随机变量的数字特征-深圳大学

1、随机变量的数字特征-深圳大学四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征随机变量的数字特征-深圳大学考试内容考试内容（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望（均值）设X的分布律为, 2 , 1,)(ipxXPii(级数 绝对收敛)kkkpxkkkpx)(XE则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则dxxxfXE)()(（ 绝对收敛）dxxxf)(随机变量的数字特征-深圳大学3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.离散型：( ) ()();kkkE YE g Xg xp连续型：( ) ()(

2、) ( ).E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数.离散型：连续型：( ) (, )( ,);ijijijE ZE g X Yg x yp ( ) (, )( , ) ( , ).E zE g X Yg x y f x y dxdy随机变量的数字特征-深圳大学4.数学期望的性质(1) E(C)=C;(2) E(aX+b)= aE(X)+b;(3) E(X1+ X2+Xn)=E(X1)+ E(X2)+E(Xn);(4) 若X1, X2,Xn相互独立,则 E(X1 X2Xn)=E(X1) E(X2)E(Xn);(5).()()(22

3、2YEXEXYE随机变量的数字特征-深圳大学（二）方差（二）方差1.定义 D(X)=EX-E(X)2均方差或标准差：)()(XDX 2.计算(1) 离散型：.)()(2kkkpXExXD2()()( ).D XxE Xf x dx(2)连续型：(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).随机变量的数字特征-深圳大学3. 方差的性质(1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2)(2) D(C)=0;(3) E(aX+b)= a2D(X);(4) D(XY)=D(X)+ D(Y) 2Cov(X,Y);若X, Y相互独立,则 D(XY)=D(X) +D(Y)

4、.(5) D(X)=0 P(X=C)=1.随机变量的数字特征-深圳大学（三）协方差、协方差矩阵与相关系数（三）协方差、协方差矩阵与相关系数Cov(X,Y)= EX-E(X) Y-E(Y)1.协方差2.相关系数.)()(),(),(YDXDYXCovYXXY用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度.当 较大时，说明X,Y 线性关系程度较强；当 较小时，说明X,Y 线性关系程度较弱；当 时，称X与Y不相关（线性）.XYXY0XY随机变量的数字特征-深圳大学3.协方差矩阵设(X1, X2,Xn)是n维随机变量,若cij=Cov(Xi,Yj),nji, 2 , 1,存在，则称矩阵为n维随机变量(X

5、1, X2,Xn)的协方差矩阵.nnnnnnccccccccc212222111211随机变量的数字特征-深圳大学4.协方差及相关系数的性质 Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y); (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）; (4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y); (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y); (6) (7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,1;XY. 1)(baXYP1XY 且a0,使),0( 1)(1),0( 1)(1abaXYPabaXYPXYXY(8)随机变量

6、的数字特征-深圳大学（四）矩与混合矩1.随机变量X的k阶原点矩：), 2 , 1)(kXEk随机变量X的k阶中心矩：() (1,2,)kE XE Xk2. 设(X,Y)为二维随机变量,X和Y 的k+l 阶混合原点矩为：()( ,1,2,);klE X Yk l X和Y 的k+l 阶混合中心矩为：() () ( ,1,2,)klE XE XXE Xk l 数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，协方差是协方差是1+1阶混合中心矩阶混合中心矩.随机变量的数字特征-深圳大学（五）常见分布的数学期望与方差（五）常见分布的数学期望与方差 分布数学期望 方差0-1分

7、布B(1,p) pp(1-p)二项分布B(1,p) npnp(1-p)泊松分布几何分布 G(p)(1-p)/p2超几何分布H(N,M,n)均匀分布正态分布指数分布)(P( )E),(2N),(baUp/1NMn(1)1MMNnnNNN2/ )(ba12/)(2ab2/121/随机变量的数字特征-深圳大学（六）重要结论（六）重要结论5个等价条件：)()()()5()()()()4()()()()3(0),()2(0) 1 (YDXDYXDYDXDYXDYEXEXYEYXCovXY注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件.随机变量的数字特征-深圳大学考点与例题分析考

8、点与例题分析考点一：数学期望和方差的计算考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性随机变量的数字特征-深圳大学考点一：数学期望和方差的计算考点一：数学期望和方差的计算1.对分布已知的情形，按定义求；2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布，再按定义计算；3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和方差计算；4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量,特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.随机变量的数字特征-深圳大学例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时

9、需要调整的部件数,试求X的E(X)和D(X).解法1 先求出分布律：设事件Ak=第k个部件要调整 （k=1,2,3),则, 3 . 0)(, 2 . 0)(, 1 . 0)(321APAPAP.092. 0) 3() 1() 0(1) 2(.006. 0)() 3(.398. 0)()()() 1(.504. 0)() 0(321321321321321XPXPXPXPAAAPXPAAAPAAAPAAAPXPAAAPXP随机变量的数字特征-深圳大学即X具有的分布律为：006. 0092. 0398. 0504. 03210X从而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46

10、.解法2 用分解法：引进随机变量)3 , 2 , 1( 0 , 1kAAXkkk，不出现出现X0-1分布，()(), ()(1)()1().kkkkkE XpP AD XppP AP A且X=X1+X2+X3， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46随机变量的数字特征-深圳大学注注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本方法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi 是否相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出.,1niiX2. 求离散型随机变量的期望和方差时,会用

11、到无穷级数求和，如下例:随机变量的数字特征-深圳大学例2 对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次射击的命中率为p，求消耗子弹的数学期望.解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则niiXX1, 2 , 1 ,)1 (1kppkXPki于是有12111()(1), 1,2,1 (1)kikE Xkpppinpp121111(1)(1) (1)1 (1)1 (1)kkkkkpppp故1.niinEXEXp随机变量的数字特征-深圳大学例3 设随机变量的概率密度，其它 , 0, 21 ,2, 10 ,)(xxxxxf求数学期望和方差.解 1)

12、2()()(21102dxxxdxxdxxxfXE122232017()( )(2).6E Xx f x dxx dxxx dx2271()()()1.66D XE XEX 注注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.随机变量的数字特征-深圳大学例4 设X的密度函数,1)(122xexfxx则E(X)_, D(X)_.2(1)12211( ),(1, ),1222xf xeXN211随机变量的数字特征-深圳大学考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点二：随机变量函数的数学期望与方差1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如2.直接利用函数期望的公式计算：( ) ()();kkkE YE g

13、 Xg xp( ) ()( ) ( ).E YE g Xg x f x dx( ) (, )( ,);ijijijE ZE g X Yg x yp ( ) (, )( , ) ( , ).E zE g X Yg x y f x y dxdy3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的数学期望与方差计算.( )( ).YE Yyfy dy随机变量的数字特征-深圳大学例5 设XE(1),则数学期望._)(2 XeXE43解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数的期望公式求得.因XE(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为, 0 , 0, 0 ,)(xxexfx2201().3XxxE eee

14、dx224()()().3XXE XeE XE e指数分布随机变量的数字特征-深圳大学例6 设X的密度函数,)1 (1)(2xxxf求).1 ,min( XE解 直接利用函数期望的公式计算11122012101min(,1)min(,1)( )( )122(1)(1)1ln21ln(1)2arctan2xxEXxdxx f x dxf x dxxdxdxxxxx随机变量的数字特征-深圳大学注注：在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如 设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,其密度函数2()2, ,( )0

15、, .xexf xx试求 的数学期望和方差.niXZ1min为常数（自行完成）随机变量的数字特征-深圳大学例7 设是两个相互独立且均服从正态分布 )21( , 0 (2N的随机变量，则._)(YXE解 令Z=X-Y，则E(Z)=0, D(Z)=1,即).1 , 0( NZ故积分，得2212().2zE XYzedz注注：利用正态分布的性质、随机变量函数的期望公式随机变量的数字特征-深圳大学例8 一工厂生产的某种设备的寿命X（年）服从指数分布,概率密度函数为41, 0,( )40, 0,xexf xx规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花

16、费300元，试求厂方出售一台设备赢利的数学期望.解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为100,-200.因分析：先求出赢利的分布.随机变量的数字特征-深圳大学11111444001( )( )1 1,4xxP Xf x dxf x dxe dxee Y的分布律为kpY 100 -20014e141e所以，64.33)1 (200100)(4141eeYE注注：Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.随机变量的数字特征-深圳大学考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量函数的期望的计算，方法见考点二；X,Y

17、相互独立. 0XY若(X,Y)服从二维正态分布，则X,Y相互独立. 0XY2.独立性与相关性的关系随机变量的数字特征-深圳大学例9 将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为_. 1 )( .21)( . 0)( . 1)(DCBA )(A解 因X+Y=n,即Y=n-X.法1 用定义求：D(Y)=D(n-X)=D(X)(),(),(),(XDYXCovnXXCovYXCov因此，(, )()(, )1.()( )()( )XYCov X YD XX YD XD YD XD Y 法2 用性质(7)：因Y=n-X，Y是X的线性函数,且X的系数为-10,故X

18、和Y的相关系数为-1.随机变量的数字特征-深圳大学例10 设 其中,2131YXZ)4 , 0 (),3 , 1 (22YNX且.21XY(1)求E(Z), D(Z)；（2）求X,Z的相关系数；（3） X与Z是否相互独立？为什么？解（1）由期望和方差的性质有11111( )()( )10.32323E ZE XE Y 221111( )()()(,)3232111 1 ()( )2(, )323 2D ZDXDYCovXYD XD YCov X Y1111 916( )( )53 4 3.9432XYD XD Y 随机变量的数字特征-深圳大学（3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z服

19、从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关, X与Z仍不一定相互独立.（2）211(, )(,)(, )32111 =3() 3 40.322Cov X ZCov X XCov X Y 故(, )0.()( )XYCov X ZD XD Z注注： X与Z 均服从正态分布，且X与Z 相互独立，则(X,Z)服从二维正态分布.随机变量的数字特征-深圳大学例11.(08)设随机变量 (0,1), (1,4),XNYN且 则, 1XY. 112)( . 112)(. 112)( . 112)(XYPDXYPCXYPBXYPA考查：相关系数的性质：. 1)(baXYP

20、1XY 存在a,b,使以及正态分布数字特征的性质.解 选D. 由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,. 1)(baXYP1,XY故存在a,b,使从而EY=aEX+b,得b=1.而()()0 11.2()( )14XYE XYEXEYE X aXbaD XD Z . 2a随机变量的数字特征-深圳大学考研题及练习题考研题及练习题1. 设随机变量(X,Y)在区域D:0 x1,-xyx内服从均匀分布，求Z=2X+1的方差.(两种方法)答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.随机变量的数字特征-深圳大学2.(08）设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX=EX2_.e21考查：泊松分布的数字特征及其概率分布.参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=Px=2=1/2e.3.(04134) 设随机变量X服从参数为 的指数分布,则._ )(XDXPe1随机变量的数字特征-深圳大学4.(041)设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,且其方差为 令 则. 02 .1),()( .2),()( .),()( .),()(21212121nnYXCovDnnYXCovCYXCovBnYXCovA11,niiYXn提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意到利用独立性有：1(,)0,(2,3,)iCov