线性系统的状态空间描述

1、线性系统的状态空间描述第二章 线性系统的状态空间描述2.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述2.2 系统的状态空间表达式的分类系统的状态空间表达式的分类 2.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.4 线性时不变系统的特征结构线性时不变系统的特征结构2.5 状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形2.6 由状态空间描述导出传递函数阵由状态空间描述导出传递函数阵2.7 系统系统在坐标变换下的特性系统系统在坐标变换下的特性2.8 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述2.9 Matlab问题问题 小小 结结 线性系统的状态空间描述 典型控制系统典型控制系统由被控对象、传感器、执行

2、器和控制器组成。 被控过程被控过程具有若干输入端和输出端。 数学描述方法数学描述方法： 输入输出描述输入输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。 状态空间描述状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。2.1 系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 典型控制系统方框图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制puuu21nxxx,21qyyy21被 控 过 程线性系统的状态空间描述1.动态过程数学描述的两种基本类型。 一个系统用下图的一个方块来表征。系统输入：环境对系统的作用。系统输出：系统对环境的作用。puuu21nxxx,21qy

3、yy21qyyy21puuu21统称为系统的外部变量内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。x1,x2,xn，体现了系统的行为。线性系统的状态空间描述q数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。系统的外部描述：输入输出描述，不完全的描述。不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。例：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程ubububyayayaynnnnn0) 1 (1) 1(10) 1 (1) 1(1)(其中： ai和bj 为实常数。i=1,2, ,n-1； j=1,2, ,n-1假定初始条件为零，取拉氏变换。 复

4、频率域描述，即传递函数。线性系统的状态空间描述系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。 两个数学方程组成： 状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu11101110( )( )( )nnnnnbsbsby sG su ssasa sa线性系统的状态空间描述外部描述 外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关

5、系。 内部描述 内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，能够完全反映系统的所有动力学特性。 线性系统的状态空间描述(1) 状态 状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。 2.状态的基本概念线性系统的状态空间描述【例1】确定图21所示电路的状态变量。图21 RLC电路要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还

6、必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ，或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t)是该电路的状态状态变量变量。 线性系统的状态空间描述 并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量假定电容器初始电压值均为0，有 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。13232xcccx13223xcccx线性系统的状态空间描述(3)状态向量 设x1(t),x2(t),xn(t)是系统

7、的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为 (4)状态空间 以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。 系统内部状态 x1,x2,xn u1 u2 ur y1 y2 ym 图1-3 多输入多输出系统示意图)()()(1txtxtnx线性系统的状态空间描述(5)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统），称为状态方程。 BuAxx)()() 1(khukGxkx线性系统的状态空间描述【例2】建立图21所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压

8、uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有 d( )( )dd ( )( )( )( )dccu tCi tti tLRi tu tu tt 将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc线性系统的状态空间描述 上式即为图1所示电路的状态方程，并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc式（1-4）可简写为 )(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，uBAxx式中，LRL

9、C110AL10B,线性系统的状态空间描述 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。 图12所示电路, 若uC (t)为输出,取x1=uC (t)，x2=i(t)作为状态变量，则其状态空间表达式为 ： 2121210110110 xxyuLxxLRLCxx(6)状态空间表达式线性系统的状态空间描述2.2 系统的状态空间表达式的分类q系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。线性系统和非线性系统 向量方程 和 的所有元都是变量 x1， xn和u1， ur的线性函数，则相应

10、的系统为线性系统。tuxfX,tuxgY,向量方程 和 至少包括一个元是变量 x1， xn和u1， ur的非线性函数，则相应的系统为非线性系统。现实中的一切实际系统严格地说都属于非线性系统。tuxfX,tuxgY,( , , )( , , )tt xf x uyg x u线性系统的状态空间描述1. 线性系统的状态空间描述 若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： 式中，各个系数矩阵分别为 (, ) t x = f x,u(, ) tyg x,u12,nx xx12,ru uu( )( )( )( )tttt x

11、 = AxBuyCxDu1111111111111111( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )nrnnnnnrnrmmnmmratatbtbtttatatbtbtctctdtdtttctctdtdtABCD线性系统的状态空间描述其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩阵)。线性系统的状态空间描述对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论:状态方程状态方程描述的是系统动态特性, 其

12、决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。输入矩阵输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响，许多系统不存在这种直联关系，即直联矩阵D=0。线性系统的状态空间描述2.线性时变系统和定常系统的状态空间描述 ( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu 一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵 ， ， 和 的各个元素如果

13、与时间有关，则称这种系统是线性时变系统 。( ) tA( ) tB( ) tC( ) tD 矩阵 ， ， 和 的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统 ( ) tA( ) tB( ) tC( ) tDABCD xxuyxu式中的各个系数矩阵为常数矩阵 为简便， 线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D)。线性系统的状态空间描述( , ,):ABA B CC xxuyx几种简记符的意义:( ,):A BABxxu( ,):AA CC xxyx0D =0D x = AxBuyCx 当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）

14、时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为线性系统的状态空间描述3 离散系统的状态空间描述 当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用 来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：0,1,2,k (1)( ( ), ( ), ),0,1,2,( )( ( ), ( ), ),kkk kkkkk kxf xuyg xu 对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式 ：(1)( ) ( )( ) ( ),0,1,2,( )( ) ( )( )

15、 ( ),kkkkkkkkkkkxGxHxyCxDu线性系统的状态空间描述4.确定性系统和随机系统（P32） 确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。 不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。线性系统的状态空间描述5.状态空间模型的结构图 （P41） 线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。系统结构图主要有三种基本元件:积分器

16、积分器,加法器加法器,比例器比例器,其表示符如图2-2所示。图2-2 系统结构图中的三种基本元件 x2 x1 x1+x2 2xk x(t) x kx ( )x t (a) 积分器 (b) 加法器 (c) 比例器 线性系统的状态空间描述例 线性时变系统 y x B(t) A(t) C(t) D(t) u + + + + x ( )( )( )( )A tB tC tD t xxuyxu的结构图如图2-3所示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为： 输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量)图2-3 多输入多输出线性时变系统的结构图线性系统

17、的状态空间描述 建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步，是控制理论和工程的基础.2.3 状态空间表达式的建立 这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模。 机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系。以及各环节、元件的各物理量之间的关系。如电感的电压和电流满足的动态关系.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：线性系统的状态空间描述 在实际工程系统中，许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如，机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存

18、与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息。 对这些系统，根据其物理和化学变化的机理，由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等，可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式。因此，在选择适宜的状态变量后，可建立系统的状态空间模型。线性系统的状态空间描述 建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）下面通常见的刚体力学系统、刚体力学系统、流体力学系统、流体力学系统、典型化工典型化工( (热工热工) )过程过程 、机电能量转换

19、系统机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型。线性系统的状态空间描述 图2-4表示某电枢控制的直流电动机，其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感，J为转动惯量，负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦。试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为输出的状态空间模型。 + - J, f f M La ia Ra u 图2-4 电枢控制的直流电动机原理图 q机电系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述解解 1. 设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。按照图2-4所描述的电动机系统，可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt, M=CMia其中C

20、e和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量) .a22dddddda aaaiuR iLEtMJftt线性系统的状态空间描述因此，上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2. 选择状态变量. 对于本例，若已知电枢电流ia(t)，角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值，以及电枢电压u，则上述微分方程组有唯一解。 因此，可以选择状态变量如下tftJiCtCtiLiRuameaaadddddddd22a123d ( )( )( )( )( )( )datx ti tx ttx tt线性系统的状态空间描述3. 将状态变量代入上述微分方程，则有如下状态方程113233131-aeaaa

21、mRCxxxuLLLxxCfxxxJJ4. 建立输出方程 y=x25. 经整理，可得如下矩阵形式的状态空间模型10001001000aeaaamRCLLLCfJJ xxuyx线性系统的状态空间描述 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型，分别讨论由不含输入量导数项和由不含输入量导数项和由含输入量导数项的由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量 关键2.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式 线性系统的状态空间描述 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为，不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(

22、n-1)+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入；n为系统的阶次。 本节问题的关键是如何选择状态变量。1. 微分方程中不包含输入量的导数项线性系统的状态空间描述选择状态变量为如下相变量相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。（a）化为能控标准形将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程，有如下状态方程12111.nnnnnxxxxxa xa xbu和输出方程 y=x1线性系统的状态空间描述将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有12101000001000000101000nnnaaaab xxuyx12. ,

23、 Tnx xxuyxuy其中和。式（1-23）描述的状态空间表达式称为能控标准形线性系统的状态空间描述该状态空间模型可简记为:其中ABCxxuyx0.01 0.0-.-1.00.0.1011CbBaaaAnn 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。 该类系统矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵，这在后面的章节中可以看到。线性系统的状态空间描述【例4】将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+5y=6u解：本例中a1=6 a2=11 a3=5 b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(1-23)可

24、得状态空间模型如下 0100001051166100 xxuyx线性系统的状态空间描述12113212321323431311nnnnnnnnnnnnnnxya yayayayxya yayayxya yayxya yxy取状态变量：（b）化为能观测标准形线性系统的状态空间描述整理得：121112211 nnnnnnnnnnnxa xbuxxaxxxa xxxa xyx 线性系统的状态空间描述则得能观标准形状态空间表达式：12y001Tnxxxubxxxaaaxxxnnnn00100100211121线性系统的状态空间描述描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(

25、n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu2. 微分方程中包含输入量的导数项通常采用（1）待定系数法 （P35） 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量，其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。（2）辅助变量法 （P33）利用Laplace变换，引入辅助变量 z线性系统的状态空间描述根据待定系数法，选择状态变量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中i(i=0,1,n)为待定系数。（一）待定系数法uxxuyxiii1101ni, 3 , 2即：线性系统的状态空间描述102121032(1)(1)12301(

26、)( )120(1)( )(1)101( )120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 因此,有线性系统的状态空间描述若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n =bn-a1n-1-an0即i(i=0,1,n)满足如下方程组nnnnnbbbbaaaaaa210210211211010010001线性系统的状态空间描述121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型12.

27、 , Tnx xxuyxuy其中和。线性系统的状态空间描述（二）辅助变量法设 n 阶微分方程为：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace变换，求传递函数1212101110( )( )nnnnnnnbsbsb sbY sU ssasa sa引入辅助变量 z)()()()()()(sUsZsZsYsUsY线性系统的状态空间描述uzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：zxxzxxzx 32211uxaxaxazxzxxnnnnnnn12110)() 1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1

28、211001)1(1线性系统的状态空间描述写成矩阵形式uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn线性系统的状态空间描述【例5】已知描述系统的微分方程为uuyyyy64016064019218 试求系统的状态空间表达式。解 （1）待定系数法选择状态变量如下uxxuxxuyx22311201其中2240160186401600640019216000221100031001120221

29、30aaabaababb线性系统的状态空间描述于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy（2）辅助变量法引入辅助变量zuzzzz64019218 zzy640160选择状态变量zx 112xzx 23xzx 线性系统的状态空间描述于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx100181926401000103213213210160640 xxxy线性系统的状态空间描述2.4 线性时不变系统的特征结构q由前面的讨论可知，当选择不同的状态变量，则获得不同的状态空间模型描述。 实际上，状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对

30、系统的一种描述，它随状态变量选择的不同而不同，并不具有唯一性和不变性。1. 系统的特征值和特征向量q状态空间的线性变换，只是改变了描述系统的角度(或说坐标系)，系统的本质特征应保持不变。 对于线性定常系统来说，系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。 特征值是系统不变的本质特征之一。线性系统的状态空间描述 定义定义 设v是n维非零向量，A是nn矩阵。若方程组Av=v 成立，则称为矩阵A的特征值特征值，非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量特征向量。 将上述特征值的定义式写为 (I-A)v=0 （ 2-27 ） 其中I为nn的单位矩阵。 因此，由代数方程论可知，上式有非零特征向量v的解的充要条件

31、为 |I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程特征方程，而|I-A|为A的特征多项式特征多项式。 线性系统的状态空间描述 将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0其中ai(i=1,2,n)称为特征多项式的系数。因此，nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。 n阶的特征方程的n个根1,2,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后，由式(2-27)可求得矩阵对应于i的特征向量vi 。线性系统的状态空间描述2. 特征向量的计算q如何求解特征值i对应的特征向量? 求解特征向量，即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=

32、0q由于i为A的特征值，故iI-A不可逆。 因此，由代数方程理论可知，该方程组的解并不唯一。q当特征方程存在重根时，线性独立的特征向量可能不唯一。线性系统的状态空间描述q因此,就产生如下问题:问题问题: 对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量?答案答案: 矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组(2-27)的线性独立的方程数之差，即为 n-rank(iI-A) q因此，r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。 由此，导出如下问题: 独立的特征向量数到底具有什么意义? 它与特征值的重数之间有何关系? 下面引入代数重数与几何

33、重数两个概念。线性系统的状态空间描述 代数重数。 由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。 几何重数。 特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。v代数重数和几何重数是两个不同的概念。 几何重数具有几何上空间表征的意义，它代表在空间分解上不变的几何子空间的数目。 而代数重数仅具有代数意义，它代表特征值在特征方程的重数。线性系统的状态空间描述例2-6 求如下矩阵的特征向量002121103A解： 1. 由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。0)2)(1(02121103|2AI解该特征方程，可求得系统的特征值为1=1 2=3=2即2为系统的二重特征值，其代数重数为22

34、. 计算1=1的特征向量。(1I-A)v1=0线性系统的状态空间描述解之得特征向量v1的通解为 v1=v11 v11 2v11T令v11=1，解之得 v1=v11 v12 v13T= 1 1 2T3. 计算重特征值2=3=2的特征向量。 按定义有 (2I-A)v2=0由于 n-rank(2I-A)=2因此，特征值应有2个独立特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为 v2=v21 v22 v21T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=1 0 1 T 和 v3=1 1 1T即重特征值2有两个线性独立的特征向量。线性系统的状态空间描述3. 广义特征向量和特征向量链某些重

35、特征值的线性独立特征向量数某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数几何重数)小于小于其代数重数，从而使得矩阵所有特征值所对应的线其代数重数，从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此， 引入一组辅助的空间变换基向量-广义特征向量和特征向量链。定义 广义特征向量是重特征值i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k:,.3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijj 解上述方程组一直到无解为止，就可求得特征值i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。(2-51)线性系统的状态空间描述重特征值i的所有线

36、性独立特征向量vj及其对应的广义特征向量vj,k的个数等于其代数重数，否则就还存在其他特征向量或广义特征向量。值得指出的是，并不是重特征值i的任何一组线性独立的特征向量，都能求出所有的广义特征向量。若i的某一组特征向量vj及其相应广义特征向量vj,k的个数小于该特征值的代数重数，则应重新选取其他一组线性独立的特征向量并求取相应的广义特征向量。重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,组成的向量链称为i的特征向量vj对应的特征向量链。线性系统的状态空间描述q下面通过一个例子来简单介绍线性空间的特征子空间分解。 例,某5维线性空间, 存在一个3重特征值和一个2重特征值。 3重特征值

37、有2个独立特征向量，2重特征值有1个独立特征向量。 则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。 5 维线性空间 3 重特征值 2 重特征值 1 个独立特征向量+1 个广义特征向量 1 个独立特征向量 1 个独立特征向量+1 个广义特征向量 2 维独立、不变的特征子空间 2 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 线性系统的状态空间描述 若该5维线性空间, 3重特征值有1个独立特征向量，2重特征值有2个独立特征向量。 则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。 5 维线性空间 3 重特征值 2 重特征值 1 个独立特征向量+2 个广义特征向量 1 个独立特征向量

38、3 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 1 维独立、不变的特征子空间 1 个独立特征向量 线性系统的状态空间描述例2-7 求如下矩阵的特征向量和特征向量链解 1. 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-1 即-1为系统的三重特征值，其代数重数为3。2. 计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有 (1I-A)v1=0111201634A0211211633131211vvv即线性系统的状态空间描述由于 n-rank(1I-A)=2因此，该特征值应有2个独立特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此存在广义特征向量

39、。 解之得如下特征向量的通解式 v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T分别令两组独立的v11 v12即可求得三重特征值1的两个线性独立的特征向量。三重特征值-1只有两个独立特征向量，其几何重数为2。因此，重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。线性系统的状态空间描述3. 计算对应于特征向量的广义特征向量和特征向量链。 按定义式(2-51)，特征向量v1的广义特征向量v1,2满足 (1I-A)v1,2=-v1即)(2/ 1211211633121112112, 1vvvvv 因此，根据方程的可解性，存在广义特

40、征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系 此时的广义特征向量的解为v1,2= r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T其中r1和r2为任意数。线性系统的状态空间描述因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T =-3v12 v12 v12 T =1 -1/3 -1/3 Tv1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T=1 2/3 -1 T另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为v2=v11 v12 -(v11+v12)/2T=1 0 -1/2 T本例共求得3个特征向量和广义

41、特征向量。由于矩阵A的维数为33，因此对应于上述特征向量和广义特征向量，已不存在其他广义特征向量。故特征值1对应于特征向量v1的特征向量链为v1和v1,2。线性系统的状态空间描述对于传递函数G(s)，其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异，则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为11121212.( ).( - )( - ).( -)-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)( 自己推导1. 传递函数中极点互异时的变换极点互异极点互异 和和 有重极

42、点有重极点 两种情况讨论如何通过传递函数建立状态空间模型。2.5 状态方程的约当规范形(补充）线性系统的状态空间描述下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以s-s1,有因此，由于特征根s1,s2,sn互异，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11sssssGk第2项将s1代入为0考虑到，输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此，若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2 , 1)(-1)(线性系统的状态空间描述则，经反

43、变换可得系统状态方程为1,2,.,iiixs xuin相应地，系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此，经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx(2-25)线性系统的状态空间描述【例6】用部分分式法将对应的下述传递函数变换为状态空间模型322( )6116G ssss解解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有332211)(ssksskssksG其中11332

44、2 ( )(1)1 ( )(3)1 ( )(2)2ssskG s skG s skG s s 线性系统的状态空间描述故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型100102010031 121 xxuyxq 结论： 对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为n个独立的状态变量方程。 如果系统矩阵A具有形式线性系统的状态空间描述1210100001000001nnnAaaaa且其特征值s1,s2,sn两两不相等，则变换矩阵为1111111nnnnsspss 线性系统的状态空间描述当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式nnssksskssk

45、sG-.-)(2211的情况,亦得不到如式(2-25)所示的状态方程。q不失一般性，为清楚地叙述变换方法，以下设系统特征方程有6个根，其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5，即s1为3重极点，s2为2重极点。 相应地，可将所对应的传递函数表示为2. 传递函数中有重极点时的变换552255144111321123111254315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsG线性系统的状态空间描述其中kij为待定系数，其计算公式为ljsssGsjkisslijjij,.,2 , 1)-)(dd)!1-(11 -1 -会推导

46、吗?其中l为极点si的重数。下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的乘以(s-s1)3 ,有32111121131351524112455( )( - )( - )( - )( - )-( - )-G s s skks sks skkks ss ss ss s第2项将s1代入为0。 对等式两边求2次导数后22335152411131222455dd( )( - )2( - )dd-( - )-kkkG s s sks ssss ss ss s 线性系统的状态空间描述12313121 d ( )( - ) 2!ds skG s s ss因此，有考虑到,输出y(t)和输

47、入u(t)的拉氏变换满足)(-)()-()(-)(-)()-()()-()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足)(-1)()()-(1)()()-(1)(13212311sUsssXsUsssXsUsssX线性系统的状态空间描述)(-1)()()-(1)()(-1)(5625544sUsssXsUsssXsUsssX 则有)(-1)()-(1-1)(212111sXsssUsssssX即有122331114566455111( )( )( )( )( )( )-111(

48、 )( )( )( )( )( )-X sXsXsXsXsU ss ss ss sXsU sXsXsXsU ss ss ss s 则经反变换可得系统状态方程为111221233134445556656xs xxxs xxxs xuxs xuxs xxxs xu线性系统的状态空间描述相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型111455111213

49、415152101011101sssssskkkkkk xxuyx(1-26)系统矩阵A具有这种特定块对角形式的状态空间模型即为所谓约旦规范形。线性系统的状态空间描述【例7】用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型48524142)(232ssssssG解解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有3311122111)()(ssksskssksG其中12)1)(10)2)(dd4)2)ssssGkssGskssGk线性系统的状态空间描述故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出，可得如

50、下状态空间模型210002010011 41012 xxuyx线性系统的状态空间描述q结论 已知线性定常系统的状态方程为ABxxu其中系统矩阵uxxBA 若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立，则必存在变换矩阵P，使其进行状态变换x=P 后为对角线规范形，即系统的状态方程为 x为对角线矩阵，并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。112diag ,.,nAP AP 2.5.1 化状态方程为对角线规范形2.5 状态方程的约当规范形线性系统的状态空间描述【例9】试将下列状态空间模型变换为对角线规范形01106116061151 100 xxuy

51、x解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=-2 3=-32. 求特征值所对应的特征向量。 由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为p1=1 0 1T p2=1 2 4T p3=1 6 9T3. 取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1，即有线性系统的状态空间描述12/ 3134322/ 539416201111PP4. 计算各矩阵 111 13230002000111CPCBPBAPPA10020203 111 0031xxuyx5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为线性系统的状态空间描述2.5.2 化状态方程为约旦规范形q若系统存在重特征值且线

52、性独立特征向量数小于该特征值的重数时，则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。在此种情况下，A可变换成约旦矩阵，系统表达式可变换成约旦规范形。下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算约旦规范形及其计算线性系统的状态空间描述1. 约旦块和约旦矩阵矩阵的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵，如J=block-diagJ1 J2 Jl1.0001.000.0.100.01immiiiimJii线性系统的状态空间描述30000100011000011000110001100002下述矩阵均为约旦矩阵 上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦

53、块和33维的特征值-1的约旦块; 第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。线性系统的状态空间描述2. 约旦规范形及其计算 定义 系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。 与对角线规范形一样，约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。 对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵，虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但 可经相似变换化为约旦矩阵。可经相似变换化为约旦矩阵。线性系统的状态空间描述q定义 广义特征向量是重特征值i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k,.

54、3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijjq结论 已知线性定常系统的状态方程为x=Ax+Bu若A的共有p(pn)个互异的特征值，l(pln)个线性独立特征向量pi则必存在变换矩阵P，使其进行状态变换x=P 后为约旦规范形，即系统的状态方程为x 线性系统的状态空间描述AB xxu其中系统矩阵为约旦矩阵，并且变换矩阵P可取为P=P1 P2 Pl变换矩阵P P=P1 P2 Pl中的Pi为矩阵A对应于线性独立特征向量pi的特征向量组成的如下分块矩阵q若pi和pi,j为对应与特征值i的独立特征向量和广义特征向量，则必有lipppPimiiii,.,2 , 1.,2,1 ,ikikiiiimkp

55、pAIpp,.,3 , 2)(1,1 ,iiipAp线性系统的状态空间描述【例10】试将下列状态空间模型变换为约旦规范形2110002000 10000020031511 xxuyx解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=2=3=2 4=-1 2. 求特征值所对应的特征向量P11=1 1 -1 1/3T P21=1 0 0 -1T和广义特征向量 P22=1 1 0 -1T 特征值-1的特征向量为P31=0 0 0 1T线性系统的状态空间描述3.取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1，即有14/3010110001101001111/30001010101111

56、1 , 32 , 21 , 21 , 1PppppP线性系统的状态空间描述 0111 1000100002000120000211CPCBPBAPPA4. 计算各矩阵5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为xyuxx 0111 10001000020001200002线性系统的状态空间描述2.6 由状态空间描述导出传递函数阵q对于SISO线性定常系统，标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统，将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵下面将从状态空间模型出发，分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义传递函数阵的定义由状

57、态空间表达式建立系统的传递函数阵由状态空间表达式建立系统的传递函数阵线性系统的状态空间描述2.6.1 传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前，需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换对r维输入、m维输出的MIMO系统，若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s)，则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)( )( )only for SISO systems( )Y SG sU s线性系统的状态空间描述其中G(s)称为传递函数阵，其每个元素为标量传递函数。G(s)的

58、形式为)(.)()(.)(.)()()(.)()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGmrmmrr其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。线性系统的状态空间描述2.6.2 求传递函数阵q前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式，下面将介绍其逆问题，即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。主要内容有传递函数矩阵的推导前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式，下面将介绍其逆问题，即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为ABCD xxuyxu其中x为n维状态向量;

59、u为r维输入向量;y为m维输出向量。线性系统的状态空间描述对上式取拉氏变换,有)()()()()()0()(sDUsCXsYsBUsAXssXx其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换；x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。q由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系，不考虑系统初始条件的影响。 因此令x(0)=0，于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)线性系统的状态空间描述将上述X(s)代入输出方程，有Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s)因此，可得线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)= C(sI-A)-1B+D若

60、对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统，则有G(s)= C(sI-A)-1BG(s)计算的求解方法有实用算式实用算式（P68）和拉氏变换法拉氏变换法线性系统的状态空间描述x1yuxx2521315【例11】求如下系统的传递函数解 (1) 先计算逆矩阵C(sI-A)-1B5311)4)(2(1)(adj)(1ssssAsIAsIAsI)4)(2(1315ssssAsI53111315adj)(adjssssAsI代数余子式线性系统的状态空间描述(2) 由传递函数计算公式可得)4)(2(5912525311)4)(2(21 )()(1sssssssBAsICsGq由于状态变换仅对状态变量进