两条直线的平行与垂直

1、两条直线的平行与垂直(2)在的直线方程.分析：由BC和AD垂直,求出AD的斜率,利用3 ( 2)2 1即 3x 5y 14 0.【学习导航】学习要求1 .掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2 .理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力.【课堂互动】自学评价(1)当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1 ,反之，如果它们的斜率白乘积等于1,那么它们互相垂直.(2)若两条直线11,12中的一条斜率不存在，则另一条斜率为o时，11i2.【精典范例】例1:(1)已知四点A(5,3),B(10

2、,6),C(3,4),D(6,11),求证：ABCD.3(2)已知直线11的斜率为k13,直线124经过点A(3a,2),B(0,a21),且1112,求实数a的值.【证明】(1)由斜率公式得63311(4)5kAB,kCD一，1055633则kABkCD1,ABCD.2 2)1112,k1k21,_2_即3a1(2)1,403a解得a1或a3,，当a1或a3时，1112.点评：本题是两直线垂直判定的简单应用.例2：已知三角形的三个顶点为直线的点斜式便可求出高AD所在的直线方程.【解】直线BC的斜率为kBCADBC,kAD-,5根据点斜式，得到所求直线的方程为3y4-(x2),5点评：一般地，

3、与直线AxByC0垂直的直线的方程可设为BxAym0,其中m待士7E.例3:在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120o角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01m)【解】记灯柱顶端为B,灯罩顶为A,灯管为AB,灯罩轴线与道路中线交于点C.以灯柱底端O为原点，灯柱OB为y轴，建立如图所示的直角坐标系.点B的坐标为(0,h),点C的坐标为(11.5,0),OBA120°,.直线BA的倾斜角为30°,则点A的坐标为(2.5cos30°,h2.5sin30°),即(1.25

4、V3,h1.25),QCABAkCA1一J3,由直线的点kBAtan30°斜式方程，得CA的方程为y(h1.25)向x1.2573),Q灯罩轴线CA过点C(11.5,0),(h1.25)73(11.51.2573),解得h14.92(m)答：灯柱高h约为14.92m.点评：读懂题意，画出示意图，建立直角坐标系，构造数学模型是关键.追踪训练一'1 .以人(1,1),B(2,1),C(1,4)为顶点的三角形是(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形2 .(2000京皖春，6)直线Z3J2)x+y=3和直线x+(2233)y=2的位置关系是(B)(A)相交不垂直(B)

5、垂直(C)平行(D)重合3 .过原点作直线l的垂线，若垂足为4 2,3),则直线l的方程是2x3y130.4.已知两直线11:2x4y70,12：2xy50,求证：1112.【选修延伸】例4:(课本第91页习题第12题)直线11和12的方程分别是AxB1yC10和A2xB2yC20,其中A1,B1不全为0,A2,B2也不全为0,试探究：(1)当11/12时，直线方程中的系数应满足什么关系？(2)当1112时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于11和12的斜率可能不存在，因此分类讨论.【解】(1)当两直线方程中x,y的系数有一个为0时，不妨设B10,则必有A10,此时直线11垂直于x轴，

6、其方程为AxG0,由11/12知12也垂直于x轴，其方程可以为A2xC20,此时满足AB2A2B1；反之也成立.当两直线方程中x,y的系数均不为0时，直线11和12的斜率分别为%,A2,由B1B2即A1B2AzB1.反之也成立.综合可知：当11/12时，AB2a2b.(2)当两直线方程中x,y的系数有一个为0时，不妨设B10,则必有A0,此时直线11垂直于x轴，其方程为AxG0,由1112知，直线12平行于x轴，故其方程为ByC20,满足，A1A2B1B20；反之也成立.当两直线方程中x,y的系数均不为0时，直线11和12的斜率分别为,-2,BiB2由1112知，(A)(冬)1，B1B2A1A

7、2B1B20.反之也成立.综合可知：当1112时，A1A2B1B20.点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在.另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现.思维点拔：1 .求直线方程时，与ykxb或AxByC0平行的直线可分别设为ykxD或AxByC10(其中b,C1为待定系数)；与ykxb或AxByC0垂1直的直线可分别设为y1xb1k0或kBxAyC10(其中D,C1为待定系数).2 .在解有关两直线平彳T或垂直问题时，应注意它们的斜率是否存在，否则需分类讨论.追踪训练二1 .若直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则实数a的值为a1或1.2 .由四条直线：x2y10,2xy10,2x4y10,4x2y10围成的四边形是(D)(A)等腰梯形(B)梯形(C)长方形(D)正方形3 .过点(2,1