计算方法：第1章习题答案

1、11.己知/(-l) = 2,/(1) = 1,/(2) = 1,求/(X)的厶插值多项式。解：由题意知：XQ=一1,-勺=1,X2= 2; yQ= 29yl= 1, y2= 1f_(x_l)(x_2)0(勺一不)(兀0兀2)6I _ (X7O)(X72)_O+1)(X_2)1(坷一勺)(西一兀2)一2/ _ (/_“)(兀_召)_(x+l)(x_l)2(x2-x0)(x2-)3厶(兀)=爭佃=(罗2)x2+(x + l)-2)xi+(x + iy-l)xl= (F_3X+ 8)2.取节点兀=0,為=1心=*,对y = ex建立Lagrange型二次插值函数，并估 计差。解1)由题意知：1 -

2、1X。= o,A; = 1,兀=-;y0= 1,开=el,y2= e2则根据二次Lagrange插值公式得：厶(X)= (X_Xj(X7j儿 * (兀心-无)儿 *(X_X)(X_Xj ”0-xj(x0-x2) 3-兀)(.暫一耳)(兀一兀)(兀一兀)2=2(x - l)(x - 0.5) + 2x(x - 0.5)e_1- 4x(x - lje-0 5=(2 + 2严一4e5)x2+ (4八5 _el-3)x+l2)根据Lagrange余项定理，其误差为f叫占)1I凡冃 “+】冃-厂欣(X- l)(x-0.5)13!o max I x(x-l)(x-0.5) LG(0,1)6 OA1取t(x

3、) = x(x- l)(x- 0.5),并令/(x) = 3x-3x + 0.5 = 0可知当* =三匹=0.2113时，f(x)有极大值/. R2(X)| -X0.2113X(0.2113 1)x(0.2113-0.5) = 0.0080223.己知函数y = yfx在x = 4,x = 6.25,x = 9处的函数值，试通过一个二次插值函数求“的近似值，并估计其误差。解：由题意y =五知：兀=4眄=6 25,丕=9; yQ=2、） =2 5,儿=3(1)采用Lagrange插值多项式y = yfx Lx)=乞/丿3)丫7=0尸后厶(叽=7(x xJCrxJ (xx)(xxj0兀)0人)=-

4、y -(- y -w(X。一Xj(x -x2) 0(X 兀)(兀 一xj 1(x2-x0)(x2一xj2=(7-625)(7 9) x 2+(7 - 4)(7-9)x2 5+(7-4)(7-6.25)x 3-2.25x2.75 2.75x5凡(7) =3 -23 -则max(x)|=420.0117218R2(7) /x Nx）根据题意作差商表： /U)一阶差商二阶差商04216.252.5%293X1-95W7) = 2 + % x (7 - 4) + (- %95)x (7 - 4) x (7 - 6.25) 2.64848484.设于伙=0丄/)，试列出/(X)关于互异节点兀(心0丄/)

5、的Lagrange插值多项式。2.25x5=2.6484848其误差为严始）3注意到：若” +1个节点兀（心0丄/）互异，则对任意次数的多项式/（X）.它 关于节点兀（心0,1,满足条件卩（兀）=口 =0,1,./的插值多项式P（x）就是它本 身。可见，当kn时幕函数/（X）= 2伙=0,1,关于” +1个节点兀（心0丄/）的插值多项式就是它本身，故依Lagiange公式有f MY （x） = f（九一三= 0丄,；=0；=0 1=0X XiiX Xi i详j j特别地，当k = 0时，有n nitit n n y y _ _ y y工心工口三三1J=o；=oi=Oi=OA AJ JA Ai

6、i诿j j而当R = 1时有x-xi1=0Xj一兀详j5 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和NwwS”插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。A0124/W19233 - 兀一人入一乙A0-x30-10-2 =0-48x-xQ. x-x2. x-x5x-0 x-2x 4 x3- 6x2+ 8xX XQX x2X 1-01-21-43X-X.厶（X）=1工W=x-l x-2 x-4x3-7x2+ 14x-8/0(x)= f rCw=fl/=0,j-Xj-Xi iXj = X解：（1） Lagrange插值多项式厶（x）=Z（x）兀4x-0 x-lX-2_X3-3XZ+

7、 2X24(x_l)(x_2)(x_4)% + (x_0)(x_2)(x_4) % 9十(0-1)(0-2)(0-4)(l_0)(l_2)(l_4)(x_0)(x_l)(x_4)% 23 +(x_0)(x_l)(x_2)*(2-0)(2-1)(2-4)(4 0)(4 1)(4 2)= -i(x2一3x+2)(x_4) + 3x(F一6x+8)一-5x+4)+x(x2一3x+2)11 3 45、11=-X+X 一x + 1442（2） Nexxlon插值多项式k/UJ一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-108w = /(xo) + /(xo,x1)(x-xo) + /(x

8、o,x1,x2)(%-xo)(x-x1)一+竺宀丄“1442由求解结果可知：厶（列=他（切说明插值问题的解存在且唯一。6.己知由数据(O、O),(O 5,yJ,(l、3)和(2,2)构造出的Lagrange插值多项式&(X)的最高次项系数是6,试确定开。翻,z xx-xx-x x-x. x-0.5 x-l x-2377*W： I Ax) =- x- x- =-x x=一才 +_jr 一x+1XQ X| X、X。禺0 0.5 0 10 222.z、x-x0 x-乙x-x, x-0 x-l x-2加)二口x3-XQx3- X x3一x2厶（x） =x-x3+f2,x3)(x-xQ)(x-xl)(

9、= n丿r7.设/(x) = x4,试利用Lagrange余项定理给出/(x)以-1,0,1,2为节点的插值多项式厶(X)。解：由Lagrange余项定理f(+l)处力可知：当=3时，严+临)=/(x)L=广4!4*)5)一阿(r)(r)(r)(r)=x4-(x + l)(x - 0)(x - l)(x - 2)2f + x2-2x& 设/(x)eC2且f(a) = f(b) = 0,求证证明：以为节点进行线性插值，得厶心斗伽+严仙a-b b-a由于/() =/(b) = 0,故厶=0。于是由/(X)-厶(x) =- (x - a)(x - b),ab令/(x) =(X-a)(x-b)xe a

10、.b有|/w|=(x a)(x b)6t,(x) = 2x-(a + b) = 0 .x=!时|心)|有极大值酣/（诽扣驚卩 3曲（D（一绷9 求作y（x）=yr+1于节点兀（,=o丄屮）的Zzy初g插值多项式，并利用 插值余项定理证明i：U(o)=(_iyfp,1=0 1=0式中4（X）为关于节点兀（，=0丄昇2）的Lagrange插值基函数。解：注意到f（x）= Z+1关于节点xz（/ = 0丄/）的插值多项式为其插值余项为（/,+1）宀 工讣戶占）戶0I 十丄丿1=0/=0据此令兀=0即得i：u（o）=（1）”仏。;=0 /=0附加题：设/，（兀）为关于节点兀（,=0丄昇2）的厶蚣如弊插

11、值基函数，证明证明：据题4可知，工/,（*三11=0令X = O,则有工厶（0）三1。注意到匸0（忑一对气（町三0,比=1,2,.,“（证明见王能超数值简明教程145页题6）/=0A.W=矿1=X Xj jX Xi i戶0;=o /=0i i丰j j和0)=1=0卜k = 00, k = 1,2,丿7令x = 0即有x；7,.(0) = 0o/=010.己知/（X） =X7+3X5+ 2X3+ 1,求差商/（20,2.-,27）和/（22,）。解：根据差商与微商的关系，有/(2。,2；.)=碍0=命1,/(2,21,.,28) = = = 011.己知/（x） = %4（x） = II（x-兀

12、）卫=0丄/）互异,求/（X。片宀）O1=0其中pn + .（此题有误。）（见王能超教程P149题2）解：因为/w = cottU(X)=-X.),X.(/ = 0,10 + A (x) X + A (x) 2 +坊(x) y；其中,&(x)，A(x),儿(X),坊(X)均为三次多项式,且满足条件人(0) = 14(1) = &(1)=4=04(1)=1A(O)=A(1OB；=1B1(0)=B1(l) = B1(2) = 0心2) = 1 A(0) = A(l) = AKl) = 0依条件可设4W =C(X-I)2(X-2),由 人(0)=1,可得:C=弓人(x) =一扌(x-l)(x_2)同

13、理，y41(x) = -x(x-2),A2(x) = ix(x-l)2,1(x) = -x(x-l)(x-2)为什么这么设？+ ix(x-l)2x9 = x3+ l如何得來?/3(x) = -*x-l)-(x-2)xl一x(x-2)x2-x(x-l)(x-2)x3/(X)-H3(X) = (X-X。)(X-xJ误差为:& （x） = f一比=/，心-厅（X-2）解法2：用承袭性构造aW由条件H.（0）= 1, H.=2,他（2）= 9先构造一个二次多项式N,作差商表：1&%)一阶差商二阶差商001112122973于是有:?/.(%) = 1 + 1x(%-0) + 3(x-0)(x-l) =

14、 3x2-2x+l令所求插值多项式/3(X) = A2(X) +C(X-X0)(X-X1)(X-X2)利用剩下的一个插值条件H；(l) = 3,得M (xj + c(X - X。)(兀 一 w )=人(XJ为什么? 由此解出c = f；(x) - N；(xJ =3-4= 1(不_兀0)(鬲_兀2) (1-0)(1-2)故有P(X)= N2(x) + x(x- l)(x - 2) = X +119.求作满足条件亿（兀）= /（兀）（心0,1）,亿的（兀）=/旧（兀）伙=1，2）的插值多项式P（x）并给出插值余项。解：令比（X）= /（兀）+ 广（兀）（X。） +畀（兀）2H （x） = H2（X

15、） +C（X-X0）3利用插值条件日3（兀）=/（xJ定出：/（召K）/(X)-H3(X) = (X-X。)(X-xJ注意到这里X。是三重零点，X是单零点，故插值余项为1520.求作次数4的多项式P(x),使满足条件P(0) =-屮1) = 0, P(O)= -2, P(l) = 10, P(l) = 40并列出插值余项。解法1：由于在x = 0处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在x= I处有直到二阶导数值的插值条件所以x = l是“三重节点”。 因此利用重节点的差商公 式：可以作出差商表石fM一阶二阶三阶四阶0-i0-i-21013101096101020115根据New

16、ton插值多项式，有P(X)= /(Xo)+/(Xoo)(x7o) + /(Xo，Xo，xJ(X7o)+/(兀，兀叭眄儿丫一氏)(X-X1) + /(A0,X0,X1,XpX1)(X-X0)2(X-AjP(x) = 12x+3对 +6x (x1) + 5x (x1)y且插值余项为4)-)諾严)(沪(-I)，21.设分段多项式x3+ x0 xlS (X)=“2x3+ bx2+ cx-l. 1 x2是以0丄2为节点的三次样条函数，试确定系数也c的值。解：由S(x 0) = S(x + 0)和S (x -0) = Sx + 0) of得S(1 0) = S(1 + 0)和S(1 0) = S(1 +

17、 0)|2 = 2 + b + c-l (3 +2 = 6 + 2b + c心叭,.,仏小嘗lin解得22.根据给定的数据表16X123/w2412f51-1建立一个三次样条插值函数S(x) o解：由己知作差商表kf(无)y( (x* ,Xjt+i,Xjt+2) )01212422312S3节点等距h.h = x/+1一兀=1，& = -1 = 0.5Vi+h，“i = 1 & = 0.5”d = 6(/(兀,兀)一)?o) = 6(2-1) = 6 d = 6/(兀,兀,呂)=18.d 2 = 6()、一j CgxJ) = 6(1 8) = 54的线形方程组岸。解得：MO=-7,M1= 20,M2=-37又在X&T，母上/