连续型随机变量及其分布

1、一、连续型随机变量二、几种常见的连续型随机变量 2.3 2.3 连续型随机变量的概念密度连续型随机变量的概念密度上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、连续型随机变量 定义定义1 1 对于随机变量X如果存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有 F(x)= (1)xdttf)(则称X为连续型随机变量，称函数f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度。 注注:1) :1) 由(1)式,在f(x)的连续点x上有 F(x)=f(x) (2) 2) Px1Xx2 =F(x2)-F(x1)3()( ,)(2121xxdxxfxx 3) 3) 当f(x)在x=x0连续时,利用定积分的性质知:000

2、022()(4)limxxxP xXxf xx 上页下页铃结束返回首页概率密度具有以下两个性质：1) f(x)02)7(1)(dxxf(6)式的几何意义:P(axb)0abxf(x)dxxfba)(4) 4) 对任意实数a,PX=a=0 (5)bXaPbXaPbXaPbXaP)6(,)(dxxfba上页下页铃结束返回首页x0f(x)1)(dxxf (7)式的几何意义:上页下页铃结束返回首页 概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系为x0f(x)xdttfxPxF)()()(xx)()()(xFxfxf的一切连续点有因此对于上页下页铃结束返回首页 例例1 1 设随机变量X的概率密度函数求C的

3、值,PX1以及X的分布函数.其他, 020),24()(2xxxcxf 解解:由密度函数的性质2得dxxf)(1202)24(dxxxcc3883c102)2(431dxxxXP2131431032xx上页下页铃结束返回首页 当x0时)(xPxFx时20 xxdttf)(时2x00)(tdtxPxFx)(xPxFx220200)2(430dtdtttdt)31(43)2(43032020 xxdtttdtxxdttf)(=1其他, 020),24(83)(2xxxxf上页下页铃结束返回首页 当x1,P0Xln2 解解(1)时0 xxdttfxF)()(xxtedte2121时0 xxdttfx

4、F)()(xxttedtedte2112121000,2110,21)(xexexFxx上页下页铃结束返回首页 (2)0,2110,21)(xexexFxx121) 1 (11eFXP41)0()2(ln2ln0FFXP上页下页铃结束返回首页 例例3 3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为0, 00,101)(10 xxexfx今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率. 解解: :设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,则 分析分析: :设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,Y为行驶的路程数不足30万公里

5、的轮胎数.则YB(5, p).而目前未知,故由题意先求出p30)(30dxxfXPp9502. 01101330010edxex上页下页铃结束返回首页 例例3 3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为0, 00,101)(10 xxexfx今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率. 解解: :则 YB(5, 0.9502)4155005)0498. 0)(9502. 0()0498. 0()9502. 0(1CCP=0.99997上页下页铃结束返回首页二、几种常见的连续型随机变量1 1 、均匀分布、均匀分布定

6、义定义2 2 如果随机变量X的概率密度为则称X服从区间a,b上的均匀分布。 例例4 4 设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧1100欧,求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。)8(, 0,1)(babxaabxf其他解解: :R的密度: 其他, 01100900,2001)(xxfP9500)为常数，则称X服从参数为、的正态分布或高斯分布，记为XN(，2)。21上页下页铃结束返回首页 正态分布密度函数的性质和特点： 1) f(x)的图形关于直线x=对称，即f(-x)=f(+x)，从而有 P-xX=P10dxex10110101368. 01edxex2010101101233. 021ee(2)10X 20 例例1010 设某电话交换台等待第一个呼叫来到的时间X(以分计)是随机变量,服从参数为的指数分布， X的概率密度为,0, 00,1)(xxexfx设已知第一个呼叫在5分钟到10分钟之间来到的概率是0.25,试求第一个呼叫在20分钟以后来到的概率.上页下页铃结束返回首页 解解: : 由题意得41105 XP411105dxex即41105ee即41)1 (55ee即215e得200120 xP Xedx则第一个呼叫在2 分钟以后才来到的概率为1