高等数学第一节

1、高等数学第一节8.1.1向量的概念向量的概念向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模向量的模(向量的大小向量的大小)：模长为模长为1 1的向量的向量. .单位向量：单位向量：或或或或一、向量的概念一、向量的概念自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方

2、向相反的向量. .a aba a高等数学第一节两向量的夹角的概念：两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 两向量平行与共线：两向量平行与共线：两向量方向相同或相反。两向量方向相同或相反。O1 加法：加法：cab bc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连) ABCDabcABCa二、向量的线性运算二、向量

3、的线性运算向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa减法减法()baba bacabccbaab三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连) ,abababab, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 2 向量与数的乘法向量与数的乘法1, ( 1).aaaa 高等数学第一节例例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形

4、.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab11()22AMMCACab 11()22BMMDBDab 还可得还可得高等数学第一节同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.3 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)

5、()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性：必要性： 设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理/ ,ba4 数轴上的向量数轴上的向量建立一条数轴及轴上的单位向量建立一条数轴及轴上的单位向量iiO