直线与平面的夹角

1、3.23.2.3直线直线与平与平面的面的夹角夹角理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第第三三章章空空间间向向量量与与立立体体几几何何考点三返回返回返回返回32.3直线与平面的夹角直线与平面的夹角返回返回 如图在正方体如图在正方体ABCDA1B1C1D1中中 问题问题1：AC是是A1C在平面在平面ABCD内的射内的射影吗？影吗？ 提示：因为提示：因为AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD内的射影内的射影返回返回 问题问题3：由问题：由问题2你能得到什么结论？你能得到什么结论？ 提示：斜线与射影的夹角小于斜线与平面内其他直提示：斜线与射影的夹角小于斜线与平

2、面内其他直线的夹角线的夹角 提示：提示：当当为锐角时为锐角时90，当，当为钝角时，为钝角时，90. 问题问题2：你能比较：你能比较A1CA与与A1CB的大小吗？的大小吗？返回返回 1直线与平面的夹角直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为的夹角为 ； (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为直线与平面的夹角为 ； (3)斜线和它在平面内的斜线和它在平面内的 所成的角叫做斜线和所成的角叫做斜线和平面所成的角平面所成的角(或斜线和平面的夹角或斜线和平面的夹

3、角)； (4)直线与平面的夹角的范围是直线与平面的夹角的范围是 0射影射影返回返回 2最小角定理最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式：线线角、线面角的关系式： 如图，如图，OB是是OA在平面在平面内的射影，内的射影，OM，是是OA与与OM所成的角，所成的角， 1是是OA与与OB所成的角，所成的角， 2是是OB与与OM所成的角，则所成的角，则cos cos 1cos 2返回返回它在平面内的射影它在平面内的射影返回返回 1斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角 2cos cos 1cos 2中，中，1，2，分别是斜线分别是斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与

4、平面内的直线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角，所成的角，1，2.返回返回返回返回 例例1在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB4，BC3，AA15，试求，试求B1D1与面与面A1BCD1所成角的正弦值所成角的正弦值 思路点拨思路点拨作出作出B1点在平面点在平面A1BCD1内的射影，从而内的射影，从而得到得到B1D1在平面在平面A1BCD1内的射影内的射影返回返回 精解详析精解详析作作B1EA1B，垂足为，垂足为E，又因为又因为A1D1平面平面ABB1A1，A1D1B1E. 由由B1EA1B及及B1EA1D1得得B1E面面A1BCD1， 所以，所以，D1E就是

5、就是D1B1在平面在平面A1BCD1内内的射影，的射影， 从而从而B1D1E就是就是D1B1与面与面A1BCD1所成的角所成的角返回返回返回返回 一点通一点通作直线与平面夹角的一般方法：在直线作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角其中关键是作平面的垂线，此方法简找到要求的角其中关键是作平面的垂线，此方法简称为称为“一作，二证，三计算一作，二证，三计算”返回返回 1.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面为中，底面为直角梯形，直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面底面ABCD，且，且

6、PAADAB2BC，M、N分别为分别为PC、PB的中点的中点(1)求证：求证：PBDM；(2)求求BD与平面与平面ADMN所成的角所成的角返回返回解：解：(1)证明：证明：N是是PB的中点，的中点，PAAB，ANPB.PA底面底面ABCD，PAAD，又又BAD90，AD面面PAB，ADPB.PB平面平面ADMN.DM平面平面ADMN，PBDM.返回返回返回返回2在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别为分别为AA1、AB的中点，求的中点，求EF和平面和平面ACC1A1夹角的大小夹角的大小返回返回返回返回 例例2BOC在平面在平面内，内，OA是平面是平面的一条斜线，的一条斜线，

7、若若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求，求OA与平面与平面所成的角所成的角 思路点拨思路点拨根据定义或根据定义或cos cos 1cos 2求解求解返回返回返回返回返回返回返回返回 一点通一点通求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作中，也可以直接作AHBC于于H，进而证明，进而证明AH平面平面，从，从而证明而证明H是点是点A在平面在平面内的射影解法二则灵活应用公式内的射影解法二则灵活应用公式cos cos 1cos 2求线面角，也是

8、常用的方法求线面角，也是常用的方法返回返回答案：答案：C返回返回 4.如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD中，中，ABCD是正方形，是正方形，PD平面平面ABCD.若若PBC60，求直线，求直线PB与平面与平面ABCD所成的角所成的角.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回5.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中(如图如图)， M、N分别是棱分别是棱B1C1、AD的中点，求的中点，求 直线直线AD与平面与平面BMD1N所成角的余弦值所成角的余弦值返回返回返回返回返回返回6.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，中，P是侧棱是侧棱CC1上的一点，上的一点， CPm，试确定，试确定m，使直线，使直线AP与平面与平面 BDD1B1所成角的正切值为所成角的正切值为3 .返回返回返回返回返回返回 求直线与平面所成角的方法：求直线与平面所成角的方法： (1)定义法：找定义法：找(或作或作)出直线在平面内的射影，得到出直线在平面内的射影，得到线面角，通过解三角形进行计算线面角，通过解三角形进行计算 (2)公式法：利用公式