费马原理与胡不归问题

1、费马原理与胡不归问题费马原理与“胡不归”问题费马(Fermat ,1601 1665)是法国的数学家，生于法国南部波蒙镇，以律师为 职业，长期任图卢兹议会议员.他自幼谦虚好静，喜欢博览群书，不仅精于数国语 言与文学，而且十分爱好自然科学，其中特别是数学，著作有平面及空间位置理 论导言求最大和最小值的方法等在物理学上，费马在研究了光的反射现象与折射现象后，推广了亚历山大的海 洛(Hero)原理，即在公元100年左右海洛证明的：从A点发出的光经镜面反射到另 一点B时，光所走的路径是AB两点间最短的路径.费马在推广海洛的结论时，把 光的折射现象也包括进去，于1650年提出了光传播时的最小时间原理，即

2、光从 A 点到达B点，光束所走的路径是费时最少的路径他把光的直进、反射、折射定律 等几何光学定律，概括成一个统一的原理费马原理现在的表述是：光线由一点传播 到另一点，其间无论受到多少次反射或折射，光均沿着光程为极值的路径传播费马原理所提供的寻找光束路径的基本方法，为解决在当时已经流传千年的“胡不归”问题开辟了蹊径，在今天许多高中学生在学完了折射定律之后，都渴望 知道，耐人寻味的“胡不归”问题它是怎样被解决的 .古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他 得悉在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶 路，由于思念心切，他挑选了全是沙砾地带的直线

3、路径AB(如图1所示)，他认为走近路必定最省时，因此，他放弃了沿驿道 AC先走一程的想法.当他气喘吁吁地来 到父亲跟前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭 邻舍闻声前来劝慰，有人 告诉小伙子，老人在弥留之际，还不断喃喃地叨念“胡不归 ，胡不归”.并且深 为怜惜地问道：“你为什么不向掌柜借用一下马车，沿驿道先走一程呢 ，”由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢，倘若有可能，则又应该选择一条什么样的路线呢，这就是曾经风靡千年的“胡 不归”问题.费马在解决“胡不归”问题时，把小伙子看作光粒子，光粒子就是其物理模型，然而，根据光的折射定律建立其数学模型，非常巧妙地解

4、决了“胡不归”问题下面，笔者就上述“胡不归”问题，运用光的折射定律作一简单的解答我们设想从A点发出的一束光（代替小伙子）先与两媒质（驿道跟沙砾地带）界面AC（即驿道）成一很小的角度入射到D点，此时光速为v1，然后折射入第二种媒质（沙砾地带）到达B点，此过程中光速为v2,假定此光束沿ADB路线传播是符合折 射定律的路径，过入射示，根据折射定律有光束由A?D D?B总共所需时间为又若此束光从A点发出，沿AB直线，以速率v2传播（即小伙子所走的实际路 线），其所需时间为:为了比较t1与t2，先过A点作DB的平行线AL,再过D B两点作AL的垂线，分别交于D点和B'点，如图3所示.显然在三角形?ADD中，？ADD =r，?DD A=a，由正弦定律可得：由(1)(4)两式可得：再将上式代入(2)式消去v1，并注意到DB=D B'，则