从“角入手角入手, ,复角复角单角单角) )原式原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1)(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2-=sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2-2co

10、s2-2cos2+1)2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2- =1- = .=sin2+cos2- =1- = .12121212121212方法二方法二:(:(从从“名入手名入手, ,异名化同名异名化同名) )原式原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2=cos2-sin2(cos

11、2-sin2)- cos2cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2=cos2-sin2cos2- cos2cos2=cos2-sin2cos2- cos2cos2=cos2-cos2(sin2+ cos 2) =cos2-cos2(sin2+ cos 2) 12121212221cos 21cos 2sin(12sin)221cos 211cos 2.222 方法三方法三( (从从“幂入手，利用降幂公式先降次幂入手，利用降幂公式先降次) )原式原式= =1 cos 21 cos 21 cos 21 cos 21cos 2cos 22222211(1 cos 2co

12、s 2cos 2cos 2 )(1 cos 2cos 2cos 2cos 2 )4411cos 2cos 2.22 方法四方法四:(:(从从“形入手，利用配方法，先对二次项配方形入手，利用配方法，先对二次项配方) )原式原式=(sin sin -cos cos )2+2sin =(sin sin -cos cos )2+2sin sin cos cos - cos 2cos 2sin cos cos - cos 2cos 2=cos 2(+)+ sin 2sin 2- cos 2cos 2=cos 2(+)+ sin 2sin 2- cos 2cos 2=cos 2(+)- cos(2+2)=

13、cos 2(+)- cos(2+2)=cos2(+)- =cos2(+)- 2cos 2(+)-12cos 2(+)-1= .= .答案：答案：12121212121212【规律方法】【规律方法】1.1.三角函数式的化简遵照的三个原那么三角函数式的化简遵照的三个原那么(1)(1)一看一看“角角, ,这是最重要的一环这是最重要的一环, ,经过看角之间的差别与联经过看角之间的差别与联络络, ,把角进展合理的拆分把角进展合理的拆分, ,从而正确运用公式从而正确运用公式. .(2)(2)二看二看“函数称号函数称号, ,看函数称号之间的差别看函数称号之间的差别, ,从而确定运用从而确定运用的公式的公式,

14、 ,常见的有常见的有“切化弦切化弦. .(3)(3)三看三看“构造特征构造特征, ,分析构造特征分析构造特征, ,可以协助我们找到变形可以协助我们找到变形的方向的方向, ,常见的有常见的有“遇到分式要通分等遇到分式要通分等. .2.2.三角函数式化简的方法三角函数式化简的方法弦切互化弦切互化, ,异名化同名异名化同名, ,异角化同角异角化同角; ;降幂或升幂降幂或升幂. .提示提示: :在三角函数式的化简中在三角函数式的化简中“次降角升和次降角升和“次升角降是次升角降是根本的规律根本的规律, ,根号中含有三角函数式时根号中含有三角函数式时, ,普通需求升次普通需求升次. .三角函数式化简的要求

15、三角函数式化简的要求(1)(1)能求出值的应求出值能求出值的应求出值. .(2)(2)尽量使函数种数最少尽量使函数种数最少. .(3)(3)尽量使项数最少尽量使项数最少. .(4)(4)尽量使分母不含三角函数尽量使分母不含三角函数. .(5)(5)尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .【变式训练】化简【变式训练】化简: :【解析】原式【解析】原式由于由于0,0AB,ABCD,ADAB,BPAC,BP=PC,CDAB,那么那么经过某种翻折后以下线段能够会相互重合经过某种翻折后以下线段能够会相互重合的是的是( () )A.ABA.AB与与AD B.ABAD B.AB与与BCBC

16、C.BDC.BD与与BC D.ADBC D.AD与与APAP【解析】选【解析】选D.D.设设AB=a,CAB=,AB=a,CAB=,那么那么AP=acos ,PC=BP=AP=acos ,PC=BP=asin ,AC=a(cos +sin ),AD=ACsin =a(cos asin ,AC=a(cos +sin ),AD=ACsin =a(cos +sin )sin ,CD=ACcos =a(cos +sin )cos +sin )sin ,CD=ACcos =a(cos +sin )cos ，由于由于CDCDAB,AB,故故cos2+sin cos cos2+sin cos 1 1，即，即

17、sin(2+ )sin(2+ ) , ,即即 , ,故故0 0 . .A A选项：假设选项：假设AB=ADAB=AD，那么有，那么有sin2+sin cos =1,sin2+sin cos =1,即即 ，无解，无解. .4223244442sin242（）B B选项：假设选项：假设AB=BCAB=BC，那么有，那么有 sin =1, sin =1,那么那么sin = sin = ，无解，无解. .C C选项：假设选项：假设BD=BCBD=BC，那么有，那么有 sin sin 即即1+2sin3cos =sin21+2sin3cos =sin2，无解，无解. .D D选项：假设选项：假设AD=A

18、PAD=AP，那么有，那么有sin2+sin cos =cos ,sin2+sin cos =cos ,令令f()=sin2+sin cos -cos =f()=sin2+sin cos -cos =那么那么f(0)=-1f(0)=-10, 0, 故必存在故必存在00使得使得:f(0)=0:f(0)=0，故故ADAD与与APAP能够重合能够重合.D.D选项正确选项正确. .2222221 sinsin cos , 1 cos 2sin 2cos 22，2f1042 （ ） ，2.(20212.(2021三亚模拟三亚模拟) )如下图，知如下图，知OPQOPQ是半径为是半径为1 1，圆心角为，圆心

19、角为 的扇形，的扇形，ABCDABCD是扇形的内接矩形，是扇形的内接矩形，B,CB,C两点在圆弧上，两点在圆弧上，OEOE是是POQPOQ的平分线，衔接的平分线，衔接OCOC，记，记COE=COE=，问：角，问：角为何值时矩为何值时矩形形ABCDABCD面积最大，并求最大面积面积最大，并求最大面积. .3【解析】设【解析】设OEOE交交ADAD于于M M，交，交BCBC于于N N，显然矩形，显然矩形ABCDABCD关于关于OEOE对称，而对称，而M M，N N均为均为ADAD，BCBC的中点，的中点，在在RtRtONCONC中，中，CN=sin ,ON=cos .CN=sin ,ON=cos

20、.DMOM3DM3CN3sin ,tan 6所以所以MN=ONMN=ONOM=cos OM=cos sin sin ，即即AB=cos AB=cos sin , sin ,所以所以BC=2CN=2sin ,BC=2CN=2sin ,故故S S矩形矩形=ABBC=(cos =ABBC=(cos sin )2sin sin )2sin =2sin cos =2sin cos 2 sin 2=sin 22 sin 2=sin 2 (1 (1cos 2)cos 2)=sin 2+ cos 2=sin 2+ cos 2=2sin(2+ )=2sin(2+ ) . .由于由于0 ,0 ,所以所以02 ,

21、2+ ,02 , 2+ ,故当故当2+ = ,2+ = ,即即= = 时，时，S S矩形获得最大值，此时矩形获得最大值，此时S S矩形矩形=2=2 . . 33333333363332332123考点考点3 3 三角恒等变换在研讨图象性质中的运用三角恒等变换在研讨图象性质中的运用【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研讨图象及性质【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研讨图象及性质是高考的热点是高考的热点. .在高考中以解答题的方式出现在高考中以解答题的方式出现, ,调查三角函数的调查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

22、. 高频考点高频考点通关通关 【典例【典例3 3】(1)(2021(1)(2021湖北高考湖北高考) )将函数将函数y= cos x+sin x(xR)y= cos x+sin x(xR)的图象向左平移的图象向左平移m(mm(m0)0)个单位长度后，所得到的图象关于个单位长度后，所得到的图象关于y y轴轴对称，那么对称，那么m m的最小值是的最小值是( )( )(2)(2021(2)(2021吉首模拟吉首模拟) )函数函数 的最小正周的最小正周期等于期等于( )( )35A. B. C. D.12636213ysin 2x3cos x22A. B.2 C. D.42【解题视点】【解题视点】(1

23、)(1)将函数化为将函数化为y=Asin(xy=Asin(x)的方式再求解的方式再求解. .(2)(2)降幂将角一致后再化为降幂将角一致后再化为y=Asin(xy=Asin(x)的方式，利用周期的方式，利用周期公式求解公式求解【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由知由知当当m= m= 时，平移后函数为时，平移后函数为y=2sin(x+ )=2cos xy=2sin(x+ )=2cos x，其图象关于，其图象关于y y轴对称，且此时轴对称，且此时m m最小最小. .(2)(2)选选A.yA.y 所以所以T T. . 31y2cos xsin x22（）2sinx3（），62133si

24、n 2x1 cos 2x22213sin 2xcos 2xsin 2x223（），【通关锦囊】【通关锦囊】高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略化简后求值化简后求值域或最值域或最值由由x x的范围得出的范围得出x+x+的范围的范围, ,数形数形结合求解结合求解化简后研究化简后研究周期周期利用公式利用公式:y=Asin(x+:y=Asin(x+) )和和y=Acos(x+y=Acos(x+) )的最小正周期的最小正周期为为 ,y=tan(x+,y=tan(x+) )的最小正周的最小正周期为期为 求解求解化简后研究化简后研究单调性、对单调性、对称性称性将将x+x+当成整体当成整体, ,构

25、造不等式或构造不等式或方程求解方程求解2|【关注题型】【关注题型】 比较大小比较大小 化为同名三角函数化为同名三角函数, ,根据单调性比较大小根据单调性比较大小 解不等式解不等式将将x+x+当成整体当成整体, ,构造不等式求解构造不等式求解 求解析式求解析式化为化为y=Asin(x+y=Asin(x+) )的形式后再求解的形式后再求解【通关题组】【通关题组】1.(20211.(2021新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数f(x)=f(x)=那么那么( )( )A.y=f(x)A.y=f(x)在在(0, )(0, )内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线x= x= 对称对称B

26、.y=f(x)B.y=f(x)在在(0, )(0, )内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线x= x= 对称对称C.y=f(x)C.y=f(x)在在(0, )(0, )内单调递减，其图象关于直线内单调递减，其图象关于直线x= x= 对称对称D.y=f(x)D.y=f(x)在在(0, )(0, )内单调递减，其图象关于直线内单调递减，其图象关于直线x= x= 对称对称sin2xcos2x)44（）（，22222244【解析】选【解析】选D.D.由于由于f(x)=f(x)=所以所以f(x)f(x)在在(0, )(0, )内单调递减，且图象关于内单调递减，且图象关于x= x= 对称对称

27、. .sin2xcos2x)44（）（2sin2x2cos2x,44（）222.(20212.(2021株洲模拟株洲模拟) )知函数知函数f(x)=f(x)= 那么那么f(x)( )f(x)( )A.A.周期为周期为,且图象关于点且图象关于点( ,0)( ,0)对称对称B.B.最大值为最大值为2 2，且图象关于点，且图象关于点( ,0)( ,0)对称对称C.C.周期为周期为2,2,且图象关于点且图象关于点(- ,0)(- ,0)对称对称D.D.最大值为最大值为2 2，且图象关于，且图象关于x= x= 对称对称3sinx3cosx,44（）（）xR,121212512【解析】选【解析】选B.f(

28、x)=B.f(x)=3sinx3cosx44（）（）sin(x)3cos(x)44sin(x)3cos(x)44132 sin(x)cos(x)24242sin(x)2sin(x),4312由于由于xR,xR,所以所以所以所以-1sin(x- )1,-1sin(x- )1,那么那么f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.由于由于=1,=1,所以周期所以周期T= =2.T= =2.当当x- =k(kZ)x- =k(kZ)时，时，f(x)f(x)图象关于某一点对称，图象关于某一点对称，所以当所以当k=0k=0时，求出时，求出x= ,x= ,即即f(x)f(x)图象关于图象关于( ,0)( ,0

29、)中心对称，中心对称，应选应选B.B.xR,1212211212123.(20213.(2021新课标全国卷新课标全国卷)设当设当x=x=时时, ,函数函数f(x)=sinx-2cosxf(x)=sinx-2cosx获得最大值获得最大值, ,那么那么cos=cos=. .【解析】【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)，其中，其中tan =tan =-2-2，当，当x+=2k+ x+=2k+ 时，函数时，函数f(x)f(x)获得最大值，即获得最大值，即=2k+=2k+ -. -.所以所以cos =cos( -)=sin c

30、os =cos( -)=sin ，又由于，又由于tan =-2tan =-2，在第四象限，所以在第四象限，所以sin =- sin =- ，即，即cos =- .cos =- .答案：答案：- -52222 552 552 55【加固训练】【加固训练】1.(20211.(2021泰安模拟泰安模拟) )知函数知函数f(x)= sin x-cos xf(x)= sin x-cos x，xRxR，假设假设f(x)1f(x)1，那么，那么x x的取值范围为的取值范围为( )( )3A.x |kxkkZ3B.x |2kx2kkZ35C.x |kxkkZ665D.x |2kx2kkZ66 ， ，【解析】选

31、【解析】选B.B.根据题意，得根据题意，得f(x)f(x)2sin (x- )2sin (x- )，f(x)1f(x)1，所，所以以2sin (x- )12sin (x- )1，即，即sin (x- ) sin (x- ) ，由图象可知满足，由图象可知满足 解得解得 2kx2kx2k2k(kZ)(kZ)6661252kx2kkZ666，32.(20212.(2021南宁模拟南宁模拟) )设设a=sin 14a=sin 14+cos 14+cos 14，b=sin 16b=sin 16+cos 16+cos 16，c= .c= .那么那么a a，b b，c c按从小到大的顺序陈列为按从小到大的顺

32、序陈列为 【解析】【解析】a=sin 14a=sin 14+cos 14+cos 14= sin 59= sin 59，b=sin 16b=sin 16+cos 16+cos 16 sin 61 sin 61，c c sin 60 sin 60. .由于由于595960606161，所以，所以sin 59sin 59sin 60sin 60sin 61sin 61，所以所以acb.acb.答案：答案：acbacb62262223.(20213.(2021上海高考上海高考) )函数函数 的最大值的最大值为为 . .【解析】【解析】故函数的最大值是故函数的最大值是答案：答案：ysinx cosx2

33、6（）（）ysinxcosx26（）（）2cos xcosxcos x(coscos xsinsin x)6663131cos 2x1cos xsin xcos xsin 2x2222413cos2x,264（）（）23.42344.(20214.(2021北京高考北京高考) )知函数知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的定义域及最小正周期的定义域及最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间. . sin xcos x sin 2xf x.sin x【解析】【解析】(1)(1)由由sin x0sin x0，得，得xk,kZxk,kZ，所以定义域为，所以定义

34、域为x|xk,kZ.x|xk,kZ.所以最小正周期所以最小正周期T= =.T= =.(2)(2)令令所以单调递减区间为所以单调递减区间为 2sin xcos x 2sin xcos xf x2sin xcos x2cos xsin xsin 2xcos 2x12sin2x1,4 （）223372k2x2k,kxk,24288 得37k,k,kZ.88【规范解答【规范解答4 4】三角变换在研讨三角函数中的运用】三角变换在研讨三角函数中的运用【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021陕西高考陕西高考) )知向量知向量a=a=cos x, cos x, , ,b=( sin x,cos

35、 2x),xR,b=( sin x,cos 2x),xR,设函数设函数f(x)=ab.f(x)=ab.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .1230,2【审题】分析信息【审题】分析信息, ,构成思绪构成思绪信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)f(x)=f(x)=ab, ,求求f(x)f(x)的最的最小正周期小正周期根据向量数量积的坐标运算根据向量数量积的坐标运算得得f(x)f(x)的解析式的解析式化简化简f(x)f(x)解析式解析式利用周期公式求周利用周期公式求周期期(2)(2)求求f(x)f(x)在在 上的最大上的最大值和最小值值和最小值由由x x的限定范围的限定范围整体角的范整体角的范围围在正弦曲线中截图在正弦曲线中截图求求最大值和最小值最大值和最小值0,2【解题】规范步骤【解题】规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)f(x)=ab=cos x sin x(1)f(x)=ab=cos x sin x cos