截面图形的几何性质ppt课件

1、第第 九九 章章 截面图形的几何性质截面图形的几何性质9-1 静矩和形心、惯性矩和惯性积静矩和形心、惯性矩和惯性积9-2 平行移轴公式平行移轴公式9-2 转轴公式转轴公式静矩和形心静矩和形心一、简单图形的静矩面积矩一、简单图形的静矩面积矩1 1、定义：、定义：dA对对y轴的微静矩轴的微静矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量纲：长度、量纲：长度3；单位：；单位：m3、cm3、mm3。dA对对z轴的微静矩轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy3 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。、静矩的值可以是正值、负值、或零。9-1 静矩和形心、惯性矩和惯性积静矩和形心、惯性矩和惯性积yzdAyzo

2、4 4、静矩和形心的关系、静矩和形心的关系 可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS静矩和形心的关系静矩和形心的关系由平面图形的形心公式由平面图形的形心公式结论：结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。 假设图形对某轴的静矩为零，那么此轴一定过图形的形假设图形对某轴的静矩为零，那么此轴一定过图形的形心。心。zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求图形对y、z 轴的静矩Sz=Ayc；Sy=Azc。可

3、以作为公式运用。可以作为公式运用。二、简单图形的形心二、简单图形的形心1 1、形心坐标公式：、形心坐标公式：2 2、形心确定的规律：、形心确定的规律：a a图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。b b图形有两个对称轴时，形心必在两对称轴的交点处。图形有两个对称轴时，形心必在两对称轴的交点处。AydAASyAzcAzdAASzAyc三、组合图形由假设干个根本图形组合而成的图形三、组合图形由假设干个根本图形组合而成的图形的静矩：的静矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、组合图形的形心：四、组合图形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAci

4、i利用根本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单利用根本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单根本图形根本图形-指面积、形心位置知的图形指面积、形心位置知的图形例例1 1 试计算图示三角形截面对于与其试计算图示三角形截面对于与其底边重合的底边重合的 x x 轴的静矩。轴的静矩。 解：解：取平行于取平行于 x 轴的狭长条轴的狭长条dA)()(yhhbybyyhhbAd)(d 三角形对三角形对 x x 轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb ( y )yd yhb三角形形心的 y 坐标：3262hbhbhASyxc惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积一、简单图形的惯性矩一、

5、简单图形的惯性矩1 1、定义：、定义：dA对对 z 轴的惯性距轴的惯性距:dA对对 y 轴的惯性距轴的惯性距:2、量纲：、量纲：m4、mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、惯性矩是对轴而言轴惯性矩。、惯性矩是对轴而言轴惯性矩。4 4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的取值恒为正值。5 5、极惯性矩：、极惯性矩：对对o点而言点而言AodAI2pI222yz 图形对图形对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩:图形对图形对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩:6 6、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和恒等图形对任一

6、对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII yzdAzyo222yz bhzccyc7 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算 圆形截面：圆形截面：实心直径D空心外径D，内径d4641DIIyz)(64144dDIIyz 矩形截面：矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc二、惯性半径：二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、简单图形的惯性积三

7、、简单图形的惯性积1 1、定义：、定义：2、量纲：长度、量纲：长度4，单位：，单位：m4、mm4。3 3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。AzyzydAI4 4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5 5、规律：、规律： 两坐标轴中，只需有一个轴为图形的对称轴，那么图形这两坐标轴中，只需有一个轴为图形的对称轴，那么图形这一对坐标轴的惯性积为零。一对坐标轴的惯性积为零。解：解：AaIdAyadAadAydAaydAyIzcAcAAcAcAz222222)(AbIdAzbdAbdAzdAbzdAzIycAcAAcAcAy222222)(zyoyczcC

8、zcyc 知：图形截面积 A，形心坐标系C zc yc。图形对形心轴 zc 、 yc的惯性矩为 Izc、Iyc ,惯性积为Izcyc 。形心 C 在 oyz 坐标系中的坐标为b 、 a 。 z 轴平行于zc 轴；y轴平行于 yc轴。求：求：Iz、Iy、 Izy 。一、平行移轴公式一、平行移轴公式AAcczydAbzayyzdAI)(abAIdAybdAzaabdAdAzyzcycAAccAAccdAyzab,ayyCbzzC9-2 平行移轴公式平行移轴公式二、组合图形的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩和惯性积zizIIyiyIIziyizyII留意：留意： a a、b b为图形形心在为图形形

9、心在yozyoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，zyoyczcczcycdAyzab平行移轴公式平行移轴公式 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩或惯性积等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩或惯性积之和：例例 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其本身形心轴的半圆对其本身形心轴 xc xc 的惯性矩。的惯性矩。解：解：1 1、求形心坐标、求形心坐标3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxcy2 2、求对形心轴、求对形心轴 xc xc 的惯性矩的惯性矩12826444ddIx181288)(44

10、22dddyIIcxxc由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： 2008001001000例例 求图示求图示T型截面对形心轴的惯性矩。型截面对形心轴的惯性矩。解：解：1 1、取参考坐标轴、取参考坐标轴 z z；y y对称对称轴轴) )， 确定形心坐标。确定形心坐标。zy)(5731016101016400108504545212211mmAAyAyAAyAyccciicZC1ZC2C20；400C10；8500CZ2 2、确定形心轴的惯性矩、确定形心轴的惯性矩 Izc Izc、IyIyIycIyc21ycycyIIICzCy)(1087. 820080012110001001214933mm,2

11、1zczczcIII200 800 1001000ZYZC1ZC2C20；400C10；850CzCy49253211111079.7)573850(101001000121mmaAIIzczc49243222221032.13)400573(1016800200121mmaAIIzczc)(101 .211032.131079.7499921mmIIIzczczcC0；573db2dZ矩形的对称轴Y对称轴O解解 ： 1 1、建立坐标系如图。、建立坐标系如图。2 2、求形心位置。、求形心位置。dddddAyAyAAzAzciicciic177.0432)4(00222zcycz1例例 在矩形内

12、挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的 惯性矩。惯性矩。b=1.5d)3 3、建立形心坐标系；求：、建立形心坐标系；求：Iyc Iyc ， Izc Izc 。)177. 05 . 0(212ddAIyAIIIIzczzczczc圆圆矩矩圆矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIycycyc圆矩db2dZY对称轴O zcycz1dyzcc177.00一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在

13、坐标系 ozy 和坐标系和坐标系 oz1y1 的的的坐标分别为的坐标分别为z，y 和和z1 ， y1 sincossincos11zyyyzz代入惯性矩的定义式：代入惯性矩的定义式：AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11知：知：A A、IzIz、IyIy、IzyIzy、a a。 求：求：Iz1Iz1、Iy1Iy1、Iz1y1Iz1y1。9-2 转轴公式转轴公式sincossincos11zyyyzzAyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11 dcossin2 dsindcos2222AzyAzAyAAAcossin2sincos 22zyyzIII 利用二倍

14、角函数代入上式，得 转轴公式 ：2sin2cos221zyyzyzzIIIIII转轴公式转轴公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII的符号为：的符号为：从从 z 轴至轴至 z1 轴轴 逆时针为正，顺时针为负。逆时针为正，顺时针为负。zyOzyzy11ABCDEdAzy11yzyzIIII11 上式阐明，截面对于经过同一点的恣意一对相互垂直的坐标轴的上式阐明，截面对于经过同一点的恣意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原

15、点的极惯性矩将转轴公式前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0minmax1)(zIminmax1)(yI二、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩zyOzyzy11ABCDEdAzy112200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求

16、得 和和 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin000yzI且zyOzyzy11ABCDEdAzy110y0z02 2、主惯性矩主矩：、主惯性矩主矩： 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0Iz0、Iy0 Iy0 称为主惯性矩，主惯称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的一切轴的惯性矩中的最大和最小性矩为图形对过该点的一切轴的惯性矩中的最大和最小值。值。3 3、形心主惯性轴形心主轴：、形心主惯性轴形心主轴： 假设图形的两个主轴为图形的形心轴，那么此两轴假设图形的两个主轴为图形的形心轴，那么

17、此两轴为形心主惯轴。为形心主惯轴。Izcyc= 0Izcyc= 0。 zc zc、yc yc 为形心轴。为形心轴。zczc、yc yc 为形心主轴。为形心主轴。4 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。图形对形心主轴的惯性矩。IzcIzc、IycIyc。由此引出几个概念：由此引出几个概念：1 1、主惯性轴主轴：、主惯性轴主轴：y0, y0, z0z0 假设图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，那假设图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，那么该对轴为图形过该点的主惯性轴。么该对轴为图形过该点的主惯性轴。 ， 轴为主轴。轴为主轴。000yzI5 5、求截面形心主惯性矩的根本

18、步骤、求截面形心主惯性矩的根本步骤1、建立坐标系。、建立坐标系。2、求形心位置。、求形心位置。3、建立形心坐标系；并求：、建立形心坐标系；并求：Iyc ， Izc ， Izcyc ，AyAASyAzAASzciizciiyc4、确定形心主轴位置、确定形心主轴位置 0 ：yzzyIIItg2205、求形心主惯性矩、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII6 6、几个结论、几个结论 假设截面有一根对称轴，那么此轴即为形心主假设截面有一根对称轴，那么此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为经过形心并与对惯性轴之一，另一形心主惯性轴为经过形心并与对称轴垂直的轴。

19、称轴垂直的轴。 假设截面有二根对称轴，那么此二轴即为形假设截面有二根对称轴，那么此二轴即为形心主惯性轴。心主惯性轴。 假设截面有三根对称轴，那么经过形心的任一假设截面有三根对称轴，那么经过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。)(5 .1912007001200570045212211mmAAzAzAAzAzccciic例例 试确定以下图的形心主惯性矩。试确定以下图的形心主惯性矩。)(7 .3912007001200607005212211mmAAyAyAAyAyccciic解：解：1、确定形心坐、确定形心坐标标c(19.5;39.7)ZCYC801010zyC1C21202 2、建立形心坐标系