费马点的两证明方法_第1页
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文档简介

1、费马点的证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶 点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三 顶点的连线两两夹角为120度的点。1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长 BA 至 C'使得 AC=AC'，做/ C'AP'= / CAP，并且使得 AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形 APC以A为中心做了个旋转）则厶 APC

2、AP'C'vZ BAC > 120 °/ PAP'=180 ° - Z BAP- Z C'AP'=180 ° - Z BAP- Z CAP=180 ° - Z BAC <60 °等腰三角形 PAP'中，AP > PP' PA+PB+PC > PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点3、当所有内角都小于120。时FD做出 ABC 内一点 P,使得/ APC= / BPC= / CPA=120 ° ,分别作 PA,P

3、B,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于 P的点P',连结P'A,P'B,P'C ,过P'作P'H垂直EF于H易知/ D= / E= / F=60。，即 DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有 2S=d(PA+PB+PC) P'A > P'H所以 2S EP'F < P'A*d同理有2S DP'F < P'B*d2S EP'D < P'C*d相加得 2S < d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC &l

4、t; P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所以 P 是费马点虽然不知道费马点在那里， 我们先假设他在某个位置， 做出来， 证明他不可能具 有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于 120 度的时 候。以A,C为焦点，AP+PC为长轴长，做椭圆，以B为圆心，BP为半径，做圆我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点P'则P'在圆内也在椭圆内所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC ，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切(不可能没 有公共点吧，因为都过P)做他们的公切线，并作直线 BP，显然BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知，BP平分角APC，所以

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